Intervalles de fluctuation : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les intervalles de fluctuation constituent une notion fondamentale des mathématiques en Terminale qui initie les élèves aux concepts de probabilités et de statistiques. Cette correction d’exercices permet aux collégiens de maîtriser l’analyse de données et le calcul de variations, compétences essentielles pour leur progression en mathématiques. Grâce à ces exercices corrigés, les élèves développent leur raisonnement logique et apprennent à interpréter des résultats statistiques simples. Ces notions préparent efficacement les élèves aux chapitres plus avancés de probabilités qu’ils rencontreront dans les classes supérieures.

Exercice 1 – des fusées pour un feu d’artifice.

1) Loi suivie par X et ses paramètres :

X suit une loi binomiale de paramètres et .

En effet, on répète fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli avec une probabilité de succès .

On note :

2) Intervalle de fluctuation asymptotique :

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :

$left[0{,}85-1{,}96sqrt{frac{0{,}85times 0{,}15}{n}};0{,}85+1{,}96sqrt{frac{0{,}85times 0{,}15}{n}}right]$

Soit : $left[0{,}85-frac{0{,}7sqrt{n}}{n};0{,}85+frac{0{,}7sqrt{n}}{n}right]$

3) Intervalle de fluctuation asymptotique du nombre de fusées opérationnelles :

Pour le nombre X de fusées opérationnelles, l’intervalle est :

4) Nombre de fusées à acheter :

Samuel veut être sûr à 95% d’avoir au moins 100 fusées opérationnelles.

Il faut donc que la borne inférieure de l’intervalle soit supérieure ou égale à 100 :

En posant , on obtient :

$0{,}85u^2-0{,}7u-100geq0$

Le discriminant est :

Les solutions sont : $u=frac{0{,}7pmsqrt{340{,}49}}{1{,}7}$

La solution positive est :

Donc

Samuel doit acheter au moins 128 fusées.

Exercice 2 – intervalle de fluctuation et équilibre d’un dé.

Données :

• On lance 1000 fois un dé et on s’intéresse au nombre de 1 obtenus

• Intervalle de fluctuation au seuil de 95% : [0,143 ; 0,190]

• Pour un dé équilibré, la probabilité d’obtenir 1 est $p=frac{1}{6}$

1) Si on obtient 200 fois le nombre 1 :

La fréquence observée est : $f=frac{200}{1000}=0{,}2$

On vérifie si

Comme 0{,}190″ alt= »0{,}2>0{,}190″>, la fréquence est en dehors de l’intervalle de fluctuation.

Conclusion : On peut douter de l’équilibre du dé au seuil de 5%.

2) Si on obtient 150 fois le nombre 1 :

La fréquence observée est : $f=frac{150}{1000}=0{,}15$

On vérifie si

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0{,}143<0{,}15<0{,}190" alt="0{,}143<0{,}15, la fréquence est dans l’intervalle de fluctuation.

Conclusion : Cette observation est compatible avec l’hypothèse d’un dé équilibré.

Exercice 3 – l’intervalle contenant p avec une probabilité.

Données :

• entier naturel, nombre réel compris entre 0 et 1

• X_n suit une loi binomiale de paramètres et

• $F_n=frac{X_n}{n}$ et est une valeur prise par F_n

Propriété rappelée :

Pour assez grand, l’intervalle $left[p-frac{1}{sqrt{n}};p+frac{1}{sqrt{n}}right]$ contient la fréquence avec une probabilité au moins égale à 0,95.

Question : En déduire que l’intervalle $left[f-frac{1}{sqrt{n}};f+frac{1}{sqrt{n}}right]$ contient avec une probabilité au moins égale à 0,95.

Démonstration :

D’après la propriété rappelée, on a :

$Pleft(finleft[p-frac{1}{sqrt{n}};p+frac{1}{sqrt{n}}right]right)geq0{,}95$

Cela signifie que :

$Pleft(p-frac{1}{sqrt{n}}leq fleq p+frac{1}{sqrt{n}}right)geq0{,}95$

En soustrayant dans chaque membre de l’inégalité :

$Pleft(p-frac{1}{sqrt{n}}-fleq0leq p+frac{1}{sqrt{n}}-fright)geq0{,}95$

En multipliant par -1 (ce qui inverse les inégalités) :

$Pleft(f-p-frac{1}{sqrt{n}}leq0leq f-p+frac{1}{sqrt{n}}right)geq0{,}95$

En ajoutant dans chaque membre :

$Pleft(f-frac{1}{sqrt{n}}leq pleq f+frac{1}{sqrt{n}}right)geq0{,}95$

Conclusion :

L’intervalle $left[f-frac{1}{sqrt{n}};f+frac{1}{sqrt{n}}right]$ contient avec une probabilité au moins égale à 0,95.

Exercice 4 – algorithme et probabilités.

