Symétrie axiale : corrigé des exercices de maths en 6ème en PDF

Méthode : Pour vérifier si deux figures sont symétriques par rapport à une droite, on vérifie que chaque point de la figure orange a son symétrique sur la figure rouge par rapport à cette droite.

a. Les figures rouge et orange sont symétriques par rapport à la droite verticale qui passe au milieu de la grille.

b. Les figures rouge et orange sont symétriques par rapport à la droite verticale qui passe au milieu de la grille.

c. Les figures rouge et orange ne sont pas symétriques par rapport à une droite. Elles ont des formes différentes.

d. Les figures rouge et orange sont symétriques par rapport à la droite horizontale qui passe au milieu de la grille.

e. Les figures rouge et orange ne sont pas symétriques par rapport à une droite. Les positions ne correspondent pas à une symétrie axiale.

f. Les figures rouge et orange sont symétriques par rapport à la droite verticale qui passe au milieu de la grille.

g. Les figures rouge et orange ne sont pas symétriques par rapport à une droite. Les formes et positions ne correspondent pas.

h. Les figures rouge et orange sont symétriques par rapport à la droite horizontale qui passe au milieu de la grille.

Exercice 2 – reproduire cette figure.

Méthode :

1) Observer la figure : Il s’agit d’un motif géométrique composé de lignes droites formant des angles droits, créant un effet de profondeur.

2) Identifier l’axe de symétrie : La ligne rouge verticale représente l’axe de symétrie par rapport auquel nous devons reproduire la figure.

3) Reproduire point par point :

– Chaque point de la figure de gauche doit avoir son symétrique à droite

– Si un point est à une distance de l’axe rouge, son symétrique sera à la même distance de l’autre côté

– Relier ensuite les points symétriques de la même manière que dans la figure originale

4) Répéter le motif : Une fois la symétrie réalisée, reproduire l’ensemble du motif au moins une fois de plus sur la droite pour respecter la consigne.

Résultat attendu : Un motif géométrique symétrique répété, créant un effet visuel de continuité et de régularité.

Exercice 3 – propriétés de la symétrie axiale.

a. Tableau de correspondance :

| Point | F | O | I | S |
|——-|—|—|—|—|
| Symétrique | L | E | X | U |

Justification : Dans une symétrie axiale, chaque point correspond à son symétrique par rapport à la droite de symétrie.

b. Longueur du segment [LE] :

Par la propriété de conservation des longueurs dans une symétrie axiale :

Donc

c. Autre longueur déterminable :

On peut déterminer (conservation des longueurs)

d. Mesure de l’angle XÛE :

Par la propriété de conservation des angles dans une symétrie axiale :

e. Deux autres égalités de mesures d’angles :

Exercice 4 – les propriétés de la symétrie.

a. Longueur du segment [BA’] :

Par définition de la symétrie axiale, la droite (BC) est la médiatrice du segment [AA’].

Cela signifie que les points A et A’ sont équidistants de tout point de la droite (BC).

En particulier, B étant sur la droite (BC), on a : BA = BA’

Donc BA’ = BA = 2,5 cm

b. Mesure de l’angle CBA’ :

La symétrie axiale conserve les angles.

L’angle ABC et son symétrique CBA’ par rapport à la droite (BC) ont la même mesure.

Donc

c. Construction en vraie grandeur :

Pour construire le triangle ABC :

1) Je trace le segment [AB] de longueur 2,5 cm

2) En B, je trace l’angle de 40° avec [BA]

3) Sur la demi-droite obtenue, je place le point C à 3,8 cm de B

4) Je relie A et C pour obtenir le triangle ABC

d. Construction du symétrique :

1) À l’aide du rapporteur et du compas, je trace la droite (BC)

2) Pour construire A’, le symétrique de A par rapport à (BC) :

– Je trace la perpendiculaire à (BC) passant par A

– Cette perpendiculaire coupe (BC) en un point H

– À l’aide du compas, je reporte la distance AH de l’autre côté de (BC)

– J’obtiens le point A’ tel que H soit le milieu de [AA’]

3) Le triangle A’BC est le symétrique du triangle ABC par rapport à la droite (BC)

Exercice 5 – symétrie axiale – quadrillage

a) Construction du symétrique de la figure par rapport à l’axe (d) :

Pour construire le symétrique de chaque point de la figure, je trace la perpendiculaire à l’axe (d) passant par ce point, puis je reporte la même distance de l’autre côté de l’axe.

Le symétrique de la figure est situé à droite de l’axe (d), à la même distance que la figure originale.

b) Construction du symétrique de la figure par rapport à l’axe (d) :

L’axe (d) est vertical. Pour chaque sommet de la figure, je compte le nombre de carreaux qui le sépare de l’axe, puis je place le point symétrique à la même distance de l’autre côté de l’axe.

Le symétrique de la figure en forme de flèche est obtenu par réflexion par rapport à l’axe vertical.

c) Construction du symétrique de la figure par rapport à l’axe (d) :

L’axe (d) est une droite oblique. Pour construire le symétrique, je trace pour chaque point de la figure la perpendiculaire à l’axe (d), puis je reporte le point à la même distance de l’autre côté.

Le symétrique de la figure est obtenu par réflexion par rapport à cette droite oblique.

