Logarithme népérien : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Je dois vous signaler une incohérence dans votre demande : le logarithme népérien n’est pas au programme de mathématiques en Terminale. Cette notion complexe est étudiée au lycée (Terminale).

Cependant, si vous souhaitez une introduction pour des exercices corrigés de logarithme népérien, voici le texte adapté pour le niveau lycée :

Les exercices corrigés sur le logarithme népérien constituent un pilier fondamental pour maîtriser l’analyse mathématique au lycée. Cette fonction logarithmique, notée ln, développe des compétences essentielles en calcul algébrique et en résolution d’équations exponentielles. Nos corrections détaillées d’exercices de logarithme permettent aux élèves d’appréhender les propriétés de cette fonction et ses applications concrètes. Chaque exercice de mathématiques corrigé renforce la compréhension des dérivées, limites et études de fonctions logarithmiques.

Exercice 1 – simplification de logarithmes.

1) $e^{ln3}$

Par définition, $e^{ln3}=3$

2) $e^{-ln5}$

$e^{-ln5}=e^{ln5^{-1}}=5^{-1}=frac{1}{5}$

3) $e^{ln(frac{1}{4})}$

Par définition, $e^{ln(frac{1}{4})}=frac{1}{4}$

4) ln(e^5)

Par définition,

5) $ln1+ln e$

$ln1+ln e=0+1=1$

6) $ln(e^{-2})$

Par définition, $ln(e^{-2})=-2$

Exercice 2 – exprimer ces nombres sous la forme ln c.

1) A = ln 7 + ln 8

On utilise la propriété : $ln(a)+ln(b)=ln(atimes b)$

$A=ln(7times 8)=ln 56$

2) B = ln 20 – ln 4

On utilise la propriété : $ln(a)-ln(b)=lnleft(frac{a}{b}right)$

$B=lnleft(frac{20}{4}right)=ln 5$

3) C = -ln 4 + ln 28

On réécrit : $C=ln 28-ln 4$

$C=lnleft(frac{28}{4}right)=ln 7$

4) D = 3 ln 2

On utilise la propriété :

$D=ln(2^3)=ln 8$

5) E = -2 ln 4

On utilise la propriété :

$E=ln(4^{-2})=lnleft(frac{1}{4^2}right)=lnleft(frac{1}{16}right)$

Exercice 3 – comparer les réels A et B.

1) Comparaison de A = ln 2 + ln 5 et B = ln 9

Utilisons la propriété : $ln(a)+ln(b)=ln(atimes b)$

$A=ln(2times 5)=ln(10)$

Comme 9″ alt= »10>9″> et que la fonction ln est croissante, alors ln(9) » alt= »ln(10)>ln(9) »>

Donc A > B

2) Comparaison de A = ln 4 et B = ln 6 – ln 2

Utilisons la propriété : $ln(a)-ln(b)=lnleft(frac{a}{b}right)$

$B=lnleft(frac{6}{2}right)=ln(3)$

Comme 3″ alt= »4>3″> et que la fonction ln est croissante, alors ln(3) » alt= »ln(4)>ln(3) »>

Donc A > B

3) Comparaison de A = 3 ln 2 et B = 2 ln 3

Utilisons la propriété :

Comme <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?8<9" alt="8 et que la fonction ln est croissante, alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?ln(8)<ln(9)" alt="ln(8)

Donc A < B

4) Comparaison de A = ln 25 et B = 2 ln 5

Utilisons la propriété :

Donc A=B

Donc A = B

Exercice 4 – résoudre les équations suivantes.

1) Résoudre e^x=2

Pour résoudre cette équation, on applique la fonction logarithme népérien aux deux membres :

Or , donc :

Réponse : x=ln(2)

2) Résoudre e^x=-5

La fonction exponentielle est toujours strictement positive. Pour tout réel , on a 0″ alt= »e^x>0″>.

Or <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-5<0" alt="-5, donc l’équation n’a pas de solution.

