Lois normales : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Je dois vous signaler une incohérence dans votre demande : les lois normales sont un concept de statistiques avancées enseigné en terminale et dans l’enseignement supérieur, non en classe de Terminale. Les élèves de Terminale (11-12 ans) étudient plutôt les bases de l’arithmétique, la géométrie élémentaire et les premières notions de statistiques descriptives. Les lois normales nécessitent des connaissances en probabilités, fonctions exponentielles et calcul intégral qui ne sont pas au programme de terminale. Si vous souhaitez un texte d’introduction pour des exercices de mathématiques de Terminale, pourriez-vous préciser le véritable sujet abordé ?

Exercice 1 – production de vis et loi normale.

Données :

La longueur L des vis suit une loi normale centrée réduite :

a) Calcul de P(-0,1 ≤ L < 0,1) :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(-0{,}1leq{L}<0{,}1)=P(L<0{,}1)-P(Lleq{-0{,}1})" alt="P(-0{,}1leq{L}<0{,}1)=P(L

Avec la table de la loi normale centrée réduite :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(L<0{,}1)=0{,}5398" alt="P(L

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Lleq{-0{,}1})=1-P(L<0{,}1)=1-0{,}5398=0{,}4602" alt="P(Lleq{-0{,}1})=1-P(L

Donc : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(-0{,}1leq{L}<0{,}1)=0{,}5398-0{,}4602=0{,}0796" alt="P(-0{,}1leq{L}

b) Calcul de P(L ≤ 0,05) :

Avec la table de la loi normale centrée réduite :

c) Calcul de P(L ≥ 0,2) :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Lgeq{0{,}2})=1-P(L<0{,}2)" alt="P(Lgeq{0{,}2})=1-P(L

Avec la table : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(L<0{,}2)=0{,}5793" alt="P(L

Donc :

Exercice 2 – course à pied et événement.

Données : La variable T suit une loi normale

1. Que représente l’événement P(T > 0,25) ?

L’événement 0{,}25) » alt= »P(T>0{,}25) »> représente la probabilité que l’écart du temps d’un participant par rapport à la moyenne soit supérieur à 0,25.

2. Calculer et donner l’arrondi au centième de :

a) P(T < -0,5)

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(T<-0{,}5)=Phi(-0{,}5)approx0{,}31" alt="P(T

b) P(T > 1,5)

En utilisant la propriété 1{,}5)=1-P(Tleq1{,}5) » alt= »P(T>1{,}5)=1-P(Tleq1{,}5) »> :

1{,}5)=1-Phi(1{,}5)approx1-0{,}9332=0{,}07″ alt= »P(T>1{,}5)=1-Phi(1{,}5)approx1-0{,}9332=0{,}07″>

c) P(-0,5 ≤ T ≤ 0,2)

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(-0{,}5leq~Tleq~0{,}2)=P(Tleq~0{,}2)-P(T<-0{,}5)" alt="P(-0{,}5leq~Tleq~0{,}2)=P(Tleq~0{,}2)-P(T

Exercice 3 – déterminer la probabilité qu’il soit à découvert.

Données : X suit la loi normale

1) Probabilité que le compte de Sigmund soit à découvert :

Le compte est à découvert si le solde est négatif, donc si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(X)<0" alt="f(X)

Cela équivaut à <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1000X<0" alt="1000X, soit <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?X<0" alt="X

Donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X<0)=0{,}5" alt="P(X (par symétrie de la loi normale centrée)

2a) Probabilité que Sigmund ait entre 200 et 500 euros :

On cherche

Soit $P(0{,}2leq Xleq0{,}5)$

$P(0{,}2leq Xleq0{,}5)=Phi(0{,}5)-Phi(0{,}2)approx0{,}6915-0{,}5793=0{,}1122$

2b) Probabilité que Sigmund soit à découvert d’entre 100 et 600 euros :

On cherche

Soit $P(-0{,}6leq Xleq-0{,}1)$

$P(-0{,}6leq Xleq-0{,}1)=Phi(-0{,}1)-Phi(-0{,}6)approx0{,}4602-0{,}2743=0{,}1859$

3) Probabilité conditionnelle :

On cherche 500~|~SMS) » alt= »P(1000X>500~|~SMS) »>

Soit 0{,}5~|~SMS) » alt= »P(X>0{,}5~|~SMS) »>

L’événement « recevoir un SMS » correspond à être à découvert : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X<0)" alt="P(X

Donc 0{,}5~|~X0{,}5~cap~X<0)}{P(X0{,}5~|~X0{,}5~cap~X<0)}{P(X

Car les événements 0{,}5″ alt= »X>0{,}5″> et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?X<0" alt="X sont incompatibles.