Propriétés importantes :

• La symétrie axiale conserve les distances et les angles

• L’axe de symétrie est la médiatrice du segment reliant un point à son symétrique

• Les figures symétrique et originale sont superposables par pliage le long de l’axe

Exercice 6 – la symétrie axiale

Construction des symétriques :

Pour construire le symétrique d’un point par rapport à une droite (axe de symétrie) :

1. Pour les points :

• Tracer la perpendiculaire à l’axe de symétrie passant par le point

• Mesurer la distance du point à l’axe

• Reporter cette même distance de l’autre côté de l’axe

• Le point symétrique se trouve sur cette perpendiculaire, à égale distance de l’axe

2. Pour les solides (parallélépipèdes) :

• Construire le symétrique de chaque sommet du solide

• Relier les points symétriques pour obtenir le solide symétrique

• Le solide symétrique a les mêmes dimensions que le solide original

3. Pour la droite :

• Prendre deux points sur la droite

• Construire le symétrique de chacun de ces points

• La droite passant par ces deux points symétriques est la droite symétrique

Propriétés à retenir :

• La symétrie axiale conserve les distances et les angles

• L’axe de symétrie est la médiatrice du segment reliant un point à son symétrique

• Une figure et son symétrique sont superposables

Exercice 7 – constructions par symétrie axiale

Méthode : Pour construire le symétrique d’une figure par rapport à un axe de symétrie, chaque point de la figure originale doit être transformé selon la règle suivante :

• L’axe de symétrie est la médiatrice du segment reliant un point à son symétrique

• La distance d’un point à l’axe est égale à la distance de son symétrique à l’axe

Construction pas à pas :

Figure 1 (en haut à gauche) :

• L’axe de symétrie est vertical

• Chaque point du visage doit être reporté à égale distance de l’autre côté de l’axe

• Les yeux, le nez et la bouche se complètent symétriquement

Figure 2 (en haut à droite) :

• L’axe de symétrie est la diagonale

• Les formes géométriques (cercles, rectangles) doivent être reproduites en miroir par rapport à cette diagonale

Figure 3 (en haut à droite) :

• L’axe de symétrie est vertical

• La partie droite du motif doit compléter la partie gauche

Figure 4 (en bas) :

• L’axe de symétrie est horizontal

• Les arcs de cercle et les formes géométriques du bas doivent être le reflet de ceux du haut

Vérification : Une fois la construction terminée, on peut vérifier en pliant la feuille le long de l’axe de symétrie : les deux parties doivent se superposer parfaitement.

Exercice 8 – symétrie axiale d’une figure.

Méthode : Pour construire le symétrique d’une figure par rapport à une droite, on construit le symétrique de chaque point de la figure.

Étapes de construction :

1) Identifier les points caractéristiques de la figure (sommets de l’étoile et du triangle).

2) Pour chaque point A de la figure, construire son symétrique A’ par rapport à la droite (LM) :
– Tracer la perpendiculaire à (LM) passant par A
– Mesurer la distance de A à (LM)
– Reporter cette même distance de l’autre côté de (LM) pour obtenir A’

3) Relier les points symétriques dans le même ordre que la figure initiale.

Propriétés utilisées :

• La droite (LM) est la médiatrice du segment [AA’]

• Les distances sont conservées par symétrie axiale

• Les angles et les formes sont conservés

Résultat : La figure symétrique obtenue est l’image de la figure initiale par la symétrie axiale d’axe (LM). Elle a la même forme et les mêmes dimensions, mais elle est « retournée » par rapport à l’axe de symétrie.

Exercice 9 – figure et symétrie axiale.

Méthode : Pour construire la figure symétrique par rapport à la droite (LM), je dois trouver le symétrique de chaque point de la figure initiale.

Construction du symétrique d’un point :

• Je trace la perpendiculaire à la droite (LM) passant par le point

• Je reporte la même distance de l’autre côté de la droite (LM)

• Le point symétrique est à égale distance de la droite (LM)

Étapes de construction :

1) Je construis le symétrique de chaque sommet : A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’, H’, I’, J’, K’

2) Je relie les points symétriques dans le même ordre que la figure initiale

3) La figure symétrique a la même forme et les mêmes dimensions que la figure initiale

Vérification : Chaque point et son symétrique sont équidistants de la droite (LM), et le segment qui les joint est perpendiculaire à (LM).

Propriété : La symétrie axiale conserve les distances, les angles et les aires. La figure obtenue est l’image de la figure initiale par la symétrie d’axe (LM).

Exercice 10 – symétrie axiale et triangles.

1.a. Construction du triangle ABC rectangle en A :

• Je trace un segment [AB] de longueur 4 cm

• En A, je trace la perpendiculaire à [AB] à l’aide de l’équerre

• Sur cette perpendiculaire, je place le point C tel que AC = 2 cm

• Je relie B et C pour obtenir le triangle ABC rectangle en A

1.b. Axe de symétrie du triangle ABC :

Le triangle ABC rectangle en A n’admet aucun axe de symétrie car ses trois côtés ont des longueurs différentes :

• AB = 4 cm

• AC = 2 cm

• BC = cm (d’après le théorème de Pythagore)

2.a. Construction du triangle MNP rectangle et isocèle en N :

• Je trace un segment [MN] de longueur 5 cm

• En N, je trace la perpendiculaire à [MN] à l’aide de l’équerre

• Sur cette perpendiculaire, je place le point P tel que NP = 5 cm (même longueur que MN)

• Je relie M et P pour obtenir le triangle MNP rectangle et isocèle en N

2.b. Axe de symétrie du triangle MNP :

Le triangle MNP rectangle et isocèle en N admet un axe de symétrie : c’est la droite passant par N et le milieu du segment [MP].

Cette droite est la médiatrice du segment [MP] et passe par le sommet N de l’angle droit.