L’étude de fonction : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

L’étude de fonction en 2de constitue une introduction fondamentale aux concepts mathématiques avancés que les élèves développeront tout au long de leur scolarité. Ces exercices corrigés de mathématiques 2de permettent aux collégiens de maîtriser la lecture de graphiques, l’interprétation de tableaux de valeurs et la compréhension des relations entre variables. Grâce à ces corrections détaillées d’étude de fonction, les élèves renforcent leur raisonnement logique et développent leur capacité d’analyse graphique. Cette approche progressive des fonctions prépare efficacement les élèves aux notions plus complexes qu’ils rencontreront en classe de 4ème et 3ème.

Exercice 1 – décrire le sens de variation.

a) Sens de variation de la fonction h :

D’après le tableau de variation :

• Sur l’intervalle : la fonction h est décroissante (elle passe de 4 à -1)

• Sur l’intervalle : la fonction h est croissante (elle passe de -1 à 3)

• Sur l’intervalle [1~;~3] : la fonction h est décroissante (elle passe de 3 à 0)

b) Comparaisons :

• h(0) et h(1) :

D’après le tableau : h(1)=3

Comme 0 est entre -1 et 1, et que h est croissante sur , on a : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-1<h(0)<3" alt="-1<h(0)

Donc : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?h(0)<h(1)" alt="h(0)

• h(2) et :

2 et 2,5 appartiennent à l’intervalle [1~;~3] sur lequel h est décroissante.

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?2<2{,}5" alt="2, on a : h(2{,}5) » alt= »h(2)>h(2{,}5) »>

c) Représentation graphique :

La courbe représentative de la fonction h :

• Part du point (-4 ; 4)

• Descend jusqu’au point (-1 ; -1) qui est un minimum local

• Remonte jusqu’au point (1 ; 3) qui est un maximum local

• Redescend jusqu’au point (3 ; 0)

Exercice 2 – lire le maximum et le minimum.

Lecture du maximum de f :

En observant la courbe, le point le plus haut se situe à x=1 et y=3 .

Le maximum de f sur [-2;4] est donc , atteint pour x=1 .

Lecture du minimum de f :

En observant la courbe, le point le plus bas se situe à x=-1 et y=-2 .

Le minimum de f sur [-2;4] est donc , atteint pour x=-1 .

Réponses aux questions :

a) [-2;0] : Maximum = (en x=-2 ) ; Minimum = (en x=-1 )

b) [0;4] : Maximum = (en x=1 ) ; Minimum = (en x=2 )

c) [-2;4] : Maximum = (en x=1 ) ; Minimum = (en x=-1 )

d) [2;4] : Maximum = (en x=4 ) ; Minimum = (en x=2 )

Exercice 3 – tableau de variation et justification.

a) Pour tout nombre réel x de [-7;3], -4 ≤ f(x) < 2.

D’après le tableau de variation :

• Sur l’intervalle [-7;3] , la fonction f est définie.

• Le minimum de f sur cet intervalle est .

• Le maximum de f sur cet intervalle est f(-3)=2 .

• En x=3 , on a f(3)=0 qui est strictement inférieur à 2.

Donc pour tout , on a bien <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-4leq f(x)<2" alt="-4leq f(x).

b) Pour tout nombre réel x de [-3;5], 0 ≤ f(x) ≤ 3.

D’après le tableau de variation :

• Sur l’intervalle [-3;5] , la fonction f est définie.

• Le minimum de f sur cet intervalle est f(3)=0 .

• Le maximum de f sur cet intervalle est f(5)=3 .

• En x=-3 , on a f(-3)=2 qui vérifie .

Donc pour tout , on a bien $0leq f(x)leq3$ .

Exercice 4 – encadrement d’images.

a) Pour tout nombre réel x de [-2;3] :

En observant le graphique, on lit les valeurs minimale et maximale de la fonction m sur l’intervalle [-2;3].

