Les équations paramétriques et cartésiennes de droites : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les équations paramétriques et cartésiennes de droites constituent un chapitre fondamental des mathématiques en Terminale qui permet aux élèves de découvrir la géométrie analytique. Cette notion essentielle développe les compétences mathématiques liées à la représentation graphique, au calcul algébrique et à la résolution d’équations. Maîtriser les équations de droites est crucial pour progresser en géométrie et préparer les apprentissages futurs en mathématiques. Ces exercices corrigés de mathématiques offrent aux collégiens un accompagnement personnalisé pour comprendre et appliquer efficacement ces concepts fondamentaux.

Exercice 1 – indiquer les coordonnées d’un vecteur directeur.

Pour la droite d :

La représentation paramétrique de la droite d est :

$begin{cases}x=1+2t\y=-3+t\z=5tend{cases}$

Un point de la droite d a pour coordonnées (obtenu pour t=0 ).

Un vecteur directeur de la droite d a pour coordonnées (coefficients du paramètre t).

Pour la droite d’ :

La représentation paramétrique de la droite d’ est :

$begin{cases}x=2-3t'\y=-2t'\z=1-t'end{cases}$

Un point de la droite d’ a pour coordonnées (2;0;1) (obtenu pour $t'=0$ ).

Un vecteur directeur de la droite d’ a pour coordonnées (coefficients du paramètre t’).

Exercice 2 – déterminer les coordonnées de 4 points de la droite.

Pour déterminer les coordonnées de quatre points de la droite , il suffit de choisir quatre valeurs différentes pour le paramètre et de calculer les coordonnées correspondantes.

Pour t = 0 :

$y=5+3times 0=5$

$z=-2-2times 0=-2$

Premier point :

Pour t = 1 :

$y=5+3times 1=8$

$z=-2-2times 1=-4$

Deuxième point :

Pour t = -1 :

$y=5+3times (-1)=2$

$z=-2-2times (-1)=0$

Troisième point :

Pour t = 2 :

$y=5+3times 2=11$

$z=-2-2times 2=-6$

Quatrième point :

Réponse : Les quatre points sont , , et .

Exercice 3 – représentation paramétrique de la droite (AB).

Étape 1 : Calcul du vecteur directeur vec{AB}

Avec A(1 ; 2 ; 1) et B(4 ; 5 ; -2) :

$vec{AB} = (4-1 ; 5-2 ; -2-1) = (3 ; 3 ; -3)$

Étape 2 : Forme générale d’une représentation paramétrique

La droite (AB) a pour représentation paramétrique :

$begin{cases} x = x_A + t times 3 \ y = y_A + t times 3 \ z = z_A + t times (-3) end{cases}$

où $(x_A ; y_A ; z_A)$ sont les coordonnées d’un point de la droite.

Étape 3 : Vérification de chaque système

Système (1) : Point de passage A(1 ; 2 ; 1), vecteur directeur (3 ; 3 ; -3) ✓

Système (2) : Point de passage (3 ; 3 ; -3), vecteur directeur (1 ; 2 ; 1)

Le vecteur directeur n’est pas proportionnel à vec{AB} ✗

Système (3) : Point de passage B(4 ; 5 ; -2), vecteur directeur (3 ; 3 ; -3) ✓

Système (4) : Point de passage B(4 ; 5 ; -2), vecteur directeur (-1 ; -1 ; 1)

Le vecteur (-1 ; -1 ; 1) est proportionnel à (3 ; 3 ; -3) avec le coefficient $-frac{1}{3}$ ✓

Réponse : Les systèmes (1), (3) et (4) sont des représentations paramétriques correctes de la droite (AB).

Exercice 4 – est-ce-que ces deux droites sont parallèles ?

Pour déterminer si deux droites sont parallèles, nous devons comparer leurs vecteurs directeurs.

Vecteur directeur de la droite d :

À partir de la représentation paramétrique $begin{cases}x=-1+t\y=5+2t\z=2-3tend{cases}$ , le vecteur directeur est .

Vecteur directeur de la droite d’ :

À partir de la représentation paramétrique $begin{cases}x=2t'\y=-1+4t'\z=-6t'end{cases}$ , le vecteur directeur est .

Comparaison des vecteurs directeurs :

Vérifions si vec{v} est un multiple de vec{u} :

$vec{v}=(2,4,-6)=2times (1,2,-3)=2vec{u}$

Conclusion :

Puisque , les vecteurs directeurs sont colinéaires.

Luca a raison : ces deux droites sont bien parallèles.

Exercice 5 – démontrer que les droites (d) et (d’) sont sécantes.

Méthode : Deux droites sont sécantes si elles ne sont pas parallèles et ne sont pas confondues.

Étape 1 : Identification des vecteurs directeurs

Pour la droite (d) : $vec{u} = begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -2 end{pmatrix}$

Pour la droite (d’) : $vec{v} = begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 end{pmatrix}$

Étape 2 : Vérification du parallélisme

Les droites sont parallèles si et seulement si vec{u} et vec{v} sont colinéaires.

