Généralités sur les fonctions : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les généralités sur les fonctions constituent un chapitre fondamental du programme de mathématiques en 3ème, introduisant les élèves aux concepts de base qui seront approfondis tout au long de leur scolarité. Cette notion permet de développer des compétences mathématiques essentielles comme la lecture de graphiques, l’interprétation de tableaux de valeurs et la compréhension des relations entre grandeurs. Maîtriser ces exercices sur les fonctions aide les collégiens à structurer leur raisonnement logique et à établir des liens entre différentes représentations mathématiques. Ces corrections d’exercices détaillées accompagnent efficacement l’apprentissage en proposant des méthodes de résolution claires et adaptées au niveau troisième.

Exercice 1 – généralité sur les fonctions

1) Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée de l’image du nombre 6 par la fonction V.

On cherche l’ordonnée du point d’abscisse 6 sur la courbe.

En traçant une verticale à partir de x = 6 jusqu’à la courbe, puis une horizontale jusqu’à l’axe des ordonnées, on lit :

Réponse :

2) Déterminer la valeur exacte de V(6).

On utilise la formule : $V:xmapsto 18pileft[left(1+frac{x}{6}right)^3-1right]$

$V(6)=18pileft[left(1+frac{6}{6}right)^3-1right]$

Réponse :

3) En déduire l’arrondi à l’unité de l’image du nombre 6 par la fonction V.

$V(6)=126piapprox126times 3{,}14159approx395{,}84$

Réponse : L’arrondi à l’unité est 396.

4) Par lecture graphique, encadrer par deux entiers consécutifs l’antécédent par la fonction V du nombre 250.

On cherche l’abscisse du point d’ordonnée 250 sur la courbe.

En traçant une horizontale à partir de y = 250 jusqu’à la courbe, puis une verticale jusqu’à l’axe des abscisses, on lit que cette valeur se situe entre 4 et 5.

Réponse : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?4<x<5" alt="4<x où x est l’antécédent de 250.

Exercice 2 – exploitation d’une courbe – Fonctions

1) Peut-on dire que la vitesse du sportif a été constante durant toute sa course ?

Non, la vitesse n’a pas été constante. La courbe n’est pas une droite, ce qui signifie que la distance ne varie pas de manière proportionnelle au temps. La vitesse instantanée $v=frac{dd}{dt}$ varie au cours du temps.

2) Quelle a été la vitesse du sportif au bout de 10 minutes, c’est-à-dire en min ? Pendant combien de temps ?

Au bout de 10 minutes, on lit sur la courbe que d=2 km. La courbe présente un plateau horizontal de t=10 min à t=15 min, donc la vitesse est nulle pendant 5 minutes (arrêt du coureur).

3) Quelle est l’image de 5 par la fonction $tmapsto d(t)$ ? Que signifie dans la réalité ?

L’image de 5 par la fonction est km. Cela signifie qu’au bout de 5 minutes, le coureur a parcouru 1,5 km.

4) Quel est l’antécédent de 6 par la fonction $tmapsto d(t)$ ? Quelle a été la durée du parcours de 6 km effectué par le coureur ?

L’antécédent de 6 par la fonction est t=40 min. Le coureur a mis 40 minutes pour effectuer un parcours de 6 km.

5) Pendant sa course, le coureur a gravi une côte. Quand a commencé et quand s’est terminé le début de l’ascension de cette côte ?

L’ascension de la côte correspond à la phase où la pente de la courbe diminue (vitesse réduite). Cela commence vers t=5 min et se termine à t=10 min (arrêt au sommet).

6) Pourquoi peut-on supposer que les 10 dernières minutes de course furent effectuées en descente ?

Entre t=30 min et t=40 min, la pente de la courbe est très forte, indiquant une vitesse élevée. Cette augmentation de vitesse en fin de parcours suggère une descente.

7) Quelle a été la vitesse moyenne de ce coureur durant les 10 dernières minutes de course ? Quelle a été la vitesse moyenne de ce coureur sur l’ensemble de sa course ?

Vitesse moyenne sur les 10 dernières minutes : Entre t=30 min et t=40 min, le coureur passe de 4 km à 6 km.

$v_{moy}=frac{6-4}{40-30}=frac{2}{10}=0{,}2$ km/min = 12 km/h

Vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours :

$v_{moy}=frac{6}{40}=0{,}15$ km/min = 9 km/h

Exercice 3 – représentation graphique d’une courbe – Fonctions

a) L’image par h du nombre 8 :

On cherche l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse 8.

En lisant graphiquement : $h(8) = 3$

b) h(-1) :

On cherche l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse -1.

En lisant graphiquement : $h(-1) = 1$

c) Les antécédents par h du nombre 0 :

On cherche les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 0.

