Trigonométrie : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

La trigonométrie en 2de constitue une introduction fondamentale aux relations entre les angles et les côtés des triangles, préparant les élèves aux concepts mathématiques plus avancés du collège. Ces exercices de trigonométrie permettent de développer le raisonnement géométrique et la capacité à utiliser les rapports trigonométriques dans des situations concrètes. Maîtriser ces notions dès la seconde renforce la compréhension des triangles rectangles et prépare efficacement aux chapitres de géométrie des classes supérieures. Les corrections détaillées proposées accompagnent chaque élève dans l’acquisition progressive de ces compétences essentielles en mathématiques.

Exercice 1 – placer des points sur un cercle trigonométrique.

a) M image de $frac{4pi}{3}$ :

$frac{4pi}{3}=frac{3pi+pi}{3}=pi+frac{pi}{3}$

Le point M se situe dans le 3ème quadrant, à $frac{pi}{3}$ (60°) en dessous de l’axe des abscisses négatives.

b) N image de $frac{19pi}{2}$ :

$frac{19pi}{2}=frac{18pi+pi}{2}=9pi+frac{pi}{2}$

Comme $9pi=9times pi$ correspond à 4 tours complets et demi, on a : $frac{19pi}{2}equivfrac{pi}{2}pmod{2pi}$

Le point N se situe au sommet du cercle (axe des ordonnées positives).

c) P image de $-frac{3pi}{4}$ :

L’angle est négatif, on tourne dans le sens horaire. $-frac{3pi}{4}$ correspond à $frac{3pi}{4}$ dans le sens horaire.

Le point P se situe dans le 3ème quadrant, à $frac{pi}{4}$ (45°) en dessous de l’axe des abscisses négatives.

d) R image de $frac{29pi}{4}$ :

$frac{29pi}{4}=frac{28pi+pi}{4}=7pi+frac{pi}{4}$

Comme 7pi correspond à 3 tours complets et demi, on a : $frac{29pi}{4}equivfrac{pi}{4}pmod{2pi}$

Le point R se situe dans le 1er quadrant, à $frac{pi}{4}$ (45°) au-dessus de l’axe des abscisses positives.

Exercice 2 – image et cercle trigonométrique.

a) M image de $frac{pi}{5}$

L’angle $frac{pi}{5}$ correspond à 36°. On place le point M dans le premier quadrant, en partant de l’axe des abscisses et en tournant dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) d’un angle de 36°.

b) N image de $frac{11pi}{6}$

L’angle $frac{11pi}{6}=2pi-frac{pi}{6}$ correspond à 330°. On place le point N dans le quatrième quadrant, à 30° sous l’axe des abscisses.

c) P image de $-frac{7pi}{6}$

L’angle $-frac{7pi}{6}$ est négatif, on tourne dans le sens des aiguilles d’une montre. Cet angle correspond à -210°. On peut aussi écrire $-frac{7pi}{6}=frac{5pi}{6}$ (modulo 2pi ). Le point P se situe dans le deuxième quadrant, à 30° au-dessus de l’axe des abscisses négatif.

d) R image de $-frac{4pi}{3}$

L’angle $-frac{4pi}{3}$ correspond à -240°. On peut aussi écrire $-frac{4pi}{3}=frac{2pi}{3}$ (modulo 2pi ). Le point R se situe dans le deuxième quadrant, à 60° au-dessus de l’axe des abscisses négatif.

Exercice 3 – donner des nombres ayant le même point image.

Principe : Sur le cercle trigonométrique, deux nombres réels ont le même point image si et seulement si leur différence est un multiple de 2pi .

Pour chaque proposition, je cherche un nombre réel positif et un nombre réel négatif ayant le même point image :

Nombres possibles : et

Vérification : ✓

b) $frac{pi}{2}$

Nombres possibles : $frac{pi}{2}$ et $frac{pi}{2}-2pi=frac{pi-4pi}{2}=-frac{3pi}{2}$

Vérification : $frac{pi}{2}-(-frac{3pi}{2})=frac{pi+3pi}{2}=2pi$ ✓

c) $frac{pi}{4}$

Nombres possibles : $frac{pi}{4}$ et $frac{pi}{4}-2pi=frac{pi-8pi}{4}=-frac{7pi}{4}$

Vérification : $frac{pi}{4}-(-frac{7pi}{4})=frac{pi+7pi}{4}=2pi$ ✓

d) $-frac{3pi}{5}$

Nombres possibles : $-frac{3pi}{5}+2pi=frac{-3pi+10pi}{5}=frac{7pi}{5}$ et $-frac{3pi}{5}$

Vérification : $frac{7pi}{5}-(-frac{3pi}{5})=frac{7pi+3pi}{5}=2pi$ ✓

Exercice 4 – trigonométrie et calculatrice.

a) Valeur approchée de $cosfrac{3pi}{4}$

On utilise la calculatrice en mode radian :

$cosfrac{3pi}{4}approx-0{,}707$

b) Valeurs exactes à l’aide du cercle trigonométrique

L’angle $frac{3pi}{4}$ correspond à 135°.

Sur le cercle trigonométrique, ce point se situe dans le deuxième quadrant.

