La continuité : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

La continuité en mathématiques est une notion fondamentale que les élèves de Terminale découvrent à travers l’étude des suites numériques et des représentations graphiques. Ces exercices corrigés de continuité permettent aux collégiens de développer leur raisonnement logique et leur capacité à analyser les variations et les régularités dans les nombres. Maîtriser cette compétence est essentiel pour progresser en mathématiques au collège, car elle constitue la base de nombreux concepts plus avancés comme les fonctions et les proportionnalités. Grâce à ces corrections détaillées, les élèves peuvent consolider leurs acquis et améliorer leur compréhension des mathématiques en Terminale.

Exercice 1 – fonctions rationnelles et asymptotes.

1) a) Détermination de a et b :

On utilise les conditions données :

• $f(0) = 1$ : $frac{a times 0 + b}{2 times 0 - 1} = frac{b}{-1} = -b = 1$

Donc $b = -1$

• $lim_{x to +infty} f(x) = 2$ :

$lim_{x to +infty} frac{ax + b}{2x - 1} = lim_{x to +infty} frac{x(a + frac{b}{x})}{x(2 - frac{1}{x})} = frac{a}{2} = 2$

Donc $a = 4$

b) Expression de f(x) :

$f(x) = frac{4x - 1}{2x - 1}$

Vérifions l’égalité : $frac{a}{2} + frac{a + 2b}{4x - 2} = frac{4}{2} + frac{4 + 2(-1)}{4x - 2} = 2 + frac{2}{4x - 2} = 2 + frac{1}{2x - 1}$

Or : $frac{4x - 1}{2x - 1} = frac{2(2x - 1) + 1}{2x - 1} = 2 + frac{1}{2x - 1}$ ✓

2) Asymptotes :

• Asymptote verticale : Le dénominateur s’annule pour $2x - 1 = 0$ , soit $x = frac{1}{2}$

Asymptote verticale : $x = frac{1}{2}$

• Asymptote horizontale : $lim_{x to pminfty} f(x) = 2$

Asymptote horizontale : $y = 2$

3) Dérivée et signe :

$f'(x) = frac{4(2x - 1) - (4x - 1) times 2}{(2x - 1)^2} = frac{8x - 4 - 8x + 2}{(2x - 1)^2} = frac{-2}{(2x - 1)^2}$

Signe de f'(x) : Pour tout $x neq frac{1}{2}$ , 0″ alt= »(2x – 1)^2 > 0″> donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x) < 0" alt="f'(x)

La fonction f est strictement décroissante sur $left]-infty; frac{1}{2}right[$ et sur $left]frac{1}{2}; +inftyright[$

4) Tableau de variation :

$begin{array}{|c|ccccc|} hline x -infty frac{1}{2} +infty \ hline f'(x) - || - \ hline f(x) 2 searrow +infty searrow 2 \ -infty \ hline end{array}$

5) Allure de la courbe :

La courbe représentative de f :

• Admet une asymptote verticale d’équation $x = frac{1}{2}$

• Admet une asymptote horizontale d’équation $y = 2$

• Est strictement décroissante sur chacun des intervalles de définition

• Passe par le point $(0; 1)$

Exercice 2 – sens de variation, signe et solutions de l’inéquation.

1) Montrons que f(x) = 2 + 1/(x-2) pour x ≠ 2 :

On transforme l’expression de f(x) :

$f(x) = frac{2x-3}{x-2}$

On effectue la division euclidienne de (2x-3) par (x-2) :

$2x-3 = 2(x-2) + 1$

Donc : $f(x) = frac{2(x-2)+1}{x-2} = frac{2(x-2)}{x-2} + frac{1}{x-2} = 2 + frac{1}{x-2}$

2) Limites aux bornes de D :

• En 2⁻ : $lim_{x to 2^-} f(x) = lim_{x to 2^-} left(2 + frac{1}{x-2}right) = 2 + (-infty) = -infty$

• En 2⁺ : $lim_{x to 2^+} f(x) = lim_{x to 2^+} left(2 + frac{1}{x-2}right) = 2 + (+infty) = +infty$

• En ±∞ : $lim_{x to pminfty} f(x) = lim_{x to pminfty} left(2 + frac{1}{x-2}right) = 2 + 0 = 2$

3a) Sens de variation de f :

On calcule la dérivée : $f'(x) = frac{d}{dx}left(2 + frac{1}{x-2}right) = -frac{1}{(x-2)^2}$

Comme 0″ alt= »(x-2)^2 > 0″> pour tout x ≠ 2, on a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f'(x) < 0" alt="f'(x) pour tout x ∈ D.