En lisant graphiquement, la courbe coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses :

$x = -2 text{ et } x = 6$

d) L’image par h du nombre -3 :

On cherche l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse -3.

En lisant graphiquement : $h(-3) = 4$

e) Les antécédents par h du nombre -2 :

On cherche les abscisses des points de la courbe d’ordonnée -2.

En lisant graphiquement, la courbe passe par l’ordonnée -2 au point d’abscisse :

$x = 5$

f) Les antécédents par h du nombre 2 :

On cherche les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 2.

En lisant graphiquement, la courbe passe par l’ordonnée 2 aux points d’abscisses :

$x = 0 text{ et } x = 2$

Exercice 4 – géométrie et fonctions

1.a. Construction du triangle EFG avec EF = 5,4 cm, EG = 7,2 cm, FG = 9 cm.

1.b. M est le point du segment [EF] tel que $EM=frac{2}{3}times ~EF$ .

$EM=frac{2}{3}times ~5{,}4=3{,}6~cm$

1.c. Par M, tracer la parallèle à (FG), elle coupe le segment [EG] en N.

Calculons EN : Dans le triangle EFG, (MN) // (FG), donc d’après le théorème de Thalès :

$frac{EM}{EF}=frac{EN}{EG}$

$frac{3{,}6}{5{,}4}=frac{EN}{7{,}2}$

$EN=frac{3{,}6times ~7{,}2}{5{,}4}=4{,}8~cm$

1.d. Vérifions que EFG est un triangle rectangle en E :

$EF^2+EG^2=5{,}4^2+7{,}2^2=29{,}16+51{,}84=81$

Comme , d’après la réciproque du théorème de Pythagore, EFG est rectangle en E.

L’aire du triangle EMN est : $frac{1}{2}times ~EMtimes ~EN=frac{1}{2}times ~3{,}6times ~4{,}8=8{,}64~cm^2$

2.a. M est mobile sur [EF] avec EM = x (en cm). x est compris entre 0 et 5,4.

2.b. Exprimons EN en fonction de x :

D’après Thalès : $frac{EM}{EF}=frac{EN}{EG}$

$frac{x}{5{,}4}=frac{EN}{7{,}2}$

$EN=frac{7{,}2x}{5{,}4}=frac{4x}{3}$

2.c. L’aire A(x) du triangle EMN est :

$A(x)=frac{1}{2}times ~EMtimes ~EN=frac{1}{2}times ~xtimes ~frac{4x}{3}=frac{2x^2}{3}$

2.d. D’après le graphique :

•

• L’antécédent de 12 est environ 3.

Exercice – Fabrication d’une boîte en carton

1. Pourquoi x est compris entre 0 et 10 :

Pour que la boîte puisse être fabriquée, il faut que les carrés découpés aux coins aient une taille positive mais pas trop grande.

• 0″ alt= »x > 0″> car on ne peut pas découper un carré de côté négatif ou nul

• <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x < 10" alt="x car si $x geq 10$ , on découperait plus de la moitié de la largeur (20 cm), ce qui rendrait impossible la fabrication de la boîte

Donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?0 < x < 10" alt="0 < x

2. Hauteur de la boîte :

Quand on plie les pointillés vers le haut, la hauteur de la boîte correspond à la taille des carrés découpés.

La hauteur de la boîte est cm.

3. Calcul de l’aire A(x) du carré au fond de la boîte :

Après découpage des carrés de côté x :

• Longueur du fond : $20 - 2x$ cm

• Largeur du fond : $20 - 2x$ cm

L’aire du fond est : $A(x) = (20-2x)^2$ cm²

4. Calcul du volume V(x) de la boîte :

Le volume est le produit de l’aire de la base par la hauteur :

$V(x) = A(x) times text{hauteur}$

$V(x) = (20-2x)^2 times x$

$V(x) = x(20-2x)^2$ cm³

5. Représentation graphique de V(x) :

Il faut tracer la courbe de la fonction $V(x) = x(20-2x)^2$ pour $x in ]0;10[$ .

Cette fonction s’annule en x = 0 et x = 10, et présente un maximum entre ces valeurs.

6. Valeur de x pour laquelle le volume est maximum :

Pour trouver le maximum, on dérive V(x) :

$V(x) = x(20-2x)^2 = x(400-80x+4x^2) = 400x-80x^2+4x^3$

$V'(x) = 400-160x+12x^2$

On résout $V'(x) = 0$ :

$12x^2-160x+400 = 0$

$3x^2-40x+100 = 0$

En résolvant cette équation, on trouve que le volume est maximum pour $x = frac{10}{3}$ cm.

Exercice 6 – notion de fonctions, calcul d’image et d’antécédent.

a. g(-0,1) = …

On cherche l’image de -0,1 par la fonction g.

