Les équations de droites : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les équations de droites constituent un chapitre fondamental du programme de mathématiques en 2de, marquant l’introduction des élèves à l’algèbre et à la géométrie analytique. Cette notion essentielle permet aux collégiens de développer leur capacité d’abstraction tout en établissant le lien entre représentation graphique et expression algébrique. Maîtriser les équations de droites en 2de est crucial pour construire les bases solides nécessaires aux apprentissages mathématiques futurs. Ces exercices corrigés de mathématiques vous accompagnent dans la compréhension des concepts clés : détermination d’équations, tracé de droites et résolution de problèmes concrets.

Exercice 1 – vérifier qu’un point appartient à une droite.

Pour vérifier si le point C(3;7) appartient à chacune des droites, je remplace par 3 dans chaque équation et je vérifie si j’obtiens y=7 .

1) Droite d’équation y=3x+2

Pour x=3 : $y=3times 3+2=9+2=11$

Comme 11neq7 , le point C n’appartient pas à cette droite.

2) Droite d’équation y=3x-2

Pour x=3 : $y=3times 3-2=9-2=7$

Comme 7=7 , le point C appartient à cette droite.

3) Droite d’équation y=-2x-2

Pour x=3 : $y=-2times 3-2=-6-2=-8$

Comme -8neq7 , le point C n’appartient pas à cette droite.

4) Droite d’équation

Pour x=3 : $y=-2times 3+13=-6+13=7$

Comme 7=7 , le point C appartient à cette droite.

Conclusion : Le point C(3;7) appartient aux droites 2) et 4).

Exercice 2 – trouver deux nombres dont la différence.

1) Résolution du problème :

Soit et les deux nombres cherchés avec y » alt= »x>y »>.

D’après l’énoncé :

• x-y=7

•

Utilisons l’identité remarquable :

On obtient :

Comme x-y=7 , on a :

$7times (x+y)=21$

Donc : x+y=3

Résolvons le système :

$left{begin{matrix}x-y=7\x+y=3end{matrix}right.$

En additionnant les deux équations : 2x=10 , donc x=5

En soustrayant : -2y=4 , donc y=-2

Réponse : Les deux nombres sont et .

2) Algorithme :

Données : d_1 (différence des nombres) et d_2 (différence des carrés)

Étape 1 : Calculer $s=frac{d_2}{d_1}$ (somme des deux nombres)

Étape 2 : Calculer $x=frac{d_1+s}{2}$ (premier nombre)

Étape 3 : Calculer $y=frac{s-d_1}{2}$ (second nombre)

Exercice 3 – problème de géométrie avec un triangle rectangle.

Données :

• Triangle rectangle ABC inscrit dans un cercle de rayon 3 cm

• Aire du triangle = 8,64 cm²

• Le rayon [CD] = 3 cm est perpendiculaire à l’hypoténuse [AB]

1) Calcul du produit des deux longueurs :

Soit AC = a et BC = b les côtés de l’angle droit.

L’aire du triangle rectangle est : $frac{atimes b}{2}=8{,}64$

Donc : $atimes b=17{,}28$

2) Calcul de la somme des carrés avec Pythagore :

Dans un triangle rectangle inscrit dans un cercle, l’hypoténuse est un diamètre.

Donc : AB = 2 × 3 = 6 cm

D’après le théorème de Pythagore :

3) Utilisation des identités remarquables :

On sait que :

Et :

4) Calcul de la somme et de la différence :

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=36+2times 17{,}28=36+34{,}56=70{,}56$

Donc :

$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=36-2times 17{,}28=36-34{,}56=1{,}44$

Donc :

5) Résolution du système :

On résout le système :

$begin{cases}a+b=8{,}4\a-b=1{,}2end{cases}$

En additionnant : donc $a=4{,}8text{ cm}$

En soustrayant : donc $b=3{,}6text{ cm}$

6) Conclusion :

Réponse : Les longueurs des côtés de l’angle droit sont $AC=4{,}8text{ cm}$ et $BC=3{,}6text{ cm}$

Exercice 4 – montrer que les points A,B et C sont alignés.