Conclusion : f est strictement décroissante sur ]-∞;2[ et sur ]2;+∞[.

3b) Signe de f(x) :

On résout f(x) = 0 :

$frac{2x-3}{x-2} = 0 Leftrightarrow 2x-3 = 0 Leftrightarrow x = frac{3}{2}$

On étudie le signe de $frac{2x-3}{x-2}$ :

• 2x-3 > 0 ⟺ x > 3/2

• x-2 > 0 ⟺ x > 2

Tableau de signes :

• f(x) > 0 sur $left]frac{3}{2};2right[ cup ]2;+infty[$

• f(x) < 0 sur $left]-infty;frac{3}{2}right[$

• f(x) = 0 pour $x = frac{3}{2}$

3c) Solutions de f(x) ≥ 2 :

On résout $2 + frac{1}{x-2} geq 2$

$frac{1}{x-2} geq 0$

Cette inéquation est vérifiée lorsque x-2 > 0, soit x > 2.

Solution : $S = ]2;+infty[$

Exercice 3 – préciser si les affirmations sont vraies ou fausses.

1) VRAIE

Si est un réel quelconque et une fonction définie et strictement décroissante sur , alors $lim_{xto+infty}f(x)=-infty$ .

Cette affirmation est vraie car une fonction strictement décroissante sur un intervalle non borné supérieurement tend nécessairement vers -infty quand .

2) VRAIE

Soit et deux fonctions définies sur telles que ne s’annule pas.

Si $lim_{xto+infty}f(x)=lim_{xto+infty}g(x)=-infty$ , alors $lim_{xto+infty}frac{f(x)}{g(x)}=1$ .

Cette affirmation est vraie d’après les règles sur les formes indéterminées : $lim_{xto+infty}frac{f(x)}{g(x)}=lim_{xto+infty}frac{1}{frac{g(x)}{f(x)}}=frac{1}{1}=1$ .

3) FAUSSE

Si est une fonction définie sur telle que <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0leq f(x)<sqrt{x}" alt="0leq f(x) sur , alors $lim_{xto+infty}frac{f(x)}{x}=0$ .

Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $f(x)=sqrt{x}-frac{1}{x}$ pour $xgeq 1$ . On a bien <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)<sqrt{x}" alt="f(x) mais $lim_{xto+infty}frac{f(x)}{x}=lim_{xto+infty}frac{1}{sqrt{x}}=0$ , ce qui ne contredit pas l’affirmation dans ce cas.

4) FAUSSE

Si est une fonction définie sur $mathbb{R}^*$ , alors la droite d’équation x=0 est asymptote à la courbe représentative de dans un repère du plan.

Cette affirmation est fausse. Une asymptote verticale d’équation x=0 existe seulement si $lim_{xto 0^+}f(x)=pminfty$ ou $lim_{xto 0^-}f(x)=pminfty$ . Ce n’est pas automatiquement le cas pour toute fonction définie sur $mathbb{R}^*$ .

Exercice 4 – trouver la bonne réponse parmi les réponses proposées.

On étudie la fonction $g(x)=frac{sqrt{x^2-2x}}{x-1}$

Étude du domaine de définition :

Pour que g(x) soit définie, il faut :

• (condition pour la racine carrée)

• x-1neq0 soit xneq1

Donc

Le domaine de définition est :

Étude des asymptotes :

• Asymptote verticale : x=1 n’est pas dans le domaine, donc pas d’asymptote verticale en x=1 .

• Comportement en :

$g(x)=frac{sqrt{x^2-2x}}{x-1}=frac{|x|sqrt{1-frac{2}{x}}}{x-1}$

Pour 0″ alt= »x>0″>, |x|=x , donc :

$g(x)=frac{xsqrt{1-frac{2}{x}}}{x-1}=frac{sqrt{1-frac{2}{x}}}{1-frac{1}{x}}$

$lim_{xto+infty}g(x)=frac{sqrt{1-0}}{1-0}=frac{1}{1}=1$

• Comportement en :

Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<0" alt="x, |x|=-x , donc :

$g(x)=frac{(-x)sqrt{1-frac{2}{x}}}{x-1}=frac{-sqrt{1-frac{2}{x}}}{1-frac{1}{x}}$

$lim_{xto-infty}g(x)=frac{-sqrt{1-0}}{1-0}=frac{-1}{1}=-1$

Conclusion :

Γ admet une asymptote horizontale d’équation y=1 en +infty et une asymptote horizontale d’équation y=-1 en -infty .

