Calcul littéral : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Le calcul littéral en 3ème représente une étape fondamentale dans l’apprentissage des mathématiques, où les élèves découvrent l’utilisation des lettres en mathématiques pour remplacer des nombres. Cette notion essentielle permet de développer les compétences d’algèbre débutant et de raisonnement abstrait, préparant ainsi les collégiens aux chapitres plus avancés. Maîtriser les expressions littérales et les premières substitutions constitue un prérequis indispensable pour réussir en mathématiques au collège. Ces exercices corrigés de calcul littéral 3ème offrent un accompagnement personnalisé pour consolider ces apprentissages cruciaux.

Exercice 1 – factorisation d’expressions littérales

Développement de I :

$I = 25x^2 - 9 + (5x - 3)(7x + 8)$

$I = 25x^2 - 9 + 35x^2 + 40x - 21x - 24$

$I = 60x^2 + 19x - 33$

Factorisation de I :

On reconnaît que $25x^2 - 9 = (5x)^2 - 3^2 = (5x - 3)(5x + 3)$

Donc : $I = (5x - 3)(5x + 3) + (5x - 3)(7x + 8)$

$I = (5x - 3)[(5x + 3) + (7x + 8)]$

$I = (5x - 3)(12x + 11)$

Développement de J :

$J = 9 - 48x + 64x^2 - (6 + 2x)(3 - 8x)$

$J = 9 - 48x + 64x^2 - (18 - 48x + 6x - 16x^2)$

$J = 9 - 48x + 64x^2 - 18 + 48x - 6x + 16x^2$

$J = 80x^2 - 6x - 9$

Factorisation de J :

On reconnaît que $9 - 48x + 64x^2 = (3 - 8x)^2$

Donc : $J = (3 - 8x)^2 - (6 + 2x)(3 - 8x)$

$J = (3 - 8x)[(3 - 8x) - (6 + 2x)]$

$J = (3 - 8x)(3 - 8x - 6 - 2x)$

$J = (3 - 8x)(-10x - 3)$

Développement de K :

$K = 100x^2 - 25 - (20x + 10)(2x - 4)$

$K = 100x^2 - 25 - (40x^2 - 80x + 20x - 40)$

$K = 100x^2 - 25 - 40x^2 + 60x + 40$

$K = 60x^2 + 60x + 15$

Factorisation de K :

$K = 15(4x^2 + 4x + 1) = 15(2x + 1)^2$

Développement de L :

$L = (2x - 3)(4x + 2) + (4x + 2)(7x - 8)$

$L = 8x^2 + 4x - 12x - 6 + 28x^2 - 32x + 14x - 16$

$L = 36x^2 - 26x - 22$

Factorisation de L :

$L = (4x + 2)[(2x - 3) + (7x - 8)]$

$L = (4x + 2)(9x - 11)$

$L = 2(2x + 1)(9x - 11)$

Exercice 2 – développer et réduire – Identités remarquables

Expression A : $A = 12x^2 + (4x + 5)^2$

On développe $(4x + 5)^2$ avec l’identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

$(4x)^2 + 2 times 4x times 5 + 5^2 = 16x^2 + 40x + 25$

Donc : $A = 12x^2 + 16x^2 + 40x + 25 = 28x^2 + 40x + 25$

Expression B : $B = 7x - (6x + 2)^2$

On développe $(6x + 2)^2$ :

$(6x)^2 + 2 times 6x times 2 + 2^2 = 36x^2 + 24x + 4$

Donc : $B = 7x - (36x^2 + 24x + 4) = 7x - 36x^2 - 24x - 4 = -36x^2 - 17x - 4$

Expression C : $C = -16x^2 - (4x - 1)(4x + 1)$

On développe $(4x - 1)(4x + 1)$ avec l’identité remarquable $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ :

$(4x)^2 - 1^2 = 16x^2 - 1$

Donc : $C = -16x^2 - (16x^2 - 1) = -16x^2 - 16x^2 + 1 = -32x^2 + 1$

Expression D : $D = (6x - 4)^2 + (2x - 6)^2$

On développe chaque carré avec $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :

$(6x - 4)^2 = (6x)^2 - 2 times 6x times 4 + 4^2 = 36x^2 - 48x + 16$

$(2x - 6)^2 = (2x)^2 - 2 times 2x times 6 + 6^2 = 4x^2 - 24x + 36$

Donc : $D = 36x^2 - 48x + 16 + 4x^2 - 24x + 36 = 40x^2 - 72x + 52$

Exercice 3 – calcul littéral.

1. Développons l’expression D :

On a : $D = (2x - 3)(5x + 4) + (2x - 3)^2$

Développons le premier produit :

$(2x - 3)(5x + 4) = 2x times 5x + 2x times 4 - 3 times 5x - 3 times 4$

$= 10x^2 + 8x - 15x - 12$

$= 10x^2 - 7x - 12$

Développons le carré :

$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 times 2x times 3 + 3^2$

$= 4x^2 - 12x + 9$

Donc :

$D = 10x^2 - 7x - 12 + 4x^2 - 12x + 9$

$D = 14x^2 - 19x - 3$

Factorisons maintenant D :

$D = (2x - 3)(5x + 4) + (2x - 3)^2$

$D = (2x - 3)[(5x + 4) + (2x - 3)]$

$D = (2x - 3)(5x + 4 + 2x - 3)$

$D = (2x - 3)(7x + 1)$

2. Résolution de l’équation :

$(2x - 3)(7x + 1) = 0$

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :

$2x - 3 = 0$ ou $7x + 1 = 0$

$2x = 3$ ou $7x = -1$

$x = frac{3}{2}$ ou $x = -frac{1}{7}$

Les solutions sont : $x = frac{3}{2}$ et $x = -frac{1}{7}$

Exercice 4 – calcul littéral-développer et factoriser.