Étape 1 : Déterminer les coordonnées des points A, B et C

• Point A : intersection des droites et

Droite : et

Coefficient directeur : $m_1=frac{-3-1}{7-1}=frac{-4}{6}=-frac{2}{3}$

Équation : $y=-frac{2}{3}x+frac{5}{3}$

Droite : et

Cette droite est verticale d’équation : x=4

Point A : x=4 et $y=-frac{2}{3}times 4+frac{5}{3}=frac{-3}{3}=-1$

Donc A(4;-1)

• Point B : intersection des droites et

Droite : et

Équation : $y=-frac{3}{7}x$

Droite : et

Coefficient directeur : $m_2=frac{4-(-3)}{4-1}=frac{7}{3}$

Équation : $y=frac{7}{3}x-frac{16}{3}$

Point B : $-frac{3}{7}x=frac{7}{3}x-frac{16}{3}$

En résolvant : $x=frac{16}{8}=2$ et $y=-frac{6}{7}$

Donc $B(2;-frac{6}{7})$

• Point C : intersection des droites et

Droite : et

Équation : $y=-frac{3}{4}x$

Droite : et

Cette droite est verticale d’équation : x=1

Point C : x=1 et $y=-frac{3}{4}times 1=-frac{3}{4}$

Donc $C(1;-frac{3}{4})$

Étape 2 : Vérifier l’alignement des points A, B et C

Pour montrer que A, B et C sont alignés, calculons les vecteurs vec{AB} et vec{AC} :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?vec{AB}=(-2;frac{1}{7})" alt="vec{AB}=(-2;frac{1}{

Exercice 5 – problème et salle de spectacle.

Partie A

1) Relation entre x et y :

Emma dépense au total : 14x+8y €

Comme elle dépense la totalité de son bon de 400 €, on a :

2) Pourquoi x ne peut pas être égal à y :

Si x=y , alors , soit 22x=400 .

D’où $x=frac{400}{22}=frac{200}{11}approx18{,}18$

Comme x doit être un nombre entier (nombre de pièces), x ne peut pas être égal à y.

3) Représentation graphique :

L’équation peut s’écrire :

$y=frac{400-14x}{8}=50-frac{14x}{8}=50-1{,}75x$

C’est une droite d’ordonnée à l’origine 50 et de coefficient directeur -1,75.

4) Points à coordonnées entières :

Il faut résoudre avec x et y entiers positifs.

En divisant par 2 :

D’où $y=frac{200-7x}{4}$

Pour que y soit entier, il faut que 200-7x soit divisible par 4.

Les solutions sont : (0;50), (4;43), (8;36), (12;29), (16;22), (20;15), (24;8), (28;1)

5) Combinaison optimale :

Emma veut voir presque autant de films que de pièces, donc chercher le point où $yapprox x$ .

Le point le plus proche de cette condition est (16;22) : 16 pièces et 22 films.

Partie B

1) Sur le graphique :

Il faut tracer la droite d’équation y=2x (Emma veut voir deux fois plus de films que de pièces).

2) Solutions possibles :

Il faut résoudre le système :

$begin{cases}14x+8y=400\y=2xend{cases}$

En substituant :

30x=400

$x=frac{40}{3}approx13{,}33$

Comme x doit être entier, Emma peut choisir :

• 13 pièces et 26 films (coût : 390 €)

• 14 pièces et 28 films (coût : 420 € > 400 €, impossible)

Réponse : 13 pièces et 26 films.

Exercice 6 – problème de géométrie dans un repère orthonormé.

Données : A(1;7) , , C(7;-1)

1) a) Coordonnées des milieux :

$A'=text{milieu~de~}[BC]$ : $A'left(frac{-5+7}{2};frac{-5+(-1)}{2}right)=A'(1;-3)$

$B'=text{milieu~de~}[AC]$ : $B'left(frac{1+7}{2};frac{7+(-1)}{2}right)=B'(4;3)$

$C'=text{milieu~de~}[AB]$ : $C'left(frac{1+(-5)}{2};frac{7+(-5)}{2}right)=C'(-2;1)$

b) Équations des médianes :