Dans le tableau, pour , on lit g(x)=2 .

Donc

b. g(…) = 1

On cherche l’antécédent de 1 par la fonction g.

Dans le tableau, on cherche la valeur 1 dans la ligne de g(x) .

Pour x=0 , on a g(x)=1 .

Donc g(0)=1

c. g(…) = -4

On cherche l’antécédent de -4 par la fonction g.

Dans le tableau, on cherche la valeur -4 dans la ligne de g(x) .

Pour x=0{,}9 , on a g(x)=-4 .

Donc

d. g(0,7) = …

On cherche l’image de 0,7 par la fonction g.

Dans le tableau, pour x=0{,}7 , on lit g(x)=5 .

Donc

Exercice 7 – lecture d’image et d’antécédent à partir d’un graphique.

a. Quelle est l’image de 0 par la fonction h ?

Pour trouver l’image de 0, je cherche l’ordonnée du point d’abscisse 0 sur la courbe.

En lisant le graphique : $h(0) = -1$

b. Quels nombres ont pour image 0 par la fonction h ?

Je cherche les abscisses des points de la courbe qui ont pour ordonnée 0 (points d’intersection avec l’axe des abscisses).

En lisant le graphique, la courbe coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses -2 et 2.

Les antécédents de 0 sont : -2 et 2

c. Donner une valeur approchée de :

• L’image de 4 par la fonction h

Je cherche l’ordonnée du point d’abscisse 4 sur la courbe.

En lisant le graphique : $h(4) approx 15$

• L’image de -3 par la fonction h

Je cherche l’ordonnée du point d’abscisse -3 sur la courbe.

En lisant le graphique : $h(-3) approx 8$

Exercice 8 – tableau de valeurs et nombre d’antécédents.

Pour trouver le nombre d’antécédents d’un nombre donné par la fonction f, je dois compter combien de fois ce nombre apparaît dans la ligne des images f(x) .

a. Antécédents de 3,5 :

Je cherche 3,5 dans la ligne f(x) : 4 ; -2 ; -1 ; 3,5 ; -2

3,5 apparaît 1 fois (pour x=5 ).

Donc 3,5 a 1 antécédent.

b. Antécédents de -2 :

Je cherche -2 dans la ligne f(x) : 4 ; -2 ; -1 ; 3,5 ; -2

-2 apparaît 2 fois (pour x=1{,}5 et pour x=2 ).

Donc -2 a 2 antécédents.

c. Antécédents de 2 :

Je cherche 2 dans la ligne f(x) : 4 ; -2 ; -1 ; 3,5 ; -2

2 n’apparaît 0 fois dans le tableau.

Donc 2 a 0 antécédent.

Exercice 9 – compléter un tableau de valeur à l’aide d’une fonction.

Pour compléter le tableau, je lis les valeurs sur le graphique :

• Pour x = -1,25 :
Je place le point d’abscisse -1,25 sur l’axe des abscisses, je trace une verticale jusqu’à la courbe, puis une horizontale jusqu’à l’axe des ordonnées.
Je lis :

• Pour x = -1 :
Je place le point d’abscisse -1 sur l’axe des abscisses, je trace une verticale jusqu’à la courbe, puis une horizontale jusqu’à l’axe des ordonnées.
Je lis :

Tableau complété :

x	-1,25	-1
h(x)	1,5	1,25

Exercice 10 – hauteur d’un triangle équilatéral et fonctions.

a. Calcul de la hauteur et de l’aire du triangle équilatéral de côté 5 cm

Dans un triangle équilatéral de côté , la hauteur se calcule avec le théorème de Pythagore :

$h^2+left(frac{c}{2}right)^2=c^2$

$h^2=c^2-frac{c^2}{4}=frac{3c^2}{4}$

$h=frac{csqrt{3}}{2}$

Pour c=5 cm :

Hauteur : $h=frac{5sqrt{3}}{2}$ cm

Aire : $mathcal{A}=frac{1}{2}times 5times frac{5sqrt{3}}{2}=frac{25sqrt{3}}{4}$ cm²

b. Expression de la hauteur en fonction de x

Pour un triangle équilatéral de côté cm :

$h(x)=frac{xsqrt{3}}{2}$

c. Expression de la fonction f (aire)

L’aire d’un triangle équilatéral de côté est :

$f(x)=frac{1}{2}times xtimes frac{xsqrt{3}}{2}=frac{x^2sqrt{3}}{4}$

Calculs demandés :

$f(5)=frac{25sqrt{3}}{4}$ cm²

$f(3)=frac{9sqrt{3}}{4}$ cm²

$f(sqrt{3})=frac{3sqrt{3}}{4}$ cm²

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