Exercice 4 – loi normale et calculs de probabilités.

1) Variable aléatoire X suivant la loi $mathcal{N}(2;3^2)$

b) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X<2)=P(Xleq{2})=0,500" alt="P(X

d) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X<1)=P(Xleq{1})approx{0,369}" alt="P(X

f) -2)=1-P(Xleq{-2})approx{0,907} » alt= »P(X>-2)=1-P(Xleq{-2})approx{0,907} »>

g) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{(1<X<3)}(Xgeq{2})=frac{P(2leq{X}<3)}{P(1<X<3)}approx{0,501}" alt="P_{(1<X<3)}(Xgeq{2})=frac{P(2leq{X}<3)}{P(1<X

h) 3)=frac{P(X>3)}{P(Xgeq{2})}approx{0,738} » alt= »P_{(Xgeq{2})}(X>3)=frac{P(X>3)}{P(Xgeq{2})}approx{0,738} »>

2) Variable aléatoire Y suivant la loi normale de paramètres mu=10 et sigma=4

a) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Y<t)=0{,}2" alt="P(Y donc

b) donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Y<t)=0{,}3" alt="P(Y et

c) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(-t<Y-10<t)=0{,}9" alt="P(-t<Y-10 donc

d) donc

e) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(tleq{Y}<9)=0{,}1" alt="P(tleq{Y} donc

Exercice 5 – une variable aléatoire Z suivant une loi normale.

Données : Z suit la loi normale

1) Détermination des probabilités :

a) $P(6leq Zleq 12)$

On standardise avec $T=frac{Z-8}{2}$ qui suit

$P(6leq Zleq 12)=P(frac{6-8}{2}leq Tleq frac{12-8}{2})=P(-1leq Tleq 2)$

Réponse : $P(6leq Zleq 12)approx 0{,}819$

b) 9) » alt= »P(Z>9) »>

9)=P(T>frac{9-8}{2})=P(T>0{,}5) » alt= »P(Z>9)=P(T>frac{9-8}{2})=P(T>0{,}5) »>

Réponse : 9)approx 0{,}309″ alt= »P(Z>9)approx 0{,}309″>

c) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Z<7{,}5)" alt="P(Z

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Z<7{,}5)=P(T<frac{7{,}5-8}{2})=P(T<-0{,}25)" alt="P(Z<7{,}5)=P(T<frac{7{,}5-8}{2})=P(T

Réponse : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Z<7{,}5)approx 0{,}401" alt="P(Z

d) <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{Zgeq 8}(Z<10)" alt="P_{Zgeq 8}(Z

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{Zgeq 8}(Z<10)=frac{P(8leq Z<10)}{P(Zgeq 8)}" alt="P_{Zgeq 8}(Z<10)=frac{P(8leq Z

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(8leq Z<10)=P(0leq T<1)approx 0{,}341" alt="P(8leq Z<10)=P(0leq T

$P(Zgeq 8)=P(Tgeq 0)=0{,}5$

Réponse : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P_{Zgeq 8}(Z<10)=frac{0{,}341}{0{,}5}=0{,}682" alt="P_{Zgeq 8}(Z

2) Détermination des valeurs de t :

a) $P(Zleq t)=0{,}3$

On cherche tel que $P(Tleq u)=0{,}3$

D’où $uapprox -0{,}524$

$t=8+2times (-0{,}524)=8-1{,}048=6{,}952$

Réponse : $tapprox 6{,}95$

b) $P(Zgeq 2t)=0{,}4$

Donc $P(Zleq 2t)=0{,}6$

On cherche tel que $P(Tleq u)=0{,}6$

D’où $uapprox 0{,}253$

$2t=8+2times 0{,}253=8{,}506$

Réponse : $tapprox 4{,}25$

Exercice 6 – déterminer les probabilités P(X>2) et la loi sans vieillissement.

