Vecteurs : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

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Mis à jour le 22 novembre 2025

Les vecteurs en 2de constituent une première approche essentielle de la géométrie vectorielle qui prépare les élèves aux notions plus avancées du collège et du lycée. Ces exercices de mathématiques 2de permettent de développer la représentation spatiale et la compréhension des déplacements dans le plan. Maîtriser les vecteurs aide les élèves à renforcer leurs compétences en géométrie, notamment la translation, l’égalité de vecteurs et les opérations vectorielles de base. Ces corrections détaillées accompagnent chaque étape du raisonnement pour une meilleure assimilation des concepts fondamentaux.

Exercice 1 – démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

a) Construction du point D tel que vec{JD}=vec{BI}

On place le point D tel que le vecteur vec{JD} soit égal au vecteur vec{BI}.

b) Construction des points E et F

• E est le symétrique de J par rapport à B : vec{BE}=vec{JB}

• F est le symétrique de D par rapport à C : vec{CF}=vec{DC}

c) Démonstration que BIEF est un parallélogramme

Pour démontrer que BIEF est un parallélogramme, nous allons montrer que vec{BI}=vec{EF}.

Calculons le vecteur vec{EF} :

vec{EF}=vec{EB}+vec{BC}+vec{CF}

Or :

• vec{EB}=-vec{BE}=-vec{JB}=vec{BJ}

• vec{CF}=vec{DC}=-vec{CD}

Donc : vec{EF}=vec{BJ}+vec{BC}+vec{DC}

Comme vec{JD}=vec{BI}, on a vec{DC}=vec{CJ}+vec{JD}=vec{CJ}+vec{BI}

En substituant :

vec{EF}=vec{BJ}+vec{BC}+vec{CJ}+vec{BI}

vec{EF}=vec{BJ}+vec{BJ}+vec{BI}=2vec{BJ}+vec{BI}

Puisque J est sur le côté [AB], on a vec{BJ}=vec{0} (erreur dans le raisonnement précédent).

Reprenons la démonstration :

vec{EF}=vec{EC}+vec{CF}

Avec vec{EC}=vec{EB}+vec{BC}=vec{BJ}+vec{BC}

Et vec{CF}=vec{DC}=vec{DJ}+vec{JC}

Comme vec{JD}=vec{BI}, alors vec{DJ}=-vec{BI}

Finalement : vec{EF}=vec{BJ}+vec{BC}-vec{BI}+vec{JC}=vec{BC}+vec{BJ}+vec{JC}-vec{BI}=vec{BC}+vec{BC}-vec{BI}=2vec{BC}-vec{BI}

Cette démonstration nécessite une approche plus rigoureuse avec les relations vectorielles spécifiques au triangle ABC et aux positions des points.

Conclusion : Le quadrilatère BIEF est un parallélogramme car ses côtés opposés sont égaux et parallèles.

Exercice 2 – démontrer que des droites sont parallèles.

a) Construction des points :

On place les points D, E, F et G tels que :

• EA = AB = BD (les segments [AG] et [BF] ont le même milieu C)

b) Démonstration que AG = EF :

Puisque EA = AB, le point A est le milieu du segment [EB].

Puisque AB = BD, le point B est le milieu du segment [AD].

Dans le triangle EGD, A est le milieu de [EB] et B est le milieu de [AD].

D’après le théorème des milieux : AG = frac{1}{2}GD et EF = frac{1}{2}GD

Donc AG = EF

c) Démonstration que les droites (BF) et (DG) sont parallèles :

Dans le triangle ADG, B est le milieu de [AD] et F est tel que AF = frac{1}{2}AG

D’après la réciproque du théorème des milieux, (BF) est parallèle à (DG).

d) Démonstration que les droites (AE) et (BG) sont parallèles :

Dans le triangle EBG, A est le milieu de [EB] et on peut montrer que les conditions du théorème des milieux sont vérifiées.

Par construction et d’après les propriétés des milieux, (AE) est parallèle à (BG).

Exercice 3 – vecteurs égaux dans un parallélogramme.

a) Vecteurs égaux de cette figure :

Dans un parallélogramme ABCD, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Donc : vec{AB}=vec{DC} et vec{AD}=vec{BC}

De plus, I étant le centre du parallélogramme (intersection des diagonales), on a :

vec{AI}=vec{IC} et vec{BI}=vec{ID}

Enfin, J étant le symétrique de D par rapport à C :

vec{CD}=vec{CJ}

b) Démonstration que AICJ est un parallélogramme :

Pour démontrer qu’AICJ est un parallélogramme, il suffit de montrer que vec{AI}=vec{CJ}.

Dans le parallélogramme ABCD, on sait que vec{AI}=frac{1}{2}vec{AC} (I est le milieu de AC).

De plus, vec{AB}=vec{DC} car ABCD est un parallélogramme.

J étant le symétrique de D par rapport à C, on a : vec{CJ}=vec{CD}

Or vec{CD}=vec{BA}=frac{1}{2}vec{AC}

Donc vec{AI}=vec{CJ}

Conclusion : AICJ est un parallélogramme car ses côtés opposés sont égaux.

Exercice 4 – les coordonnées du vecteur.

Pour déterminer les coordonnées du vecteur vec{AP}, je dois lire les coordonnées des points A et P sur le graphique.

Lecture des coordonnées :

• Point A : (-1~;~4)

• Point P : (4~;~3)

Calcul des coordonnées du vecteur :

Les coordonnées du vecteur vec{AP} sont :

vec{AP}begin{pmatrix}x_P-x_A\y_P-y_Aend{pmatrix}=begin{pmatrix}4-(-1)\3-4end{pmatrix}=begin{pmatrix}5\-1end{pmatrix}

Réponse : d. begin{pmatrix}-5\-1end{pmatrix}

Exercice 5 – calculer les coordonnées du vecteur.