Si $vec{u} = kvec{v}$ , alors :

$1 = k times 1 Rightarrow k = 1$

$2 = k times (-2) = 1 times (-2) = -2$

Or $2 neq -2$ , donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Étape 3 : Les droites ne sont pas confondues

Un point de (d) : $A(5, 2, -2)$ (pour $t = 0$ )

Vérifions si A appartient à (d’) en résolvant :

$begin{cases} 5 = -17 + 2t' \ 2 = -2 - 2t' \ -2 = -4 + t' end{cases}$

De la 3e équation : $t' = 2$

Vérification avec la 2e : $-2 - 2 times 2 = -6 neq 2$

Le point A n’appartient pas à (d’), donc les droites ne sont pas confondues.

Conclusion : Les droites (d) et (d’) ne sont ni parallèles ni confondues, elles sont donc sécantes.

Exercice 6 – étudier l’intersection du plan P et de la droite d.

Données :

• Plan :

• Droite : $begin{cases}x=t\y=1-6t\z=3-tend{cases}$ où

Méthode : Pour trouver l’intersection, on substitue les coordonnées paramétriques de la droite dans l’équation du plan.

Calcul :

On remplace x=t , y=1-6t et z=3-t dans l’équation du plan :

0t+1=0

1=0

Conclusion : L’équation 1=0 est impossible.

Réponse : Le plan et la droite n’ont aucun point d’intersection. La droite est parallèle au plan.

Exercice 7 – montrer que les droites ne sont pas parallèles.

Données :

• Droite d : $vec{u_d} = begin{pmatrix} 1 \ -2 end{pmatrix}$

• Droite d’ : $vec{u_{d'}} = begin{pmatrix} -2 \ 1 end{pmatrix}$

Méthode : Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Vérification de la colinéarité :

Pour que $vec{u_d}$ et $vec{u_{d'}}$ soient colinéaires, il faut qu’il existe un réel k tel que :

$vec{u_{d'}} = k times vec{u_d}$

Soit : $begin{pmatrix} -2 \ 1 end{pmatrix} = k times begin{pmatrix} 1 \ -2 end{pmatrix}$

Cela donne le système :

• $-2 = k times 1$ donc $k = -2$

• $1 = k times (-2)$ donc $k = -frac{1}{2}$

Conclusion :

On obtient deux valeurs différentes pour k : $k = -2$ et $k = -frac{1}{2}$

Les vecteurs directeurs ne sont donc pas colinéaires, par conséquent les droites d et d’ ne sont pas parallèles.

Exercice 8 – déterminer le point d’intersection de d et d’.

Méthode : Au point d’intersection, les coordonnées des deux droites sont égales.

Égalons les coordonnées :

Pour que les droites se coupent, il faut :

$begin{cases}1+t=2t'\3+2t=1+3t'\-4-2t=3+t'end{cases}$

Résolution du système :

De la première équation : $t'=frac{1+t}{2}$

Substituons dans la deuxième équation :

$3+2t=1+3times frac{1+t}{2}$

$3+2t=1+frac{3+3t}{2}$

t=-1

Donc : $t'=frac{1+(-1)}{2}=0$

Vérification avec la troisième équation :

-4+2=3

-2neq3

Conclusion : Le système est incompatible, donc les droites d et d’ ne se coupent pas.

Réponse : Les droites d et d’ n’ont pas de point d’intersection (elles sont soit parallèles, soit non coplanaires).

Exercice 9 – déterminer une représentation paramétrique de la droite (EF).

a) Déterminons une représentation paramétrique de la droite (EF).

On a les points et .

Calculons le vecteur directeur vec{EF} :

Une représentation paramétrique de la droite (EF) est :

$begin{cases}x=1+2t\y=0-t\z=3-tend{cases}$ avec

b) Existe-t-il des valeurs de a et b pour lesquelles le point M appartient à la droite (EF) ?

Le point appartient à la droite (EF) s’il existe tel que :

$begin{cases}a=1+2t\b=-t\-2=3-tend{cases}$

À partir de la troisième équation : -2=3-t donc t=5

En reportant dans les deux premières équations :

• $a=1+2times 5=11$

• b=-5

Réponse : Oui, pour a=11 et b=-5 , le point M appartient à la droite (EF).

Exercice 10 – déterminer une représentation paramétrique de chaque droite.

a) Déterminer les coordonnées des sommets du cube dans le repère (A ; AB, AD, AE).

Dans le repère :

•

b) Déterminer une représentation paramétrique de chaque droite.

Droite (AG) :

Point :

Vecteur directeur :

Représentation paramétrique : $begin{cases}x=t\y=t\z=tend{cases},~tinmathbb{R}$

Droite (BH) :

Point :

Vecteur directeur :

Représentation paramétrique : $begin{cases}x=1-t\y=t\z=tend{cases},~tinmathbb{R}$

Droite (CE) :

Point :

Vecteur directeur :

Représentation paramétrique : $begin{cases}x=1-t\y=1-t\z=tend{cases},~tinmathbb{R}$

Droite (DF) :

Point :

Vecteur directeur :

Représentation paramétrique : $begin{cases}x=t\y=1-t\z=tend{cases},~tinmathbb{R}$

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