• La valeur minimale est atteinte en x = 1 : $m(1) = -1$

• La valeur maximale est atteinte en x = -2 : $m(-2) = 3$

Donc : $-1 leq m(x) leq 3$

b) Pour tout nombre réel x de [0;3] :

On restreint maintenant l’observation à l’intervalle [0;3].

• La valeur minimale est toujours atteinte en x = 1 : $m(1) = -1$

• La valeur maximale est maintenant atteinte en x = 0 : $m(0) = 2$

Donc : $-1 leq m(x) leq 2$

Exercice 5 – tableau de variation de fonctions affines.

Rappel : Une fonction affine $f(x) = ax + b$ est :

• croissante si 0″ alt= »a > 0″>

• décroissante si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a < 0" alt="a

• constante si $a = 0$

Pour f : $f(x) = -frac{1}{2}x + 1$

Le coefficient directeur est <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a = -frac{1}{2} < 0" alt="a = -frac{1}{2} , donc f est décroissante.

Pour g : $g(x) = -2x - frac{1}{4}$

Le coefficient directeur est <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a = -2 < 0" alt="a = -2 , donc g est décroissante.

Pour h : $h(x) = frac{1}{5}x - 2$

Le coefficient directeur est 0″ alt= »a = frac{1}{5} > 0″>, donc h est croissante.

Pour k : $k(x) = -x + 1$

Le coefficient directeur est <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a = -1 < 0" alt="a = -1 , donc k est décroissante.

Tableaux de variations :

Fonction f : décroissante sur

Fonction g : décroissante sur

Fonction h : croissante sur

Fonction k : décroissante sur

Exercice 6 – droites et représentation graphique.

a) Vérification de l’affirmation d’Andréa :

La fonction $m:xmapsto -0{,}5x+1$ a pour coefficient directeur -0{,}5 et pour ordonnée à l’origine .

En observant la droite d_2 (droite rouge) :

– Elle passe par les points (0;2) et (2;-2)

– Son coefficient directeur est : $frac{-2-2}{2-0}=frac{-4}{2}=-2$

– Son ordonnée à l’origine est

L’affirmation d’Andréa est fausse. La droite d_2 représente la fonction $xmapsto -2x+2$ , pas la fonction .

b) Association fonction-droite :

Fonction j : $xmapsto 4x-2$

Coefficient directeur : , ordonnée à l’origine :

Correspond à (droite violette, croissante et rapide)

Fonction k : $xmapsto -2x$

Coefficient directeur : , ordonnée à l’origine :

Correspond à (droite orange, passe par l’origine)

Fonction l : $xmapsto 2$

Fonction constante, droite horizontale d’équation y=2

Correspond à (droite rouge horizontale)

Fonction m : $xmapsto -0{,}5x+1$

Coefficient directeur : -0{,}5 , ordonnée à l’origine :

Correspond à (droite bleue, décroissante lentement)

Exercice 7 – associer fonction et tableau de variation.

a) Tracer une courbe susceptible de représenter graphiquement g.

D’après le tableau de variation :

• La fonction g est définie sur [-1;6]

• $g(-1) = 1$

• g est croissante sur [-1;0] et atteint un maximum en 0 avec $g(0) = 3$

• g est décroissante sur [0;1] avec $g(1) = -1$

• g est croissante sur [1;3] avec $g(3) = 0$

• g est constante sur [3;4] avec $g(4) = 0$

• g est croissante sur [4;6] avec $g(6) = 2$

La courbe passe par les points : (-1;1) , (0;3) , (1;-1) , (3;0) , (4;0) et (6;2) .

b) Déterminer tous les nombres réels dont l’image par la fonction g est négative ou nulle.

On cherche les valeurs de x telles que $g(x) leq 0$ .

D’après le tableau de variation et les valeurs données :

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?g(1) = -1 < 0" alt="g(1) = -1

• $g(3) = g(4) = 0$

La fonction g étant continue, elle s’annule également en un point entre 1 et 3, et possiblement en d’autres points.