Réponses correctes : (a) et (d)

Exercice 5 – lien entre continuité et dérivabilité.

a) Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

Cette affirmation est vraie.

Si f est dérivable en a, alors la limite $lim_{hto0}frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est finie.

On a : $f(a+h)-f(a)=htimes frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Quand hto0 , on obtient : $lim_{hto0}[f(a+h)-f(a)]=0times f'(a)=0$

Donc $lim_{hto0}f(a+h)=f(a)$ , ce qui signifie que f est continue en a.

b) Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.

Cette affirmation est fausse.

Contre-exemple : la fonction en a=0 .

Cette fonction est continue en 0 car $lim_{xto0}|x|=0=f(0)$ .

Mais elle n’est pas dérivable en 0 car les limites à droite et à gauche du taux d’accroissement sont différentes :

$lim_{hto0^+}frac{|h|-|0|}{h}=lim_{hto0^+}frac{h}{h}=1$

$lim_{hto0^-}frac{|h|-|0|}{h}=lim_{hto0^-}frac{-h}{h}=-1$

c) Si f est dérivable en a, alors la fonction $hmapsto frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a une limite finie en 0.

Cette affirmation est vraie.

C’est la définition même de la dérivabilité en a. Si f est dérivable en a, alors par définition :

$lim_{hto0}frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$

Cette limite existe et est finie (égale à $f'(a)$ ).

Exercice 6 – le théorème des gendarmes.

1) Complétion de la phrase :

« On dit que admet une limite finie ell en +infty si $lim_{xto+infty}f(x)=ell$ ».

2) Démonstration du théorème des gendarmes :

Hypothèses :

• , et sont définies sur

• $lim_{xto+infty}g(x)=lim_{xto+infty}h(x)=ell$

• Pour tout suffisamment grand :

À démontrer : $lim_{xto+infty}f(x)=ell$

Démonstration :

Soit 0″ alt= »varepsilon>0″>.

Puisque $lim_{xto+infty}g(x)=ell$ , il existe A_1 tel que pour tout A_1″ alt= »x>A_1″> : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?|g(x)-ell|<varepsilon" alt="|g(x)-ell|

Puisque $lim_{xto+infty}h(x)=ell$ , il existe A_2 tel que pour tout A_2″ alt= »x>A_2″> : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?|h(x)-ell|<varepsilon" alt="|h(x)-ell|

Soit A_3 tel que pour tout A_3″ alt= »x>A_3″> :

Posons .

Pour tout A » alt= »x>A »>, on a :

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?ell-varepsilon<g(x)leq~f(x)leq~h(x)<ell+varepsilon" alt="ell-varepsilon<g(x)leq~f(x)leq~h(x)

Donc : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?ell-varepsilon<f(x)<ell+varepsilon" alt="ell-varepsilon<f(x), c’est-à-dire <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?|f(x)-ell|<varepsilon" alt="|f(x)-ell|.

Par conséquent : $lim_{xto+infty}f(x)=ell$

Exercice 7 – continuité en 1 et -1 d’une fonction.

1) Étude de la continuité en x = 1 :

Pour que f soit continue en 1, il faut que $lim_{xto1}f(x)=f(1)$ .

On a $f(1)=frac{1}{4}$ .

Calculons la limite : $lim_{xto1}frac{2-sqrt{x+3}}{x-1}$

On multiplie par l’expression conjuguée :

$frac{2-sqrt{x+3}}{x-1}times frac{2+sqrt{x+3}}{2+sqrt{x+3}}=frac{4-(x+3)}{(x-1)(2+sqrt{x+3})}=frac{1-x}{(x-1)(2+sqrt{x+3})}$

$=frac{-(x-1)}{(x-1)(2+sqrt{x+3})}=frac{-1}{2+sqrt{x+3}}$ (pour x ≠ 1)

Donc : $lim_{xto1}f(x)=frac{-1}{2+sqrt{1+3}}=frac{-1}{2+2}=frac{-1}{4}$

Comme $lim_{xto1}f(x)=frac{-1}{4}neqfrac{1}{4}=f(1)$ , f n’est pas continue en 1.

2) Étude de la continuité en x = -1 :

Pour que f soit continue en -1, il faut que $lim_{xto-1}f(x)=f(-1)$ .

