Médiatrice : corrigé des exercices de maths en 6ème en PDF

Réponse : La droite (d) est la médiatrice de dans le cas b).

Justification :

La médiatrice d’un segment est la droite qui :

• passe par le milieu du segment

• est perpendiculaire au segment

En observant les figures :

• Cas a) : La droite (d) ne passe pas par le milieu de

• Cas b) : La droite (d) passe par le milieu de et lui est perpendiculaire (angle droit)

• Cas c) : La droite (d) passe par le milieu de mais n’est pas perpendiculaire

• Cas d) : La droite (d) ne passe pas par le milieu de

• Cas e) : La droite (d) ne passe pas par le milieu de

Seul le cas b) vérifie les deux conditions nécessaires.

Exercice 6 – médiatrice et droite parallèles

1. Construction des trois points alignés A, B et C

• Je trace une droite

• Je place un point A sur cette droite

• Je mesure 5 cm à partir de A et je place le point B tel que AB = 5 cm

• Je mesure 5,8 cm à partir de B dans le même sens et je place le point C tel que BC = 5,8 cm

2. Construction des médiatrices

• Médiatrice (d) de [AB] :

– Je place le milieu I de [AB]

– Je trace la droite (d) perpendiculaire au segment [AB] passant par I

• Médiatrice (d’) de [BC] :

– Je place le milieu J de [BC]

– Je trace la droite (d’) perpendiculaire au segment [BC] passant par J

3. Démonstration que (d) et (d’) sont parallèles

• Les points A, B et C sont alignés donc les segments [AB] et [BC] sont portés par la même droite

• La médiatrice (d) de [AB] est perpendiculaire à la droite (AB)

• La médiatrice (d’) de [BC] est perpendiculaire à la droite (BC)

• Comme (AB) et (BC) sont confondues, les droites (d) et (d’) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite

• Propriété : Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles

• Donc (d) // (d’)

Exercice 7 – médiatrice et calcul de longueur

1) Que représente la droite (Δ) pour le segment [MN] ?

D’après la figure, on observe que :

• La droite (Δ) passe par le milieu du segment [MN]

• La droite (Δ) est perpendiculaire au segment [MN] (angle droit marqué)

Réponse : La droite (Δ) est la médiatrice du segment [MN].

Justification : La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire.

2) Trouver la longueur AN.

Propriété utilisée : Tout point situé sur la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

Comme A est un point de la médiatrice (Δ) du segment [MN], on a :

D’après la figure,

Donc

Réponse :

Exercice 8 – médiatrice et démonstration

1) Démontrer que les points B et D sont sur la médiatrice de [AC]

Pour démontrer qu’un point est sur la médiatrice d’un segment, il faut montrer qu’il est équidistant des extrémités de ce segment.

Pour le point B :

D’après la figure, on observe que AB = BC (les deux segments semblent de même longueur).

Donc B est équidistant de A et C, par conséquent B appartient à la médiatrice de [AC].

Pour le point D :

D’après la figure, on observe que AD = DC (les deux segments semblent de même longueur).

Donc D est équidistant de A et C, par conséquent D appartient à la médiatrice de [AC].

2) Que représente la droite (BD) pour le segment [AC] ?

Puisque les points B et D appartiennent tous les deux à la médiatrice du segment [AC], la droite (BD) qui passe par ces deux points est la médiatrice du segment [AC].

Propriété : La médiatrice d’un segment est l’ensemble de tous les points équidistants des extrémités de ce segment. Elle passe par le milieu du segment et lui est perpendiculaire.

Exercice 9 – construction de médiatrices.

Construction :

1. Je trace le segment [AB] de longueur 5 cm.

2. Je construis la médiatrice (d) du segment [AB] :

– J’ouvre le compas d’un écartement supérieur à

– Je trace deux arcs de cercle de centre A

– Je trace deux arcs de cercle de centre B avec le même écartement

– Je trace la droite passant par les deux points d’intersection des arcs : c’est la médiatrice (d)

3. Je place le milieu I du segment [AB] (I est sur la médiatrice (d))

4. Je place un point C sur la droite (d)

Nature du triangle ABC :

Le triangle ABC est isocèle en C.

Explication :

Le point C appartient à la médiatrice (d) du segment [AB].

Or, par définition de la médiatrice : tout point situé sur la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

Donc :

Le triangle ABC a donc deux côtés de même longueur, il est isocèle en C.

Exercice 10 – construction de triangle et médiatrice.

Étape 1 : Construction du triangle MNP

Pour construire un triangle, nous avons besoin de trois mesures. Supposons que nous ayons :

–

–

–

Construction :

1) Tracer le segment de 6 cm avec la règle

2) Placer la pointe du compas en M, écarter de 4 cm et tracer un arc de cercle

3) Placer la pointe du compas en N, écarter de 5 cm et tracer un arc de cercle

4) Les deux arcs se coupent au point P

5) Relier M à P et N à P pour obtenir le triangle MNP

Étape 2 : Construction des médiatrices

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.

Médiatrice du côté [MN] :

1) Placer la pointe du compas en M, écarter de plus de et tracer deux arcs de part et d’autre du segment

2) Sans changer l’écartement, placer la pointe en N et tracer deux arcs qui coupent les précédents

3) Tracer la droite passant par les deux points d’intersection des arcs

Médiatrice du côté [NP] :

Même méthode en plaçant le compas successivement en N puis en P

Médiatrice du côté [MP] :

Même méthode en plaçant le compas successivement en M puis en P

Propriété importante : Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point appelé centre du cercle circonscrit au triangle.