Repérage dans le plan : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Le repérage dans le plan constitue une compétence fondamentale du programme de mathématiques en 2de, permettant aux élèves de développer leur vision spatiale et leur logique géométrique. Cette notion essentielle travaille la lecture de coordonnées, le placement de points sur un repère orthogonal et la compréhension des axes gradués. Maîtriser le repérage de points dans un système de coordonnées prépare efficacement les collégiens aux apprentissages plus complexes de géométrie analytique. Ces exercices corrigés de repérage offrent un entraînement progressif pour consolider ces bases mathématiques indispensables à la réussite scolaire.

Exercice 1 – donner les noms des points.

Figure 1 :

Pour trouver le point de coordonnées (-1;2) , je repère :

• L’abscisse x=-1 : je me déplace de 1 unité vers la gauche à partir de l’origine

• L’ordonnée y=2 : je me déplace de 2 unités vers le haut

Le point situé aux coordonnées (-1;2) est le point C.

Figure 2 :

Je procède de la même manière sur le second repère :

• L’abscisse x=-1 : je me déplace de 1 unité vers la gauche à partir de l’origine

• L’ordonnée y=2 : je me déplace de 2 unités vers le haut

Le point situé aux coordonnées (-1;2) est le point A.

Réponse :

Figure 1 : C

Figure 2 : A

Exercice 2 – valeur de longueur et coordonnées du milieu.

Données : A(5; -1) et B(-2; 1)

1) Longueur du segment [AB] :

On utilise la formule de la distance entre deux points :

$AB = sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

$AB = sqrt{(-2 - 5)^2 + (1 - (-1))^2}$

$AB = sqrt{(-7)^2 + (2)^2}$

$AB = sqrt{49 + 4}$

$AB = sqrt{53}$

Réponse : $AB = sqrt{53}$

2) Coordonnées du milieu du segment [AB] :

On utilise la formule du milieu :

$Ileft(frac{x_A + x_B}{2} ; frac{y_A + y_B}{2}right)$

$Ileft(frac{5 + (-2)}{2} ; frac{(-1) + 1}{2}right)$

$Ileft(frac{3}{2} ; frac{0}{2}right)$

Réponse : $Ileft(frac{3}{2} ; 0right)$

Exercice 3 – coordonnées dans un repère et triangle.

1) Placement des points A et B

On place les points A(2 ; -1) et B(-6 ; -1) dans le repère orthonormé.

2) Construction du point C

Le triangle ABC doit être isocèle en C avec une hauteur de 4 cm.

Puisque A et B ont la même ordonnée (-1), le segment [AB] est horizontal.

Pour que le triangle soit isocèle en C, le point C doit se trouver sur la médiatrice de [AB].

Le milieu de [AB] a pour coordonnées : $left(frac{2+(-6)}{2};frac{-1+(-1)}{2}right)=(-2;-1)$

La médiatrice de [AB] est la droite verticale d’équation x = -2.

Comme la hauteur du triangle est 4 cm, C se trouve à 4 unités au-dessus ou au-dessous de la droite (AB).

Donc C(-2 ; 3) ou C(-2 ; -5).

3) Coordonnées du point C

Le point C a pour coordonnées (-2 ; 3) ou (-2 ; -5).

Choisissons C(-2 ; 3).

4) Construction du symétrique de C par rapport à (AB)

La droite (AB) a pour équation y = -1.

Le symétrique C’ de C(-2 ; 3) par rapport à la droite y = -1 s’obtient en conservant l’abscisse et en calculant la nouvelle ordonnée.

Distance de C à la droite (AB) :

L’ordonnée de C’ est : -1-4=-5

5) Coordonnées du symétrique

Le symétrique de C par rapport à (AB) a pour coordonnées C'(-2 ; -5).

Exercice 4 – construire des points dans un repère.

1) Placement des points D et E :

• Point D de coordonnées (4 ; -3) : on se déplace de 4 unités vers la droite depuis l’origine O, puis de 3 unités vers le bas.

• Point E de coordonnées (-2 ; 3) : on se déplace de 2 unités vers la gauche depuis l’origine O, puis de 3 unités vers le haut.

2) Construction du point F tel que EDF soit équilatéral :

Dans un triangle équilatéral, tous les côtés ont la même longueur. Il faut construire F tel que EF = DF = DE.