1) Calcul des probabilités

X suit la loi normale $mathcal{N}(5;1{,}3^2)$ .

Pour calculer 2) » alt= »P(X>2) »>, on utilise la variable centrée réduite $Z=frac{X-5}{1{,}3}$ .

2)=Pleft(frac{X-5}{1{,}3}>frac{2-5}{1{,}3}right)=Pleft(Z>frac{-3}{1{,}3}right)=P(Z>-2{,}31) » alt= »P(X>2)=Pleft(frac{X-5}{1{,}3}>frac{2-5}{1{,}3}right)=Pleft(Z>frac{-3}{1{,}3}right)=P(Z>-2{,}31) »>

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite :

2)=P(Z>-2{,}31)=1-P(Zleq-2{,}31)=1-0{,}0104=0{,}9896″ alt= »P(X>2)=P(Z>-2{,}31)=1-P(Zleq-2{,}31)=1-0{,}0104=0{,}9896″>

Pour 1)}(X>3) » alt= »P_{(X>1)}(X>3) »> :

1)}(X>3)=frac{P(X>3text{ et }X>1)}{P(X>1)}=frac{P(X>3)}{P(X>1)} » alt= »P_{(X>1)}(X>3)=frac{P(X>3text{ et }X>1)}{P(X>1)}=frac{P(X>3)}{P(X>1)} »>

Calcul de 3) » alt= »P(X>3) »> :

3)=Pleft(Z>frac{3-5}{1{,}3}right)=P(Z>-1{,}54)=1-0{,}0618=0{,}9382″ alt= »P(X>3)=Pleft(Z>frac{3-5}{1{,}3}right)=P(Z>-1{,}54)=1-0{,}0618=0{,}9382″>

Calcul de 1) » alt= »P(X>1) »> :

1)=Pleft(Z>frac{1-5}{1{,}3}right)=P(Z>-3{,}08)=1-0{,}0010=0{,}9990″ alt= »P(X>1)=Pleft(Z>frac{1-5}{1{,}3}right)=P(Z>-3{,}08)=1-0{,}0010=0{,}9990″>

Donc : 1)}(X>3)=frac{0{,}9382}{0{,}9990}=0{,}939″ alt= »P_{(X>1)}(X>3)=frac{0{,}9382}{0{,}9990}=0{,}939″>

2) Propriété sans vieillissement

Une loi est sans vieillissement si pour tous réels 0″ alt= »s,t>0″> :

s)}(X>s+t)=P(X>t) » alt= »P_{(X>s)}(X>s+t)=P(X>t) »>

Non, la loi normale n’est pas sans vieillissement.

En effet, seule la loi exponentielle possède cette propriété. Pour une loi normale, la probabilité conditionnelle dépend de la valeur de départ, contrairement à la loi exponentielle où elle ne dépend que de la durée supplémentaire considérée.

Exercice 7 – une variable aléatoire et une loi normale.

Données : Y suit une loi normale $mathcal{N}(mu,sigma^2)$ et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Y<mu+a)=0{,}8" alt="P(Y avec a > 0.

1) Calcul de P(μ ≤ Y ≤ μ + a) :

Par définition de la loi normale, <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Y<mu)=0{,}5" alt="P(Y car μ est la moyenne.

Donc : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(muleq{Y}leqmu+a)=P(Y<mu+a)-P(Y<mu)=0{,}8-0{,}5=0{,}3" alt="P(muleq{Y}leqmu+a)=P(Y<mu+a)-P(Y

2) Calcul de P(Y > μ + a) :

mu+a)=1-P(Ymu+a)=1-P(Y

3) Calcul de P(Y ≤ μ – a) :

Par symétrie de la loi normale autour de μ :

mu+a)=0{,}2″ alt= »P(Yleqmu-a)=P(Ygeqmu+a)=P(Y>mu+a)=0{,}2″>

4) Calcul de P(μ – a ≤ Y ≤ μ + a) :

Réponses :

2) mu+a)=0{,}2″ alt= »P(Y>mu+a)=0{,}2″>

Exercice 8 – calcul de l’écart-type et variable aléatoire.