Droite $(AA')$ : A(1;7) et $A'(1;-3)$

Ces points ont même abscisse, donc $(AA'):~x=1$

Droite $(BB')$ : et $B'(4;3)$

Coefficient directeur : $m=frac{3-(-5)}{4-(-5)}=frac{8}{9}$

Équation : $y-3=frac{8}{9}(x-4)$ soit $y=frac{8}{9}x-frac{5}{9}$

c) Point d’intersection K :

Pour x=1 : $y=frac{8}{9}times 1-frac{5}{9}=frac{3}{9}=frac{1}{3}$

Donc $Kleft(1;frac{1}{3}right)$

d) K appartient à la droite (CC’) :

Droite $(CC')$ avec C(7;-1) et $C'(-2;1)$

Coefficient directeur : $m=frac{1-(-1)}{-2-7}=frac{2}{-9}=-frac{2}{9}$

Équation : $y-1=-frac{2}{9}(x-(-2))$ soit $y=-frac{2}{9}x+frac{5}{9}$

Pour x=1 : $y=-frac{2}{9}+frac{5}{9}=frac{3}{9}=frac{1}{3}$

K appartient bien à la droite (CC’).

e) Théorème classique :

Le théorème des médianes : les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité.

f) Position de K :

$vec{AA'}=(0;-10)$ et $vec{AK}=left(0;-frac{20}{3}right)$

$vec{AK}=frac{2}{3}vec{AA'}$ donc K est aux deux-tiers de [AA’] à partir de A.

2) Distances depuis O :

$OA=sqrt{1^2+7^2}=sqrt{50}=5sqrt{2}$

$OB=sqrt{(-5)^2+(-5)^2}=sqrt{50}=5sqrt{2}$

$OC=sqrt{7^2+(-1)^2}=sqrt{50}=5sqrt{2}$

O est équidistant de A, B et C, donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Exercice 7 – déterminer les coordonnées des points et intersection.

1) Représentation graphique :

Pour p=3 :

•

• $(d'_3):y=-x+2times 3=-x+6$

Pour p=-1 :

• $(d_{-1}):y=(1-(-1))x+3=2x+3$

• $(d'_{-1}):y=-x+2times (-1)=-x-2$

2) Condition de parallélisme :

Les droites (d_p) et $(d'_p)$ sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.

• Coefficient directeur de (d_p) : 1-p

• Coefficient directeur de $(d'_p)$ :

Condition : 1-p=-1

Donc p=2

3) Intersection des droites pour p ≠ 2 :

Pour trouver K_p , on résout le système :

$left{begin{array}{l}y=(1-p)x+3\y=-x+2pend{array}right.$

Par égalité :

$x=frac{2p-3}{2-p}$

$y=-x+2p=-frac{2p-3}{2-p}+2p=frac{-(2p-3)+2p(2-p)}{2-p}=frac{-2p+3+4p-2p^2}{2-p}=frac{2p+3-2p^2}{2-p}$

Donc $K_pleft(frac{2p-3}{2-p};frac{2p+3-2p^2}{2-p}right)$

4) Coordonnées de K₃ et K₋₁ :

Pour p=3 :

$x=frac{2times 3-3}{2-3}=frac{3}{-1}=-3$

$y=frac{2times 3+3-2times 3^2}{2-3}=frac{9-18}{-1}=9$

Donc

Pour p=-1 :

$x=frac{2times (-1)-3}{2-(-1)}=frac{-5}{3}$

$y=frac{2times (-1)+3-2times (-1)^2}{2-(-1)}=frac{-1}{3}$

Donc $K_{-1}left(-frac{5}{3};-frac{1}{3}right)$

Exercice 8 – déterminer l’équation de la droite.

a) Équation de la droite (AB)

On a A(1;-2) et B(-3;1) .

Calculons le coefficient directeur :

$m=frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=frac{1-(-2)}{-3-1}=frac{3}{-4}=-frac{3}{4}$

Utilisons le point A pour trouver l’ordonnée à l’origine :

y=mx+p donc $-2=-frac{3}{4}times 1+p$

$p=-2+frac{3}{4}=-frac{8}{4}+frac{3}{4}=-frac{5}{4}$

L’équation de la droite (AB) est : $y=-frac{3}{4}x-frac{5}{4}$

b) Vérification de l’appartenance des points à la droite (AB)

Point C(10; -8,75) :

$y=-frac{3}{4}times 10-frac{5}{4}=-frac{30}{4}-frac{5}{4}=-frac{35}{4}=-8{,}75$

Le point C appartient à la droite (AB).