On a f(-1)=1 .

Calculons la limite : $lim_{xto-1^+}frac{x+1}{sqrt{x+1}}$

Pour x > -1, on a $frac{x+1}{sqrt{x+1}}=sqrt{x+1}$ (car x + 1 > 0)

Donc : $lim_{xto-1^+}f(x)=lim_{xto-1^+}sqrt{x+1}=sqrt{-1+1}=0$

Comme $lim_{xto-1^+}f(x)=0neq1=f(-1)$ , f n’est pas continue en -1.

Exercice 8 – déterminer les intervalles où f est continue.

Graphique a)

1) Intervalles de continuité : La fonction f est continue sur et sur .

2) Image de 1 : f(1)=0

Limites : $lim_{xto1^-}f(x)=0$ et $lim_{xto1^+}f(x)=0$

L’image coïncide avec les limites.

Graphique b)

1) Intervalles de continuité : La fonction f est continue sur et sur .

2) Image de 1 : f(1)=1

Limites : $lim_{xto1^-}f(x)=0$ et $lim_{xto1^+}f(x)=0$

L’image ne coïncide pas avec les limites.

Graphique c)

1) Intervalles de continuité : La fonction f est continue sur .

2) Image de 1 : f(1)=0

Limites : $lim_{xto1^-}f(x)=0$ et $lim_{xto1^+}f(x)=0$

L’image coïncide avec les limites.

Graphique d)

1) Intervalles de continuité : La fonction f est continue sur et sur .

2) Image de 1 : f(1)=1

Limites : $lim_{xto1^-}f(x)=2$ et $lim_{xto1^+}f(x)=1$

L’image coïncide avec la limite à droite mais pas avec la limite à gauche.

Exercice 9 – déterminer l’ensemble de définition de f.

1) Ensemble de définition de f :

La fonction $f(x)=(x-1)sqrt{1-x^2}$ est définie si et seulement si l’expression sous la racine carrée est positive ou nulle.

On doit avoir :

$1-x^2geq0Leftrightarrow x^2leq1Leftrightarrow-1leq xleq1$

Donc l’ensemble de définition est :

2) Représentation graphique :

Pour tracer la courbe, calculons quelques valeurs particulières :

• $f(-1)=(-1-1)sqrt{1-1}=(-2)times 0=0$

• $f(0)=(0-1)sqrt{1-0}=(-1)times 1=-1$

• $f(1)=(1-1)sqrt{1-1}=0times 0=0$

La courbe passe par les points (-1;0) , (0;-1) et (1;0) .

3) Continuité de f sur D :

La fonction f est le produit de deux fonctions continues sur [-1;1] :

• (fonction affine, continue sur )

• $h(x)=sqrt{1-x^2}$ (composée de fonctions continues sur [-1;1] )

Le produit de deux fonctions continues est une fonction continue.

Conclusion : La fonction f est continue sur son ensemble de définition .

Exercice 10 – La fonction f est-elle continue en 1 ?

1) Tracer la courbe représentative de f :

La fonction est définie par :

• Pour xleq-1 : (droite de pente 1)

• Pour -1″ alt= »x>-1″> : (droite de pente -2)

Points remarquables :

• En x=-1 :

• Point de raccordement : (-1;1)

2) La fonction f est-elle continue en 1 ?

Pour étudier la continuité en x=1 , on utilise la définition appropriée car -1″ alt= »1>-1″>.

On a

Calculons $lim_{xto1}f(x)$ :

Au voisinage de 1, on a

Donc $lim_{xto1}f(x)=-2(1)-1=-3$

Puisque $f(1)=lim_{xto1}f(x)=-3$ , la fonction f est continue en 1.

3) Déterminer les limites en -1 :

Limite à gauche :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?lim_{substack{xto-1\x<-1}}f(x)=lim_{substack{xto-1\x<-1}}(x+2)=(-1)+2=1" alt="lim_{substack{xto-1\x<-1}}f(x)=lim_{substack{xto-1\x

Limite à droite :

-1}}f(x)=lim_{substack{xto-1\x>-1}}(-2x-1)=-2(-1)-1=1″ alt= »lim_{substack{xto-1\x>-1}}f(x)=lim_{substack{xto-1\x>-1}}(-2x-1)=-2(-1)-1=1″>

Conclusion : Les deux limites sont égales à 1, et f(-1)=1 . Donc f est continue en -1.

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