1) Compléter les lignes 11 et 13 de l’algorithme :

Ligne 11 : Afficher « On peut rejeter cette hypothèse au seuil de 5% »

Ligne 13 : Afficher « On ne peut pas rejeter cette hypothèse au seuil de 5% »

2) Que fait cet algorithme ?

Cet algorithme réalise un test d’hypothèse pour une proportion. Il calcule l’intervalle de confiance à 95% pour la proportion p, puis compare la fréquence observée f à cet intervalle :

• L’intervalle de confiance est : $left[p-1{,}96times frac{sqrt{p(1-p)}}{sqrt{n}};p+1{,}96times frac{sqrt{p(1-p)}}{sqrt{n}}right]$

• Si f est en dehors de cet intervalle, on rejette l’hypothèse au seuil de 5%

• Si f est dans l’intervalle, on ne peut pas rejeter l’hypothèse au seuil de 5%

3) Modification pour choisir le seuil (95% ou 99%) :

Il faut ajouter au début :

• Demander seuil

• Si seuil = 95 Alors

• Donner à coeff la valeur 1,96

• Sinon

• Donner à coeff la valeur 2,58 (pour 99%)

• Fin Si

Puis remplacer 1,96 par coeff dans les lignes 8 et 9.

Exercice 5 – une compagnie ferroviaire et fluctuation.

1) Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%

On a une proportion p=0{,}9 et un échantillon de taille n=60 .

Conditions d’application : ngeq30 , npgeq5 et .

60geq30 ✓

$60times 0{,}9=54geq5$ ✓

$60times 0{,}1=6geq5$ ✓

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :

$I=[p-1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}};p+1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}}]$

Calcul de $1{,}96sqrt{frac{0{,}9times 0{,}1}{60}}$ :

$1{,}96sqrt{frac{0{,}09}{60}}=1{,}96sqrt{0{,}0015}=1{,}96times 0{,}0387approx0{,}076$

Réponse :

2a) Fréquence des trains arrivés à l’heure

L’usager a relevé que son train avait 12 fois du retard sur 60 jours.

Nombre de trains à l’heure :

Fréquence des trains à l’heure : $f=frac{48}{60}=0{,}8$

On a car <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0{,}8<0{,}824" alt="0{,}8.

Réponse : La fréquence est 0{,}8 . Elle n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation.

2b) Deux hypothèses pour expliquer ce résultat

Hypothèse 1 : L’annonce de la compagnie ferroviaire est erronée : le pourcentage réel de trains à l’heure est inférieur à 90%.

Hypothèse 2 : L’usager a observé une période particulière (travaux, intempéries, incidents techniques) qui ne représente pas le fonctionnement habituel de la ligne.

Exercice 6 – une étude de l’INSEE sur les bébés français hors mariage.

Données :

• En 2006 : la moitié des bébés français sont nés hors mariage, donc p=0{,}5

• En 2010 : sur 1000 naissances, 556 ont eu lieu hors mariage

• Hypothèse : la proportion de naissances hors mariage en 2010 est la même qu’en 2006

1) Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %

Pour un échantillon de taille n=1000 et une proportion p=0{,}5 , l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :

$I=[p-1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}};p+1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}}]$

Calculons $sqrt{frac{p(1-p)}{n}}$ :

$sqrt{frac{0{,}5times 0{,}5}{1000}}=sqrt{frac{0{,}25}{1000}}=sqrt{0{,}00025}approx0{,}0158$

Donc : $1{,}96times 0{,}0158approx0{,}031$

L’intervalle de fluctuation est :

2) Conclusion concernant l’hypothèse

La fréquence observée en 2010 est : $f=frac{556}{1000}=0{,}556$

Conclusion : La fréquence observée n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation. Au seuil de 95 %, on rejette l’hypothèse selon laquelle la proportion de naissances hors mariage en 2010 est la même qu’en 2006. La proportion a augmenté de manière significative entre 2006 et 2010.

Exercice 7 – un producteur de jus de pomme et sa commercialisation.

1) Loi suivie par X :

On cherche à tester si la proportion de bouteilles non commercialisables a évolué par rapport à l’année dernière (4%).

X représente le nombre de bouteilles non commercialisables dans un échantillon de 598 bouteilles.

Sous l’hypothèse où la proportion n’a pas évolué, X suit une loi binomiale :

2) Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% :

Conditions d’approximation normale :

• ✓

• $np=598times 0{,}04=23{,}92geq5$ ✓

• $n(1-p)=598times 0{,}96=574{,}08geq5$ ✓

L’intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence $F=frac{X}{n}$ est :

$I=[p-1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}};p+1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}}]$

Calcul de $1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}}$ :

$1{,}96sqrt{frac{0{,}04times 0{,}96}{598}}=1{,}96sqrt{frac{0{,}0384}{598}}=1{,}96sqrt{0{,}0000642}approx1{,}96times 0{,}008approx0{,}0157$

Donc :

3) Conclusion :

Le producteur trouve 19 bouteilles non commercialisables sur 598.