Point D(-20; 13,5) :

$y=-frac{3}{4}times (-20)-frac{5}{4}=frac{60}{4}-frac{5}{4}=frac{55}{4}=13{,}75$

Comme , le point D n’appartient pas à la droite (AB).

Point E(41; -32) :

$y=-frac{3}{4}times 41-frac{5}{4}=-frac{123}{4}-frac{5}{4}=-frac{128}{4}=-32$

Le point E appartient à la droite (AB).

Exercice 9 – nature d’un triangle et équations de droites.

a) Les droites (AB), (AC), (BC) sont-elles parallèles à l’un des axes ?

Calculons les coefficients directeurs :

• Pour (AB) : $m_{AB} = frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = frac{2 - 2}{2 - (-3)} = frac{0}{5} = 0$

• Pour (AC) : $m_{AC} = frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = frac{-2 - 2}{2 - (-3)} = frac{-4}{5}$

• Pour (BC) : $m_{BC} = frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = frac{-2 - 2}{2 - 2} = frac{-4}{0}$

La droite (BC) a un coefficient directeur non défini, elle est donc verticale et parallèle à l’axe des ordonnées.

La droite (AB) a un coefficient directeur nul, elle est donc horizontale et parallèle à l’axe des abscisses.

b) Équations des droites :

• Droite (AB) : elle est horizontale et passe par A(-3; 2), donc $y = 2$

• Droite (BC) : elle est verticale et passe par B(2; 2), donc $x = 2$

• Droite (AC) : $y - 2 = -frac{4}{5}(x - (-3))$

Donc $y = -frac{4}{5}x + 2 - frac{12}{5} = -frac{4}{5}x - frac{2}{5}$

c) Nature du triangle ABC :

Les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires car l’une est horizontale et l’autre verticale.

Donc l’angle en B est un angle droit.

Le triangle ABC est rectangle en B.

Exercice 10 – systèmes et équations de droites.

a) Justification :

Pour qu’une équation soit de la forme y=mx+p , il faut que la droite ne soit pas verticale (coefficient directeur défini).

Les points A(-2;1) et B(2;2) ont des abscisses différentes, donc la droite (AB) n’est pas verticale et admet une équation de la forme y=mx+p .

b) Explication du système :

Pour déterminer m et p, on utilise le fait que les points A et B appartiennent à la droite (AB).

• Le point A(-2;1) vérifie l’équation : $1=mtimes (-2)+p$ , soit 1=-2m+p

• Le point B(2;2) vérifie l’équation : $2=mtimes 2+p$ , soit 2=2m+p

c) Résolution du système :

$left{begin{array}{l}1=-2m+p\2=2m+pend{array}right.$

En soustrayant la première équation de la seconde :

1=4m

Donc $m=frac{1}{4}$

En reportant dans la première équation :

$1=-2times frac{1}{4}+p=−frac{1}{2}+p$

Donc $p=1+frac{1}{2}=frac{3}{2}$

Équation de (AB) : $y=frac{1}{4}x+frac{3}{2}$

d) Équation de la droite (CD) :

Coefficient directeur : $m_{CD}=frac{2-6}{21-21}=frac{-4}{0}$

Le coefficient directeur n’existe pas car C et D ont la même abscisse.

Équation de (CD) : x=21 (droite verticale)

e) Vérification de l’affirmation de Killian :

Pour que E(21;7) soit aligné avec A, B, C et D, il faudrait que E appartienne aux droites (AB) et (CD).

• E appartient-il à (CD) ? L’abscisse de E est 21, donc oui, E ∈ (CD).

• E appartient-il à (AB) ? Vérifions : $y=frac{1}{4}times 21+frac{3}{2}=frac{21}{4}+frac{6}{4}=frac{27}{4}=6{,}75$

Or l’ordonnée de E est 7 ≠ 6,75, donc E ∉ (AB).

Conclusion : L’affirmation de Killian est fausse. E est aligné avec C et D, mais pas avec A et B.

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