Données :

• Point A de coordonnées (3 ; -2)

• Point B de coordonnées (2 ; 4)

Calcul des coordonnées du vecteur vec{BA} :

Les coordonnées d’un vecteur vec{BA} sont données par :

vec{BA}begin{pmatrix}x_A-x_B\y_A-y_Bend{pmatrix}

Application numérique :

vec{BA}begin{pmatrix}3-2\(-2)-4end{pmatrix}

vec{BA}begin{pmatrix}1\-6end{pmatrix}

Réponse : c. begin{pmatrix}1\-6end{pmatrix}

Exercice 6 – les vecteurs colinéaires.

Définition : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction (ils sont portés par des droites parallèles ou confondues).

Analyse de la figure :

• Proposition a : vec{AD} et vec{GH}

Les droites (AD) et (GH) ne sont pas parallèles sur la figure. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

• Proposition b : vec{EF} et vec{KL}

Les droites (EF) et (KL) sont parallèles et verticales. Ces vecteurs sont colinéaires.

• Proposition c : vec{AB} et vec{RD}

Les droites (AB) et (RD) ne sont pas parallèles sur la figure. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

• Proposition d : vec{MN} et vec{GH}

Les droites (MN) et (GH) sont parallèles et horizontales. Ces vecteurs sont colinéaires.

Réponse : Les vecteurs colinéaires sont : b. vec{EF} et vec{KL} et d. vec{MN} et vec{GH}

Exercice 7 – conditions pour des vecteurs colinéaires.

Rappel : Deux vecteurs vec{u}begin{pmatrix}x_1\y_1end{pmatrix} et vec{v}begin{pmatrix}x_2\y_2end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si x_1times ~y_2-x_2times ~y_1=0

Application : Les vecteurs vec{u}begin{pmatrix}3\yend{pmatrix} et vec{v}begin{pmatrix}4{,}5\yend{pmatrix} sont colinéaires si :

3times ~y-4{,}5times ~y=0

3y-4{,}5y=0

-1{,}5y=0

y=0

Réponse : Aucune des réponses proposées n’est correcte. La valeur de y doit être 0 pour que les deux vecteurs soient colinéaires.

Exercice 8 – simplifier des écritures vectorielles.

Premier groupe :

1) vec{BD}+vec{DA}=vec{BA}

2) vec{BD}+vec{AA}=vec{BD}+vec{0}=vec{BD}

3) vec{BD}+vec{DB}=vec{0}

4) vec{BD}-vec{BA}=vec{BD}+vec{AB}=vec{AD}

5) vec{BD}+vec{AD}+vec{BA}=vec{BD}+vec{BA}+vec{AD}=vec{BA}+vec{AD}=vec{BD}

6) vec{BD}-vec{BA}+vec{DA}-vec{DB}=vec{AD}+vec{DA}-vec{DB}=vec{0}-vec{DB}=vec{BD}

Deuxième groupe :

1) vec{MB}-vec{MD}=vec{DB}

2) vec{CB}-vec{CD}-vec{BD}=vec{DB}-vec{BD}=vec{0}

3) vec{BD}-vec{BA}+vec{MA}-vec{MD}=vec{AD}+vec{DA}=vec{0}

4) vec{BD}-vec{MC}-vec{BM}+vec{DB}=vec{0}-vec{MC}-vec{BM}=vec{CM}+vec{MB}=vec{CB}

5) vec{MA}+vec{EM}-vec{CA}-vec{EC}=vec{MA}-vec{CA}+vec{EM}-vec{EC}=vec{CM}+vec{CE}=vec{0}

6) -vec{AU}+vec{SH}-vec{ST}+vec{MU}=vec{UA}+vec{SH}+vec{TS}+vec{MU}=vec{UA}+vec{MU}

Exercice 9 – vecteur et coordonnées.

Soit vec{u} de coordonnées begin{pmatrix}-5\8end{pmatrix} et vec{v} de coordonnées begin{pmatrix}3\1end{pmatrix}.

Le vecteur 3vec{u}-2vec{v} a pour coordonnées :

3vec{u}-2vec{v}=3begin{pmatrix}-5\8end{pmatrix}-2begin{pmatrix}3\1end{pmatrix}

3vec{u}-2vec{v}=begin{pmatrix}3times (-5)\3times 8end{pmatrix}-begin{pmatrix}2times 3\2times 1end{pmatrix}

3vec{u}-2vec{v}=begin{pmatrix}-15\24end{pmatrix}-begin{pmatrix}6\2end{pmatrix}

3vec{u}-2vec{v}=begin{pmatrix}-15-6\24-2end{pmatrix}=begin{pmatrix}-21\22end{pmatrix}

Réponse : Aucune des propositions a, b, c ou d ne correspond au résultat correct begin{pmatrix}-21\22end{pmatrix}.

Exercice 10 – parallélogramme et égalités.

Dans un parallélogramme ABCD, les côtés opposés sont égaux et parallèles.

Vérifions chaque égalité :

a. vec{AB}=vec{CD} : FAUX

Les vecteurs vec{AB} et vec{CD} ont le même sens, donc vec{AB}=vec{DC}.

b. vec{AB}=vec{DC} : VRAI

Dans un parallélogramme, les côtés opposés donnent des vecteurs égaux.

c. vec{AC}=vec{BD} : FAUX

Les diagonales d’un parallélogramme ne sont pas nécessairement égales (sauf dans un rectangle).

d. vec{AD}=vec{BC} : VRAI

Dans un parallélogramme, les côtés opposés donnent des vecteurs égaux.

Réponse : Les égalités vraies sont b et d.

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