Nombres complexes : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Je dois signaler une incohérence dans votre demande : les nombres complexes ne sont pas étudiés en classe de Terminale mais constituent un chapitre avancé du programme de Terminale. En Terminale, les élèves découvrent les nombres entiers, les nombres décimaux et les fractions simples, développant ainsi leurs premières compétences en calcul et en représentation numérique. Ces corrections d’exercices de mathématiques permettent aux collégiens de consolider leurs acquis fondamentaux et de maîtriser les opérations de base essentielles pour leur progression scolaire. La pratique régulière de ces exercices renforce leur raisonnement mathématique et leur confiance en calcul mental.

Exercice 1 – vérifier des égalités.

Calcul de P(1 + i) :

On a $P(z) = z^3 + 2z^2 - 6z + 8$

Calculons $P(1 + i)$ :

D’abord, calculons les puissances de $(1 + i)$ :

$(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

$(1 + i)^3 = (1 + i) times 2i = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$

Donc :

$P(1 + i) = (-2 + 2i) + 2(2i) - 6(1 + i) + 8$

$P(1 + i) = -2 + 2i + 4i - 6 - 6i + 8$

$P(1 + i) = (-2 - 6 + 8) + (2i + 4i - 6i) = 0 + 0i = 0$

Calcul de P(1 – i) :

Calculons les puissances de $(1 - i)$ :

$(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

$(1 - i)^3 = (1 - i) times (-2i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = -2 - 2i$

Donc :

$P(1 - i) = (-2 - 2i) + 2(-2i) - 6(1 - i) + 8$

$P(1 - i) = -2 - 2i - 4i - 6 + 6i + 8$

$P(1 - i) = (-2 - 6 + 8) + (-2i - 4i + 6i) = 0 + 0i = 0$

Conclusion : Les égalités $P(1 + i) = 0$ et $P(1 - i) = 0$ sont vérifiées.

Exercice 2 – une fonction numérique et nombres complexes.

a) Calcul de f(3) :

$f(3)=frac{2times 3-1}{3-1}=frac{6-1}{2}=frac{5}{2}$

b) Calcul de f(1/2) :

$fleft(frac{1}{2}right)=frac{2times frac{1}{2}-1}{frac{1}{2}-1}=frac{1-1}{frac{1}{2}-1}=frac{0}{-frac{1}{2}}=0$

c) Calcul de f((1+i)/(1-i)) :

D’abord, simplifions $frac{1+i}{1-i}$ en multipliant par le conjugué :

$frac{1+i}{1-i}times frac{1+i}{1+i}=frac{(1+i)^2}{1-i^2}=frac{1+2i+i^2}{1-(-1)}=frac{1+2i-1}{2}=frac{2i}{2}=i$

Donc $fleft(frac{1+i}{1-i}right)=f(i)$

$f(i)=frac{2times i-1}{i-1}=frac{2i-1}{i-1}$

Multiplions par le conjugué du dénominateur :

$f(i)=frac{2i-1}{i-1}times frac{-i-1}{-i-1}=frac{(2i-1)(-i-1)}{(i-1)(-i-1)}$

Calculons le dénominateur :

Calculons le numérateur :

Donc : $fleft(frac{1+i}{1-i}right)=frac{3-i}{2}$

Exercice 3 – vérifier que les nombres sont des imaginaires purs.

Calcul de z₁ + z₂ :

On a $z_1=frac{1-i}{3+5i}$ et $z_2=frac{1+i}{3-5i}$ .

Pour calculer z₁, on multiplie par le conjugué du dénominateur :

$z_1=frac{1-i}{3+5i}times frac{3-5i}{3-5i}=frac{(1-i)(3-5i)}{(3+5i)(3-5i)}$

Numérateur :

Dénominateur :

Donc $z_1=frac{-2-8i}{34}=-frac{1}{17}-frac{4i}{17}$

De même pour z₂ :

$z_2=frac{1+i}{3-5i}times frac{3+5i}{3+5i}=frac{(1+i)(3+5i)}{34}$

Numérateur :

Donc $z_2=frac{-2+8i}{34}=-frac{1}{17}+frac{4i}{17}$

Calcul de z₁ + z₂ :

$z_1+z_2=left(-frac{1}{17}-frac{4i}{17}right)+left(-frac{1}{17}+frac{4i}{17}right)=-frac{2}{17}$

z₁ + z₂ est bien un nombre réel.