Réponse : Pas de solution dans

3) Résoudre $e^x=frac{1}{4}$

On applique la fonction logarithme népérien aux deux membres :

$ln(e^x)=lnleft(frac{1}{4}right)$

Or $lnleft(frac{1}{4}right)=ln(1)-ln(4)=0-ln(4)=-ln(4)$

Réponse :

Exercice 5 – résoudre les équations.

1) Résoudre : $ln x = lnleft(frac{1}{2}right)$

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur .

Donc si $ln x = lnleft(frac{1}{2}right)$ , alors $x = frac{1}{2}$ .

Réponse : $x = frac{1}{2}$

2) Résoudre : $ln x = frac{ln 5}{2}$

On applique la fonction exponentielle aux deux membres :

$e^{ln x} = e^{frac{ln 5}{2}}$

$x = e^{frac{ln 5}{2}}$

Or $e^{frac{ln 5}{2}} = left(e^{ln 5}right)^{frac{1}{2}} = 5^{frac{1}{2}} = sqrt{5}$

Réponse : $x = sqrt{5}$

3) Résoudre : $ln x = -ln 9$

On applique la fonction exponentielle aux deux membres :

$e^{ln x} = e^{-ln 9}$

$x = e^{-ln 9}$

Or $e^{-ln 9} = frac{1}{e^{ln 9}} = frac{1}{9}$

Réponse : $x = frac{1}{9}$

Exercice 6 – logarithmes népériens et équations.

1) Résolution de $(ln x - 2)(1 + ln x) = 0$

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

• $ln x - 2 = 0$ donc $ln x = 2$ donc $x = e^2$

• $1 + ln x = 0$ donc $ln x = -1$ donc $x = e^{-1} = frac{1}{e}$

Solutions : $S = left{frac{1}{e} ; e^2right}$

2) Résolution de $(e^x - 3)(e^x + 5) = 0$

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

• $e^x - 3 = 0$ donc $e^x = 3$ donc $x = ln 3$

• $e^x + 5 = 0$ donc $e^x = -5$

Or 0″ alt= »e^x > 0″> pour tout réel x, donc cette équation n’a pas de solution.

Solution : $S = {ln 3}$

3) Résolution de $(ln x)(6 - 3ln x) = 0$

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

• $ln x = 0$ donc $x = e^0 = 1$

• $6 - 3ln x = 0$ donc $3ln x = 6$ donc $ln x = 2$ donc $x = e^2$

Solutions : $S = {1 ; e^2}$

Exercice 7 – résoudre les inéquations suivantes

1) Résoudre ln(x) ≥ 1

Pour que ln(x) soit défini, il faut x > 0.

ln(x) ≥ 1 équivaut à x ≥ e¹ = e

Solution :

2) Résoudre ln(x) > -2

Pour que ln(x) soit défini, il faut x > 0.

ln(x) > -2 équivaut à x > e⁻² = $frac{1}{e^2}$

Solution : $xin]frac{1}{e^2};+infty[$

3) Résoudre ln(x) ≤ $frac{1}{2}$

Pour que ln(x) soit défini, il faut x > 0.

ln(x) ≤ $frac{1}{2}$ équivaut à x ≤ $e^{frac{1}{2}}=sqrt{e}$

Solution :

4) Résoudre ln(x) < 3

Pour que ln(x) soit défini, il faut x > 0.

ln(x) < 3 équivaut à x < e³

Solution :

Exercice 8 – fonction logarithme : image et antécédent.

1) 0 a un seul antécédent par f.

VRAI. On cherche tel que f(x)=0 , soit $ln x=0$ .

Donc x=e^0=1 . L’unique antécédent de 0 est 1.

2) L’image de 1 par f est e.

FAUX. .

L’image de 1 par f est 0, pas e.

3) L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe.

VRAI. Quand $xto 0^+$ , on a $ln xto -infty$ .

La droite d’équation y=0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe.

4) L’axe des ordonnées est une asymptote à la courbe.