On peut utiliser un compas : tracer deux arcs de cercle de même rayon DE, centrés respectivement en D et E. Le point F est à l’intersection de ces deux arcs.

3) Lecture des coordonnées du point F :

Après construction géométrique, on lit les coordonnées de F sur le repère.

Les coordonnées de F dépendent de la position choisie (il y a deux positions possibles pour F).

4) Construction du symétrique de E par rapport à F :

Le symétrique E’ de E par rapport à F vérifie : F est le milieu du segment [EE’].

On prolonge la droite (EF) au-delà de F, à une distance EF de part et d’autre de F.

5) Coordonnées du symétrique :

Si F a pour coordonnées et E a pour coordonnées (-2 ; 3), alors le symétrique E’ a pour coordonnées :

$E'(2x_F-(-2);2y_F-3)$

Soit : $E'(2x_F+2;2y_F-3)$

Exercice 5 – coordonnées des milieux de segments.

1) Milieu du segment [AB] :

On a et .

Les coordonnées du milieu I de [AB] sont :

$Ileft(frac{-2+6}{2};frac{6+3}{2};frac{4+(-5)}{2};frac{7+9}{2}right)$

$Ileft(frac{4}{2};frac{9}{2};frac{-1}{2};frac{16}{2}right)$

Donc : $Ileft(2;frac{9}{2};-frac{1}{2};8right)$

2) Milieux des segments [AB], [BC] et [AC] :

On a $Aleft(frac{1}{3};frac{2}{5}right)$ , $Bleft(frac{4}{6};frac{1}{4}right)$ et $Cleft(sqrt{5};frac{sqrt{3}}{2}right)$ .

Milieu D de [AB] :

$Dleft(frac{frac{1}{3}+frac{4}{6}}{2};frac{frac{2}{5}+frac{1}{4}}{2}right)$

$Dleft(frac{frac{1}{3}+frac{2}{3}}{2};frac{frac{8}{20}+frac{5}{20}}{2}right)=Dleft(frac{1}{2};frac{13}{40}right)$

Milieu E de [BC] :

$Eleft(frac{frac{2}{3}+sqrt{5}}{2};frac{frac{1}{4}+frac{sqrt{3}}{2}}{2}right)$

$Eleft(frac{2+3sqrt{5}}{6};frac{1+2sqrt{3}}{8}right)$

Milieu F de [AC] :

$Fleft(frac{frac{1}{3}+sqrt{5}}{2};frac{frac{2}{5}+frac{sqrt{3}}{2}}{2}right)$

$Fleft(frac{1+3sqrt{5}}{6};frac{4+5sqrt{3}}{20}right)$

3) Intersection du segment [CD] avec sa médiatrice :

On a et .

L’intersection du segment [CD] avec sa médiatrice est le milieu de [CD] :

$Ileft(frac{34{,}582+10{,}991}{2};frac{-43{,}590+59{,}267}{2}right)$

Donc :

Exercice 6 – coordonnées du milieu et parallélogramme.

Premier exercice :

On a A(3;-2) et M(0;3) .

Si est le milieu du segment [AB] , alors :

$x_M=frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_M=frac{y_A+y_B}{2}$

Donc : $0=frac{3+x_B}{2}$ et $3=frac{-2+y_B}{2}$

On obtient : x_B=-3 et y_B=8

Réponse : B(-3;8)

Deuxième exercice :

On a et

Le point symétrique de par rapport à est le point $E'$ tel que soit le milieu de $[EE']$

$x_F=frac{x_E+x_{E'}}{2}$ donc $0=frac{-6+x_{E'}}{2}$ donc $x_{E'}=6$

$y_F=frac{y_E+y_{E'}}{2}$ donc $-4{,}6=frac{-3{,}3+y_{E'}}{2}$ donc $y_{E'}=-5{,}9$

Réponse : Le point symétrique de par rapport à a pour coordonnées

Troisième exercice :

On a $Bleft(frac{1}{5};-frac{3}{4}right)$ , $Aleft(frac{4}{5};frac{7}{3}right)$ et $Nleft(-frac{5}{6};frac{2}{3}right)$

1) Coordonnées du milieu de [BN] :

$x_{milieu}=frac{frac{1}{5}+left(-frac{5}{6}right)}{2}=frac{frac{6-25}{30}}{2}=frac{-19}{60}$

$y_{milieu}=frac{-frac{3}{4}+frac{2}{3}}{2}=frac{frac{-9+8}{12}}{2}=frac{-1}{24}$

Réponse : Le milieu de [BN] a pour coordonnées $left(-frac{19}{60};-frac{1}{24}right)$

2) Coordonnées du point C tel que BANC soit un parallélogramme :

Dans un parallélogramme BANC , les diagonales se coupent en leur milieu.