On utilise l’angle de référence : $pi-frac{3pi}{4}=frac{pi}{4}$

Dans le deuxième quadrant :

• Le cosinus est négatif

• Le sinus est positif

Valeurs exactes :

$cosfrac{3pi}{4}=-cosfrac{pi}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}$

$sinfrac{3pi}{4}=sinfrac{pi}{4}=frac{sqrt{2}}{2}$

Exercice 5 – calculer une longueur avec la trigonométrie.

a) Calcul de OH :

Dans le triangle rectangle OHM, rectangle en H :

• L’angle en O mesure 30°

• L’hypoténuse OM = 2

• OH est le côté adjacent à l’angle de 30°

On utilise la relation trigonométrique :

$cos(30°)=frac{OH}{OM}$

Donc : $OH=OMtimes cos(30°)=2times cos(30°)$

Or $cos(30°)=frac{sqrt{3}}{2}$

Donc : $OH=2times frac{sqrt{3}}{2}=sqrt{3}$

b) Mesure de l’angle HOM :

L’angle HOM mesure 30°.

c) Valeurs exactes :

$cosfrac{pi}{4}=frac{sqrt{2}}{2}$

$sinfrac{pi}{4}=frac{sqrt{2}}{2}$

Exercice 6 – déterminer une longueur sur le cercle trigonométrique.

On observe sur la figure que les points A et B ont pour ordonnées respectives 0,5 et -0,6.

Étape 1 : Identifier les coordonnées des points

• Point A : $y_A = 0{,}5$

• Point B : $y_B = -0{,}6$

Étape 2 : Calculer la longueur du segment vertical

La longueur ell de la figure rouge correspond à la distance verticale entre les points A et B.

$ell = |y_A - y_B|$

$ell = |0{,}5 - (-0{,}6)|$

$ell = |0{,}5 + 0{,}6|$

$ell = |1{,}1|$

Réponse : $ell = 1{,}1$

Exercice 7 – calculer une valeur approchée de la longueur L.

Données :

• Le repère (O ; I, J) est orthonormé

• L’arc IJ est un quart de cercle de centre O et de rayon 1

• B est le point de cet arc d’ordonnée 0,6

Étape 1 : Déterminer les coordonnées du point B

B appartient au cercle de centre O et de rayon 1, donc :

Comme $y_B=0{,}6$ , on a :

$x_B^2+(0{,}6)^2=1$

$x_B^2=1-0{,}36=0{,}64$

$x_B=0{,}8$ (car B est dans le premier quadrant)

Donc

Étape 2 : Approximation de la longueur de l’arc par une ligne brisée

On approxime la longueur L de l’arc IJ par la longueur de la ligne brisée IAB + BJ.

Les coordonnées sont : , , ,

Calcul de IA :

Calcul de AB :

Calcul de BJ : $BJ=sqrt{(0-0{,}8)^2+(1-0{,}6)^2}=sqrt{0{,}64+0{,}16}=sqrt{0{,}8}$

Réponse :

Exercice 8 – algorithme et trigonométrie.

Analyse de l’algorithme :

L’algorithme calcule la somme : $S=sum_{k=0}^{n}cosleft(frac{kpi}{n}right)$

a) Pour n = 4 :

On calcule : $S=cos(0)+cosleft(frac{pi}{4}right)+cosleft(frac{2pi}{4}right)+cosleft(frac{3pi}{4}right)+cosleft(frac{4pi}{4}right)$

$S=cos(0)+cosleft(frac{pi}{4}right)+cosleft(frac{pi}{2}right)+cosleft(frac{3pi}{4}right)+cos(pi)$

$S=1+frac{sqrt{2}}{2}+0-frac{sqrt{2}}{2}+(-1)$

Réponse a) : S=0

b) Pour n = 5 :

On calcule : $S=cos(0)+cosleft(frac{pi}{5}right)+cosleft(frac{2pi}{5}right)+cosleft(frac{3pi}{5}right)+cosleft(frac{4pi}{5}right)+cos(pi)$

En utilisant les valeurs exactes :

• $cosleft(frac{pi}{5}right)=frac{1+sqrt{5}}{4}$

• $cosleft(frac{2pi}{5}right)=frac{sqrt{5}-1}{4}$

• $cosleft(frac{3pi}{5}right)=-frac{sqrt{5}-1}{4}$

• $cosleft(frac{4pi}{5}right)=-frac{1+sqrt{5}}{4}$

$S=1+frac{1+sqrt{5}}{4}+frac{sqrt{5}-1}{4}-frac{sqrt{5}-1}{4}-frac{1+sqrt{5}}{4}+(-1)$

Réponse b) : S=0

Exercice 9 – mesures d’angle et point image.

Principe : Sur le cercle trigonométrique, un point M est l’image d’un nombre réel x si l’angle mesure x radians.

a) 180°

Conversion : $180° = 180 times frac{pi}{180} = pi$ radians

Réponse :

b) 90°

Conversion : $90° = 90 times frac{pi}{180} = frac{pi}{2}$ radians

Réponse : $frac{pi}{2}$

c) 10°

Conversion : $10° = 10 times frac{pi}{180} = frac{pi}{18}$ radians

Réponse : $frac{pi}{18}$

d) 60°

Conversion : $60° = 60 times frac{pi}{180} = frac{pi}{3}$ radians

Réponse : $frac{pi}{3}$

e) 30°

Conversion : $30° = 30 times frac{pi}{180} = frac{pi}{6}$ radians

Réponse : $frac{pi}{6}$

f) 45°

Conversion : $45° = 45 times frac{pi}{180} = frac{pi}{4}$ radians

Réponse : $frac{pi}{4}$

Exercice 10 – calculer la mesure d’un angle.

a) Calcul mental de la mesure en degrés de l’angle JOM :

Sur le cercle trigonométrique, on lit directement que le point M correspond à un angle de 45°.

Donc $widehat{JOM} = 45°$

b) Détermination du nombre réel dont N est le point image :

On sait que $widehat{ION} = 135°$

Pour convertir en radians : $135° = 135 times frac{pi}{180} = frac{135pi}{180} = frac{3pi}{4}$

Le nombre réel dont N est le point image est $frac{3pi}{4}$

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