En analysant le comportement de g :

• g est négative sur l’intervalle [1;3] (où elle passe de -1 à 0)

• g est nulle sur l’intervalle [3;4]

Réponse : $g(x) leq 0$ pour $x in [1;4]$

Exercice 8 – déterminer les nombres réels et images d’une fonction.

Analyse du tableau :

D’après le tableau de variation, on lit les valeurs de la fonction h(x) :

• $h(-3) = -5$

• $h(-2) = 0$

• $h(-1) = 2$

• $h(4) = 0$

• $h(4{,}5) = 2$

• $h(6) = 3$

Détermination des nombres réels dont l’image est supérieure ou égale à 2 :

On cherche les valeurs de telles que $h(x) geq 2$ .

D’après le tableau de variation :

• Sur l’intervalle $[-3 ; -1]$ , la fonction croît de à . Elle atteint la valeur en $x = -1$ .

• Sur l’intervalle $[-1 ; 4]$ , la fonction décroît de à . Elle atteint la valeur en $x = -1$ .

• Sur l’intervalle $[4 ; 6]$ , la fonction croît de à . Elle atteint la valeur en $x = 4{,}5$ .

Réponse : Les nombres réels dont l’image par la fonction est supérieure ou égale à sont : $x = -1$ et $x in [4{,}5 ; 6]$ .

Exercice 9 – problème d’un trapèze et fonctions.

a) Sens de variation de f :

D’après la figure, on observe que :

• Quand M se déplace de A vers B (x augmente de 0 vers 9,5), l’aire de la partie colorée diminue d’abord puis augmente

• La fonction f(x) semble décroissante sur [0 ; 5] puis croissante sur [5 ; 9,5]

• f(x) admet un minimum en x = 5

b) Expression de f(x) dans chaque cas :

Cas 1 : x ∈ [0 ; 5]

M est sur le segment [AB]. L’aire colorée correspond au rectangle ADCM privé du triangle MBC.

• Aire du rectangle ADCM = $ADtimes AM = 3times x = 3x$

• Dans le triangle MBC : MB = 9,5 – x et BC = 3

• Aire du triangle MBC = $frac{1}{2}times MBtimes BC = frac{1}{2}times (9{,}5-x)times 3 = frac{3(9{,}5-x)}{2}$

Donc : $f(x) = 3x - frac{3(9{,}5-x)}{2} = 3x - frac{28{,}5-3x}{2} = frac{6x-28{,}5+3x}{2} = frac{9x-28{,}5}{2}$

Pour x ∈ [0 ; 5] : $f(x) = frac{9x-28{,}5}{2}$

Cas 2 : x ∈ [5 ; 9,5]

M est sur le segment [CB]. L’aire colorée correspond au trapèze ADCM.

• AD = 3, MC = x – 5, hauteur = 5

• Aire du trapèze = $frac{(AD + MC)times h}{2} = frac{(3 + (x-5))times 5}{2} = frac{(x-2)times 5}{2}$

Pour x ∈ [5 ; 9,5] : $f(x) = frac{5(x-2)}{2}$

Exercice 10 – dresser le tableau de variation.

a) Tableau de variation de la fonction f

La fonction est une fonction affine de la forme ax+b avec a=-2 et b=3{,}5 .

Puisque <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a=-2<0" alt="a=-2, la fonction f est strictement décroissante sur .

Tableau de variation :


		↘

b) Représentation graphique

La fonction f est une fonction affine, sa représentation graphique est donc une droite.

Pour tracer cette droite, déterminons deux points :

• Pour x=0 : $f(0)=-2times 0+3{,}5=3{,}5$

• Pour x=1 : $f(1)=-2times 1+3{,}5=1{,}5$

La droite passe par les points et .

Vérification de la cohérence :

Le graphique confirme le tableau de variation : la droite est décroissante (elle « descend » de gauche à droite), ce qui correspond au coefficient directeur <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?a=-2<0" alt="a=-2.

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