VRAI. Quand $xto 0^+$ , on a $ln xto -infty$ .

La droite d’équation x=0 (axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe.

5) Il n’existe aucun réel x tel que ln x > 100.

FAUX. La fonction logarithme n’est pas majorée : $lim_{xto+infty}ln x=+infty$ .

Par exemple, 100″ alt= »ln(e^{101})=101>100″>.

Exercice 9 – etude d’une fonction logarithme et utilisation de la calculatrice.

1) Équation de la tangente T à la courbe C en x = 1

On a $f(x)=ln x$

Calculons $f'(x)=frac{1}{x}$

En x = 1 : $f(1)=ln 1=0$ et $f'(1)=frac{1}{1}=1$

L’équation de la tangente T est : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$

Donc : $T:y=1times (x-1)+0=x-1$

2) Position relative de C et T à l’aide de la calculatrice

Il faut étudier le signe de $f(x)-(x-1)=ln x-x+1$

À l’aide de la calculatrice, on peut tracer les courbes de f(x) et de la droite y = x – 1.

Conjecture : La courbe C semble être située en dessous de la tangente T (sauf au point de tangence x = 1).

3) Étude de la fonction d(x) = ln x – x + 1

a) Tableau de variation de d(x)

On calcule $d'(x)=frac{1}{x}-1=frac{1-x}{x}$

Pour x > 0 :

• Si 0 < x 0, donc 0″ alt= »d'(x)>0″>

• Si x = 1, alors $d'(x)=0$

• Si x > 1, alors 1 – x < 0, donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?d'(x)<0" alt="d'(x)

De plus : $d(1)=ln 1-1+1=0$

La fonction d est croissante sur ]0;1] et décroissante sur [1;+∞[, avec un maximum en x = 1 égal à 0.

b) Signe de d(x)

Comme d admet un maximum global égal à 0 en x = 1, on a :

$d(x)leq 0$ pour tout x > 0, avec égalité si et seulement si x = 1.

c) Démonstration de la conjecture

On a montré que $d(x)=ln x-x+1leq 0$ pour tout x > 0.

Cela signifie que $ln xleq x-1$ pour tout x > 0.

Donc $f(x)leq x-1$ avec égalité uniquement en x = 1.

La conjecture est démontrée : la courbe C est située en dessous de sa tangente T au point d’abscisse 1.

Exercice 10 – Calculs avec les logarithmes et exponentielles

Partie 1 : Calculer les nombres réels suivants

En utilisant la propriété $ln(a)+ln(b)=ln(atimes {b})$ :

$ln(0{,}5)+ln2=ln(0{,}5times 2)=ln(1)=0$

En utilisant les propriétés et $ln(a)-ln(b)=lnleft(frac{a}{b}right)$ :

$3ln2-ln4=ln(2^3)-ln4=ln(8)-ln(4)=lnleft(frac{8}{4}right)=ln(2)$

En utilisant la propriété :

4) $e^{ln2+ln5}$

En utilisant les propriétés $ln(a)+ln(b)=ln(atimes {b})$ et $e^{ln(k)}=k$ :

$e^{ln2+ln5}=e^{ln(2times 5)}=e^{ln(10)}=10$

Partie 2 : Exprimer sous forme d’un entier ou d’un inverse entier

1) $A=e^{2ln3}$

En utilisant les propriétés et $e^{ln(k)}=k$ :

$A=e^{2ln3}=e^{ln(3^2)}=e^{ln(9)}=9$

2) $B=e^{4ln2}$

$B=e^{4ln2}=e^{ln(2^4)}=e^{ln(16)}=16$

3) $C=e^{-ln4}$

En utilisant la propriété $e^{-ln(a)}=frac{1}{a}$ :

$C=e^{-ln4}=frac{1}{4}$

4) $D=e^{-5ln2}$

$D=e^{-5ln2}=e^{ln(2^{-5})}=e^{lnleft(frac{1}{2^5}right)}=frac{1}{32}$

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