Calcul de z₁ – z₂ :

$z_1-z_2=left(-frac{1}{17}-frac{4i}{17}right)-left(-frac{1}{17}+frac{4i}{17}right)=-frac{8i}{17}$

z₁ – z₂ est bien un imaginaire pur.

Exercice 4 – résoudre des équations dans C.

Discriminant : $Delta=3^2-4times 2times (-5)=9+40=49$

$z_1=frac{-3+7}{4}=1$ et $z_2=frac{-3-7}{4}=-frac{5}{2}$

Discriminant : $Delta=3^2-4times 2times 5=9-40=-31$

$z_1=frac{-3+isqrt{31}}{4}$ et $z_2=frac{-3-isqrt{31}}{4}$

z^2=-4

z_1=2i et z_2=-2i

Discriminant : $Delta=(-4)^2-4times 1times 4=16-16=0$

$z=frac{4}{2}=2$ (solution double)

a) $frac{1}{3}z^2+frac{1}{6}z+1=0$

En multipliant par 6 :

Discriminant : $Delta=1-4times 2times 6=1-48=-47$

$z_1=frac{-1+isqrt{47}}{4}$ et $z_2=frac{-1-isqrt{47}}{4}$

$z^2=-frac{25}{9}$

$z_1=frac{5i}{3}$ et $z_2=-frac{5i}{3}$

Discriminant : $Delta=6^2-4times 3times 4=36-48=-12$

$z_1=frac{-6+isqrt{12}}{6}=frac{-6+2isqrt{3}}{6}=-1+frac{isqrt{3}}{3}$

$z_2=-1-frac{isqrt{3}}{3}$

z_1=0 et $z_2=-frac{2}{5}$

Exercice 5 – résoudre l’équation avec des nombres complexes.

On doit résoudre l’équation : $z^2-(1+sqrt{3})z+sqrt{3}=0$

Méthode : On utilise la formule du discriminant pour une équation du second degré.

Pour l’équation , on a :

• a=1

•

Calcul du discriminant :

$Delta=(1+sqrt{3})^2-4times 1times sqrt{3}$

Calcul des solutions :

Comme 0″ alt= »4-2sqrt{3}>0″> (car ), le discriminant est positif.

$z_{1,2}=frac{-bpmsqrt{Delta}}{2a}=frac{1+sqrt{3}pmsqrt{4-2sqrt{3}}}{2}$

On remarque que $4-2sqrt{3}=(sqrt{3}-1)^2$ car $(sqrt{3}-1)^2=3-2sqrt{3}+1=4-2sqrt{3}$

Donc

Les solutions sont :

$z_1=frac{1+sqrt{3}+sqrt{3}-1}{2}=frac{2sqrt{3}}{2}=sqrt{3}$

$z_2=frac{1+sqrt{3}-sqrt{3}+1}{2}=frac{2}{2}=1$

Réponse :

Exercice 6 – nombres complexes et trigonométrie.

On résout l’équation dans .

Calcul du discriminant :

a) Cas où :

et sinpi=0

Donc $Delta=-4times 0^2=0$

L’équation devient :

Soit

Solution : z=-1 (racine double)

b) Cas où $theta=frac{pi}{4}$ :

$cosfrac{pi}{4}=frac{sqrt{2}}{2}$ et $sinfrac{pi}{4}=frac{sqrt{2}}{2}$

$Delta=-4times left(frac{sqrt{2}}{2}right)^2=-4times frac{1}{2}=-2$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?Delta<0" alt="Delta, on a

Les solutions sont :

$z_1=frac{2times frac{sqrt{2}}{2}+isqrt{2}}{2}=frac{sqrt{2}+isqrt{2}}{2}=frac{sqrt{2}(1+i)}{2}$

$z_2=frac{2times frac{sqrt{2}}{2}-isqrt{2}}{2}=frac{sqrt{2}-isqrt{2}}{2}=frac{sqrt{2}(1-i)}{2}$

Solutions : $z_1=frac{sqrt{2}(1+i)}{2}$ et $z_2=frac{sqrt{2}(1-i)}{2}$

Exercice 7 – résoudre dans C l’équation

Nous devons résoudre l’équation :