La fréquence observée est : $f=frac{19}{598}approx0{,}0318$

Comme , la fréquence observée appartient à l’intervalle de fluctuation.

Réponse : Non, il ne peut pas affirmer qu’il a fait mieux que l’an dernier. L’écart observé peut être dû aux fluctuations d’échantillonnage et n’est pas significatif au seuil de 5%.

Exercice 8 – déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique.

Rappel : L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est donné par :

$I=[p-1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}};p+1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}}]$

Premier cas : n=100 et p=0{,}4

Calculons $sqrt{frac{p(1-p)}{n}}=sqrt{frac{0{,}4times 0{,}6}{100}}=sqrt{frac{0{,}24}{100}}=sqrt{0{,}0024}=0{,}049$

Donc $1{,}96times 0{,}049=0{,}096$

Réponse :

Deuxième cas : n=4000 et $p=frac{1}{5}=0{,}2$

Calculons $sqrt{frac{p(1-p)}{n}}=sqrt{frac{0{,}2times 0{,}8}{4000}}=sqrt{frac{0{,}16}{4000}}=sqrt{0{,}00004}=0{,}00632$

Donc $1{,}96times 0{,}00632=0{,}0124$

Réponse :

Troisième cas : n=77 et (seuil de 99%)

Au seuil de 99%, on utilise 2{,}58 au lieu de 1{,}96

Calculons $sqrt{frac{p(1-p)}{n}}=sqrt{frac{0{,}89times 0{,}11}{77}}=sqrt{frac{0{,}0979}{77}}=sqrt{0{,}00127}=0{,}0357$

Donc $2{,}58times 0{,}0357=0{,}092$

Réponse :

Exercice 9 – la population française et le port de lunettes.

1) Quelle loi suit X ?

X représente le nombre de personnes qui portent des lunettes ou des lentilles dans un échantillon de 400 personnes.

Chaque personne a une probabilité p = 0,7 de porter des lunettes ou des lentilles, de manière indépendante.

Réponse : X suit une loi binomiale de paramètres n = 400 et p = 0,7.

On note :

2) Contrôler que n et p vérifient bien les conditions

Vérifions les trois conditions :

• ngeq30 : ✓

• npgeq5 : $400times 0{,}7=280geq5$ ✓

• : $400times 0{,}3=120geq5$ ✓

Réponse : Les trois conditions sont vérifiées, on peut donc utiliser l’approximation normale.

3) Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%

X peut être approximée par une loi normale

Calculons les paramètres :

• $np=400times 0{,}7=280$

• $sqrt{np(1-p)}=sqrt{400times 0{,}7times 0{,}3}=sqrt{84}approx9{,}17$

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :

$I=[280-1{,}96times 9{,}17;280+1{,}96times 9{,}17]$

Réponse :

4) Interprétation concrète du résultat

Réponse : Dans 95% des échantillons de 400 personnes tirés au hasard dans la population française, le nombre de personnes portant des lunettes ou des lentilles sera compris entre 262 et 298 personnes. Si dans un échantillon de 400 personnes, on observe moins de 262 ou plus de 298 personnes portant des lunettes ou lentilles, cela remettrait en question l’estimation de 70% au seuil de 5%.

Exercice 10 – lancers d’une pièce équilibrée.

Données : On lance 50 fois une pièce équilibrée. X est le nombre de « pile » obtenus.

1) a) Intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 95%

La probabilité d’obtenir « pile » est p=0{,}5

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :

$I=[p-1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}};p+1{,}96sqrt{frac{p(1-p)}{n}}]$

Avec n=50 et p=0{,}5 :

$sqrt{frac{p(1-p)}{n}}=sqrt{frac{0{,}5times 0{,}5}{50}}=sqrt{frac{0{,}25}{50}}=sqrt{0{,}005}approx0{,}0707$

$1{,}96times 0{,}0707approx0{,}139$

Réponse :

1) b) Intervalle de fluctuation asymptotique de X au seuil de 95%

On multiplie les bornes de l’intervalle de la fréquence par n=50 :

Réponse : $I=[0{,}361times 50;0{,}639times 50]=[18{,}05;31{,}95]$

Soit (valeurs entières)

2) Intervalle de fluctuation asymptotique de X au seuil de 99%

Au seuil de 99%, on utilise 2{,}58 au lieu de 1{,}96 :

$2{,}58times 0{,}0707approx0{,}182$

Intervalle de la fréquence :

Réponse : $I=[0{,}318times 50;0{,}682times 50]=[15{,}9;34{,}1]$

Soit (valeurs entières)

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