Le milieu de [BN] doit être égal au milieu de [AC] .

$-frac{19}{60}=frac{frac{4}{5}+x_C}{2}$ donc $x_C=-frac{19}{30}-frac{4}{5}=-frac{43}{30}$

$-frac{1}{24}=frac{frac{7}{3}+y_C}{2}$ donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?y_C=-frac{1}{12}-frac{7}{3}=-frac{29}{12}" alt="y_C=-frac{1}{12}-frac{7}{3}=-f

Exercice 7 – coordonnées d’un point et sommets de triangle.

Données :

• Triangle PAT avec P(-2;4) , A(0;-1) et T(5;-2)

• est le milieu du segment [AT]

• La parallèle à (TP) passant par coupe (PA) en

Étape 1 : Calculer les coordonnées de , milieu de [AT]

$Eleft(frac{x_A+x_T}{2};frac{y_A+y_T}{2}right)$

$Eleft(frac{0+5}{2};frac{-1+(-2)}{2}right)=Eleft(frac{5}{2};frac{-3}{2}right)$

Étape 2 : Déterminer le vecteur directeur de (TP)

$vec{TP}begin{pmatrix}-2-5\4-(-2)end{pmatrix}=begin{pmatrix}-7\6end{pmatrix}$

Étape 3 : Équation paramétrique de la droite passant par et parallèle à (TP)

$begin{cases}x=frac{5}{2}-7t\y=frac{-3}{2}+6tend{cases}$ où

Étape 4 : Équation paramétrique de la droite (PA)

$vec{PA}begin{pmatrix}0-(-2)\-1-4end{pmatrix}=begin{pmatrix}2\-5end{pmatrix}$

$begin{cases}x=-2+2s\y=4-5send{cases}$ où

Étape 5 : Résolution du système pour trouver

$begin{cases}frac{5}{2}-7t=-2+2s\frac{-3}{2}+6t=4-5send{cases}$

De la première équation : $frac{9}{2}=7t+2s$

De la seconde équation : $frac{11}{2}=6t+5s$

En résolvant ce système : $t=frac{1}{2}$ et $s=frac{1}{4}$

Étape 6 : Coordonnées de

$x_F=-2+2times frac{1}{4}=-frac{3}{2}$

$y_F=4-5times frac{1}{4}=frac{11}{4}$

Réponse : $Fleft(-frac{3}{2};frac{11}{4}right)$

Exercice 8 – placer les symétriques et coordonnées.

1) Coordonnées des points :

En lisant les coordonnées sur le graphique :

• Point A : A(0;-2)

• Point B : B(0;2)

• Point C : C(-3;0)

• Point D : D(3;0)

2) Symétrique de B par rapport à J :

Le point J se trouve en J(0;1) .

Pour le symétrique E de B par rapport à J :

J est le milieu de [BE], donc $frac{x_B+x_E}{2}=x_J$ et $frac{y_B+y_E}{2}=y_J$

$frac{0+x_E}{2}=0$ donc x_E=0

$frac{2+y_E}{2}=1$ donc 2+y_E=2 donc y_E=0

Donc E(0;0)

3) Milieux des segments :

Milieu F de [AB] :

$Fleft(frac{0+0}{2};frac{-2+2}{2}right)=F(0;0)$

Milieu G de [AC] :

$Gleft(frac{0+(-3)}{2};frac{-2+0}{2}right)=G(-1{,}5;-1)$

4) Calcul des distances :

Distance AC :

$AC=sqrt{(0-(-3))^2+(-2-0)^2}=sqrt{9+4}=sqrt{13}$

Distance CE :

$CE=sqrt{(-3-0)^2+(0-0)^2}=sqrt{9}=3$

Distance AE :

$AE=sqrt{(0-0)^2+(-2-0)^2}=sqrt{4}=2$

5) Nature du triangle ACE :

Vérifions si le triangle est rectangle en appliquant le théorème de Pythagore :

$AC^2=(sqrt{13})^2=13$

Comme , le triangle ACE est rectangle en E.

Exercice 9 – périmètre d’un triangle et coordonnées.