Étape 1 : Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

Donc : ou

Étape 2 : Résolution de

Discriminant : $Delta_1=3^2-4times 1times 1=9-4=5$

Les solutions sont : $z_1=frac{-3-sqrt{5}}{2}$ et $z_2=frac{-3+sqrt{5}}{2}$

Étape 3 : Résolution de

Discriminant : $Delta_2=(-1)^2-4times 1times 6=1-24=-23$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?Delta_2<0" alt="Delta_2, les solutions sont complexes :

$z_3=frac{1-isqrt{23}}{2}$ et $z_4=frac{1+isqrt{23}}{2}$

Réponse : L’équation admet quatre solutions dans :

$z_1=frac{-3-sqrt{5}}{2}$ , $z_2=frac{-3+sqrt{5}}{2}$ , $z_3=frac{1-isqrt{23}}{2}$ , $z_4=frac{1+isqrt{23}}{2}$

Exercice 8 – polynôme et résolution de l’équation.

a) Justification de la factorisation :

La copie d’écran montre la factorisation du polynôme :

Cette factorisation est correcte car :

• Le polynôme est de degré 4, donc il a exactement 4 racines complexes (comptées avec multiplicité)

• Les coefficients de P(z) étant réels, les racines complexes non réelles apparaissent par paires conjuguées

• On a bien deux paires de conjugués : $-1pm isqrt{7}$ et $-1pm isqrt{2}$

b) Résolution dans ℂ de l’équation P(z) = 0 :

D’après la factorisation, P(z)=0 si et seulement si l’un des facteurs est nul :

ou ou ou

Les quatre solutions sont :

$z_1=-1-isqrt{7}$

$z_2=-1+isqrt{7}$

$z_3=-1-isqrt{2}$

$z_4=-1+isqrt{2}$

Exercice 9 – systèmes d’équations avec des nombres complexes.

Nous devons résoudre le système :

$left{begin{array}{l}z_1z_2=10\z_1+z_2=-2end{array}right.$

Méthode : Les nombres complexes z_1 et z_2 sont les racines de l’équation du second degré :

En substituant les valeurs données :

Calcul du discriminant :

$Delta=2^2-4times 1times 10=4-40=-36$

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?Delta<0" alt="Delta, nous avons

Solutions :

$z_1=frac{-2+6i}{2}=frac{-2}{2}+frac{6i}{2}=-1+3i$

$z_2=frac{-2-6i}{2}=frac{-2}{2}-frac{6i}{2}=-1-3i$

Vérification :

✓

Réponse : et

Exercice 10 – déterminer la forme algébrique.

$z_1=2times (-1)+2times {i}+3itimes (-1)+3itimes {i}$

$z_1=-2-i+3times (-1)=-2-i-3$

Réponse :

$z_2=1^2-2times 1times {i}+i^2$

Réponse : z_2=-2i

Calculons d’abord :

Puis :

Réponse :

4) $z_2=frac{1}{i}$

$z_2=frac{1}{i}times frac{-i}{-i}=frac{-i}{-i^2}=frac{-i}{-(-1)}=frac{-i}{1}$

Réponse : z_2=-i

Réponse : z_1=25

6) $z_2=frac{1}{5+2i}$

$z_2=frac{1}{5+2i}times frac{5-2i}{5-2i}=frac{5-2i}{25-4i^2}=frac{5-2i}{25+4}=frac{5-2i}{29}$

Réponse : $z_2=frac{5}{29}-frac{2}{29}i$

7) $z_1=frac{3+4i}{1+i}$

$z_1=frac{3+4i}{1+i}times frac{1-i}{1-i}=frac{(3+4i)(1-i)}{1-i^2}=frac{3-3i+4i-4i^2}{2}=frac{3+i+4}{2}$

Réponse : $z_1=frac{7}{2}+frac{1}{2}i$

8) $z_2=frac{1}{sqrt{3}+4i}$

$z_2=frac{1}{sqrt{3}+4i}times frac{sqrt{3}-4i}{sqrt{3}-4i}=frac{sqrt{3}-4i}{3-16i^2}=frac{sqrt{3}-4i}{3+16}=frac{sqrt{3}-4i}{19}$

Réponse : $z_2=frac{sqrt{3}}{19}-frac{4}{19}i$

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