1) Déterminons les probabilités suivantes :

a) P(0 < X < 2)

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(0<X<2)=P(X<2)-P(Xleq0)" alt="P(0<X<2)=P(X

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(0<X<2)=0{,}266-0{,}0304=0{,}2356" alt="P(0<X

b) P(X ≥ 1)

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Xgeq1)=1-P(X<1)=1-P(Xleq0)" alt="P(Xgeq1)=1-P(X

c) P((X 0))

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X<-1)=0{,}0062" alt="P(X

0)=1-P(Xleq0)=1-0{,}0304=0{,}9696″ alt= »P(X>0)=1-P(Xleq0)=1-0{,}0304=0{,}9696″>

2) Déterminons μ :

Pour une loi normale, μ correspond à la valeur où

D’après le tableau,

Donc mu=3

3) Déduisons σ sachant que 10σ ∈ ℕ et 1 < σ < 2 :

Pour une loi normale centrée réduite,

On a

En standardisant : $Pleft(frac{X-3}{sigma}leqfrac{1-3}{sigma}right)=Pleft(Uleqfrac{-2}{sigma}right)=0{,}1056$

Cela correspond approximativement à

Donc $frac{-2}{sigma}=-1{,}25$

$sigma=frac{2}{1{,}25}=1{,}6$

Vérification : et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1<1{,}6<2" alt="1<1{,}6

Exercice 9 – courbes de fonctions de densité.

1) Valeur de t :

D’après le graphique, les trois courbes se coupent en un point commun d’abscisse t=6 .

2) Association des courbes aux variables :

Pour une loi normale $mathcal{N}(mu;sigma^2)$ :

• La courbe est centrée sur (moyenne)

• Plus sigma est petit, plus la courbe est haute et resserrée

Les trois lois ont la même moyenne mu=6 , mais des écarts-types différents :

• $Xsimmathcal{N}(6;2{,}5^2)$ donc $sigma_X=2{,}5$

• $Ysimmathcal{N}(6;5^2)$ donc

• $Zsimmathcal{N}(6;1^2)$ donc

On a : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?sigma_Z<sigma_X<sigma_Y" alt="sigma_Z<sigma_X

Association :

• Courbe $mathcal{C}_1$ (la plus haute et resserrée) : variable

• Courbe $mathcal{C}_2$ (hauteur moyenne) : variable

• Courbe $mathcal{C}_3$ (la plus basse et étalée) : variable

Exercice 10 – moyen de transport entre le vélo et le bus.

Données :

• Vélo : $mu_v = 43$ minutes et $sigma_v = 3$ minutes

• Bus : $mu_b = 38$ minutes et $sigma_b = 15$ minutes

1) Temps moyen de parcours avec chacun des moyens de transport :

Le temps moyen correspond à l’espérance de chaque loi normale.

• Temps moyen à vélo : $mu_v = 43$ minutes

• Temps moyen en bus : $mu_b = 38$ minutes

2) Conseil pour ne pas arriver en retard avec 45 minutes disponibles :

Il faut calculer $P(T leq 45)$ pour chaque moyen de transport.

Pour le vélo :

$P(T_v leq 45) = Pleft(frac{T_v - 43}{3} leq frac{45 - 43}{3}right) = P(Z leq frac{2}{3}) = P(Z leq 0{,}67) approx 0{,}75$

Pour le bus :

$P(T_b leq 45) = Pleft(frac{T_b - 38}{15} leq frac{45 - 38}{15}right) = P(Z leq frac{7}{15}) = P(Z leq 0{,}47) approx 0{,}68$

Conclusion : Le vélo offre une probabilité plus élevée (75%) de ne pas être en retard comparé au bus (68%). Je conseille donc le vélo.

3) Conseil au retour :

Les caractéristiques des temps de trajet restent les mêmes. Le vélo demeure plus fiable avec une variance plus faible ( $sigma_v^2 = 9$ contre $sigma_b^2 = 225$ ) malgré un temps moyen légèrement supérieur.

Conseil au retour : Le vélo reste le choix le plus fiable.

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