Translation : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF

Pour identifier les translations dans cette frise de l’Alhambra, je vais analyser chaque motif et déterminer lequel est l’image de l’autre par une translation.

Rappel : Une translation conserve les formes et les orientations. Le motif image a exactement la même forme et la même orientation que le motif initial.

Analyse des motifs :

a. Le motif ① a pour image le motif ② ?
En observant les motifs ① et ②, ils ont la même forme triangulaire mais des orientations différentes. Le motif ② semble être une réflexion du motif ①.
Réponse : Non, ce n’est pas une translation.

b. Le motif ① a pour image le motif ④ ?
Les motifs ① et ④ ont des formes et des orientations identiques. Le motif ④ est situé plus à droite que le motif ①, ce qui correspond à une translation horizontale.
Réponse : Oui, c’est une translation.

c. Le motif ③ est l’image du motif ⑤ ?
Les motifs ③ et ⑤ ont la même forme triangulaire et la même orientation. Le motif ③ peut être obtenu à partir du motif ⑤ par une translation vers la gauche.
Réponse : Oui, c’est une translation.

d. Le motif ④ est l’image du motif ② ?
Les motifs ④ et ② ont des orientations différentes. Ils ne peuvent pas être reliés par une simple translation.
Réponse : Non, ce n’est pas une translation.

Exercice 2 – compléter un tableau.

Correction du tableau :

Translation ① : E → F avec la figure BCG

La translation qui transforme E en F transforme aussi :

• B en C (translation d’1 carreau vers la droite)

• C en ? (translation d’1 carreau vers la droite) → D

• G en ? (translation d’1 carreau vers la droite) → H

Figure obtenue : CDH

Translation ② : L → G avec la figure KGHL

La translation qui transforme L en G transforme aussi :

• K en ? → F

• G reste G (point fixe dans cette direction)

• H en ? → C

En fait, L → G correspond à une translation vers le haut de 2 carreaux.

Figure obtenue : FGCG → FGC (en supprimant la répétition)

Translation ③ : H → K

Cette translation va de H vers K (2 carreaux vers la gauche et 2 vers le bas).

Figure initiale manquante : AEG

Translation ④ : I → ?

En observant le pattern ABF → CDH, on voit une translation d’1 carreau vers la droite.

Donc I se transforme en J.

Tableau complété :

① Figure obtenue : CDH

② Figure obtenue : ABEF

③ Figure initiale : AEG

④ Point obtenu : J

Exercice 3 – construction de la translation d’un polygone

Méthode : Pour construire l’image d’un polygone par une translation, on applique la translation à chaque sommet du polygone.

Étape 1 : Identifier la translation

La translation transforme :

• M en N

• J en K

• L en O

Étape 2 : Déterminer le vecteur de translation

Le vecteur de translation est (ou ou ).

Étape 3 : Construire l’image de chaque sommet

Pour chaque sommet du polygone ABCDEFGHI, on trace le vecteur à partir de ce sommet :

• A’ est l’image de A par la translation de vecteur

• B’ est l’image de B par la translation de vecteur

• Et ainsi de suite pour tous les sommets C, D, E, F, G, H, I

Étape 4 : Relier les points images

On relie les points images A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’, H’, I’ dans le même ordre que le polygone original pour obtenir le polygone image.

Propriété : La translation conserve les distances, les angles et la forme du polygone. Le polygone image est superposable au polygone initial.

Exercice 4 – construire les images par translation.

Pour construire les images B’ et C’ par la translation qui transforme A en A’ :

Étape 1 : Identifier le vecteur de translation

Le vecteur de translation est .

Étape 2 : Construire B’

L’image B’ du point B par cette translation vérifie :

Construction : À partir du point B, tracer un vecteur égal à (même direction, même sens, même longueur). L’extrémité de ce vecteur est le point B’.

Étape 3 : Construire C’

L’image C’ du point C par cette translation vérifie :

Construction : À partir du point C, tracer un vecteur égal à (même direction, même sens, même longueur). L’extrémité de ce vecteur est le point C’.

Propriété importante :

Par une translation, l’image du triangle ABC est le triangle A’B’C’. Ces deux triangles sont superposables et ont la même orientation.

Exercice 5 – quadrillage et translation.

1. Reproduction de la figure :

Il faut reproduire exactement la figure donnée sur le quadrillage en respectant les positions des points A, B, E, F, O et la forme de la figure .

2.a. Symétrie centrale par rapport au point O :

Pour tracer la figure , symétrique de par rapport au point O :

• Pour chaque sommet de , on trace son symétrique par rapport à O

• Le point O est le milieu du segment reliant chaque point à son symétrique

• On relie les points symétriques dans le même ordre pour obtenir

2.b. Symétrie axiale par rapport à la droite (EF) :

Pour tracer la figure , symétrique de par rapport à la droite (EF) :

• On trace d’abord la droite (EF)

• Pour chaque sommet de , on trace la perpendiculaire à (EF) passant par ce point

• Le symétrique se trouve sur cette perpendiculaire, à égale distance de la droite (EF)

• On relie les points symétriques pour obtenir

2.c. Translation qui transforme A en B :

Pour tracer la figure , image de par la translation qui transforme A en B :

• On détermine le vecteur de translation

• On applique ce même vecteur à chaque sommet de

• Chaque point M de a pour image M’ tel que

• On relie les points images pour obtenir

Exercice 6 – utiliser les propriétés de la translation.

1.a. Construction du rectangle ABCD :

On construit le triangle rectangle ABC avec AB = 4 cm, BC = 3 cm et AC = 5 cm.

Vérification :

Le triangle ABC est rectangle en B d’après la réciproque du théorème de Pythagore.

Pour compléter le rectangle ABCD, on trace les perpendiculaires à AB passant par C et à BC passant par A. Leur intersection donne le point D.

1.b. Construction du rectangle B’A’B’C’ :

On applique la translation qui transforme D en B à tous les sommets du rectangle ABCD :

• D → B (donné)

• A → B’ (B’ est l’image de A par cette translation)

• B → A’ (A’ est l’image de B par cette translation)

• C → C’ (C’ est l’image de C par cette translation)

2. Longueurs sans mesurer :

Une translation conserve les distances, donc :

a. BA’ = BD = AC = 5 cm (diagonale du rectangle ABCD)

b. A’C’ = AC = 5 cm (diagonale du rectangle ABCD)

c. BC’ = AD = BC = 3 cm (côtés opposés du rectangle ABCD)

d. A’B’ = AB = 4 cm (côté du rectangle ABCD)