1) Calcul du périmètre du triangle ABC :

On a : $Aleft(-frac{5}{3};-frac{1}{6}right)$ ; $Bleft(2;frac{1}{3}right)$ ; $Cleft(frac{2}{3};frac{1}{2}right)$

Calcul de AB :

$AB=sqrt{left(2-left(-frac{5}{3}right)right)^2+left(frac{1}{3}-left(-frac{1}{6}right)right)^2}$

$AB=sqrt{left(frac{11}{3}right)^2+left(frac{1}{2}right)^2}=sqrt{frac{121}{9}+frac{1}{4}}=sqrt{frac{484+9}{36}}=sqrt{frac{493}{36}}=frac{sqrt{493}}{6}$

Calcul de AC :

$AC=sqrt{left(frac{2}{3}-left(-frac{5}{3}right)right)^2+left(frac{1}{2}-left(-frac{1}{6}right)right)^2}$

$AC=sqrt{left(frac{7}{3}right)^2+left(frac{2}{3}right)^2}=sqrt{frac{49}{9}+frac{4}{9}}=sqrt{frac{53}{9}}=frac{sqrt{53}}{3}$

Calcul de BC :

$BC=sqrt{left(frac{2}{3}-2right)^2+left(frac{1}{2}-frac{1}{3}right)^2}$

$BC=sqrt{left(-frac{4}{3}right)^2+left(frac{1}{6}right)^2}=sqrt{frac{16}{9}+frac{1}{36}}=sqrt{frac{64+1}{36}}=sqrt{frac{65}{36}}=frac{sqrt{65}}{6}$

Périmètre de ABC : $P=frac{sqrt{493}}{6}+frac{sqrt{53}}{3}+frac{sqrt{65}}{6}=frac{sqrt{493}+2sqrt{53}+sqrt{65}}{6}$

2) Coordonnées des milieux :

$A'text{ milieu de }[BC]:quad A'left(frac{2+frac{2}{3}}{2};frac{frac{1}{3}+frac{1}{2}}{2}right)=A'left(frac{4}{3};frac{5}{12}right)$

$B'text{ milieu de }[AC]:quad B'left(frac{-frac{5}{3}+frac{2}{3}}{2};frac{-frac{1}{6}+frac{1}{2}}{2}right)=B'left(-frac{1}{2};frac{1}{6}right)$

$C'text{ milieu de }[AB]:quad C'left(frac{-frac{5}{3}+2}{2};frac{-frac{1}{6}+frac{1}{3}}{2}right)=C'left(frac{1}{6};frac{1}{12}right)$

3) Périmètre du triangle A’B’C’ :

D’après le théorème des milieux, le triangle A’B’C’ a un périmètre égal à la moitié du périmètre du triangle ABC.

Périmètre de A’B’C’ : $P_{A'B'C'}=frac{1}{2}times P_{ABC}=frac{sqrt{493}+2sqrt{53}+sqrt{65}}{12}$

Exercice 10 – patron d’une pyramide et coordonnées.

Pour déterminer les coordonnées des points E₁, E₂, E₃ et E₄, je vais utiliser le repère orthonormé (A ; B, D) où A est l’origine.

Étape 1 : Identification du repère

Dans le repère (A ; B, D) :

• A est à l’origine : A(0 ; 0)

• B est sur l’axe des abscisses : B(1 ; 0)

• D est sur l’axe des ordonnées : D(0 ; 1)

• C est au sommet opposé du carré : C(1 ; 1)

Étape 2 : Analyse du patron

Le patron montre que chaque face triangulaire de la pyramide est rabattue autour du carré de base ABCD. Les points E₁, E₂, E₃ et E₄ correspondent au sommet E de la pyramide dans chaque face rabattue.

Étape 3 : Coordonnées des points

En observant le patron :

• E₁ est le rabattement de E autour de l’arête AD :

E₁(-1 ; $frac{1}{2}$ )

• E₂ est le rabattement de E autour de l’arête AB :

E₂( $frac{1}{2}$ ; -1)

• E₃ est le rabattement de E autour de l’arête CD :

E₃( $frac{1}{2}$ ; 2)

• E₄ est le rabattement de E autour de l’arête BC :

E₄(2 ; $frac{1}{2}$ )

Réponse :

E₁(-1 ; 0,5) ; E₂(0,5 ; -1) ; E₃(0,5 ; 2) ; E₄(2 ; 0,5)

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