1. Développer puis réduire A :

On a

Développons chaque produit :

(identité remarquable)

Donc :

2. Factoriser A :

Reprenons l’expression de départ :

On remarque que (2x-3) est un facteur commun :

3. Résoudre l’équation :

Une équation produit est nulle si et seulement si l’un des facteurs est nul :

2x-3=0 ou x+2=0

2x=3 ou x=-2

$x=frac{3}{2}$ ou x=-2

Les solutions sont : $x=frac{3}{2}$ et x=-2

Exercice 5 – calcul litteral avec les identites remarquables

Expression A :

Je développe avec l’identité remarquable :

$(4x+5)^2=(4x)^2+2times 4xtimes 5+5^2=16x^2+40x+25$

Donc :

Expression B :

Je développe :

$(6x+2)^2=(6x)^2+2times 6xtimes 2+2^2=36x^2+24x+4$

Donc :

Expression C :

Je développe avec l’identité remarquable :

Donc :

Expression D :

Je développe chaque carré avec l’identité remarquable :

$(6x-4)^2=(6x)^2-2times 6xtimes 4+4^2=36x^2-48x+16$

$(2x-6)^2=(2x)^2-2times 2xtimes 6+6^2=4x^2-24x+36$

Donc :

Réponses finales :

Exercice 6 – aire et identites remarquables

1. Calcul des aires colorées :

Figure de gauche (jaune) :

L’aire colorée correspond à l’aire du grand carré moins l’aire du petit carré blanc.

Aire du grand carré : (x+1)^2

Aire du petit carré blanc : 1^2=1

Aire colorée :

Figure de droite (verte) :

L’aire colorée correspond à l’aire du rectangle.

Longueur : x+2

Largeur :

Aire colorée : x(x+2)

2. Remarque :

Développons l’aire de la figure de gauche :

Développons l’aire de la figure de droite :

Remarque : Les deux aires colorées sont égales car elles donnent toutes les deux x^2+2x .

Exercice 7 – identités remarquables.

A = (y + 3)²

On utilise l’identité remarquable avec a = y et b = 3 :

$A=y^2+2times ytimes 3+3^2=y^2+6y+9$

B = (1 + t)²

On utilise l’identité remarquable avec a = 1 et b = t :

$B=1^2+2times 1times t+t^2=1+2t+t^2$

C = (7 – y)²

On utilise l’identité remarquable avec a = 7 et b = y :

$C=7^2-2times 7times y+y^2=49-14y+y^2$

D = (3x – 10)²

On utilise l’identité remarquable avec a = 3x et b = 10 :

$D=(3x)^2-2times 3xtimes 10+10^2=9x^2-60x+100$

E = (7 – 2y)(7 + 2y)

On utilise l’identité remarquable avec a = 7 et b = 2y :

F = (7a + 4)²

On utilise l’identité remarquable avec a = 7a et b = 4 :

$F=(7a)^2+2times 7atimes 4+4^2=49a^2+56a+16$

Exercice 8 – développer et réduire.

1. Développement et réduction de l’expression B :

On a :

Développons le premier terme en utilisant l’identité remarquable :

Développons le second terme en utilisant l’identité remarquable :

$(3a-5)^2=(3a)^2-2times 3atimes 5+5^2=9a^2-30a+25$

Donc :

2. Calcul de B pour a = 1 ; b. a = 0,75 ; c. a = 0 :

a. Pour a=1 :

$B=7times 1^2+30times 1-34=7+30-34=3$

b. Pour :

$B=7times (0{,}75)^2+30times 0{,}75-34$

$B=7times 0{,}5625+22{,}5-34=3{,}9375+22{,}5-34=-7{,}5625$

c. Pour a=0 :

$B=7times 0^2+30times 0-34=0+0-34=-34$

Exercice 9 – calcul numérique.

1. 101^2

Je décompose :

Donc : $101^2=(100+1)^2=100^2+2times 100times 1+1^2$

2. 103^2

Je décompose :

Donc : $103^2=(100+3)^2=100^2+2times 100times 3+3^2$

3. 98^2

Je décompose :

Donc : $98^2=(100-2)^2=100^2-2times 100times 2+2^2$

4. $101times 99$

Je reconnais : $101times 99=(100+1)times (100-1)$

J’utilise l’identité remarquable :

Donc : $101times 99=100^2-1^2=10~000-1=9~999$

Exercice 10 – développer,réduire et factoriser

On considère l’expression :

1. Développer et réduire l’expression E :

Développons chaque terme :

•

Donc :

Réponse :

2. Factoriser E :

On remarque que dans l’expression initiale, (3x+2) est un facteur commun :

Réponse :

3. Calculer E pour x = -2 :

En utilisant la forme factorisée :

$E=(3times (-2)+2)(5times (-2)-3)$

$E=(-4)times (-13)$

Réponse : E=52

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