Segments, droites et constructions : corrigé des exercices de maths en 6ème en PDF

a. Placer quatre points comme ci-dessous :

On place les quatre points M, N, S et T selon la figure donnée.

b. Tracer les segments [MT] et [SN]. Se coupent-ils ?

On trace le segment [MT] qui relie le point M au point T.

On trace le segment [SN] qui relie le point S au point N.

En observant la figure, les segments [MT] et [SN] se coupent.

Le point d’intersection est noté P.

c. Tracer les droites (MN) et (ST). Se coupent-elles ?

On trace la droite (MN) qui passe par les points M et N.

On trace la droite (ST) qui passe par les points S et T.

En observant la figure, les droites (MN) et (ST) se coupent.

Le point d’intersection est noté R.

Exercice 2 – placer un point.

Étape 1 : Je reproduis la figure avec les points M, A, R et E placés sur la grille.

Étape 2 : Je trace la droite (AM) qui passe par les points A et M.

Étape 3 : Je trace la demi-droite [ER) qui commence au point E et passe par le point R, puis se prolonge dans cette direction.

Étape 4 : Le point D se trouve à l’intersection de la droite (AM) et de la demi-droite [ER).

Réponse : Le point D est situé à l’intersection de ces deux objets géométriques. En observant la grille, le point D se trouve à 2 carreaux à droite du point A et 1 carreau au-dessus du point A.

Exercice 3 – tracés de droites.

1. Tracer la droite (d) qui passe par le point C :

La droite (d) est déjà tracée sur la figure. Elle passe bien par le point C comme demandé.

2. Tracer la perpendiculaire à la droite (d) qui passe :

a. par A :

On trace une droite qui passe par le point A et qui forme un angle droit avec la droite (d). Cette perpendiculaire coupe la droite (d) en formant un angle de 90°.

b. par B :

On trace une droite qui passe par le point B et qui forme un angle droit avec la droite (d). Cette perpendiculaire coupe la droite (d) en formant un angle de 90°.

c. par C :

On trace une droite qui passe par le point C et qui forme un angle droit avec la droite (d). Puisque C est déjà sur la droite (d), la perpendiculaire passe par C et forme un angle de 90° avec (d) en ce point.

Remarque : Pour tracer ces perpendiculaires, on utilise une équerre en plaçant un côté de l’angle droit le long de la droite (d) et en traçant le long de l’autre côté qui passe par le point donné.

Exercice 4 – tracer des droites.

a. Construction des droites perpendiculaires aux droites et et passant par le point S :

• Pour tracer la perpendiculaire à passant par S :

– Placer l’équerre de façon à ce qu’un côté de l’angle droit soit aligné avec la droite

– Faire glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit passe par le point S

– Tracer la droite perpendiculaire

• Pour tracer la perpendiculaire à passant par S :

– Procéder de la même manière en alignant l’équerre avec la droite et en faisant passer l’autre côté par le point S

b. Construction des droites perpendiculaires aux droites et et passant par le point T :

• Pour tracer la perpendiculaire à passant par T :

– Aligner un côté de l’angle droit de l’équerre avec la droite

– Déplacer l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté passe par le point T

– Tracer la droite perpendiculaire

• Pour tracer la perpendiculaire à passant par T :

– Répéter la même construction en utilisant la droite comme référence

Remarque : On obtient ainsi 4 droites perpendiculaires au total : 2 passant par S et 2 passant par T.

Exercice 5 – affirmations vraies ou fausses.

a. Les points A, O, D sont alignés.

FAUX. D’après la figure, le point O n’est pas sur la droite passant par A et D. Les trois points ne sont pas alignés.

b. O ∈ [AB].

VRAI. Le point O est situé entre les points A et B sur le segment [AB].

c. O ∈ [DC].

FAUX. Le point O n’appartient pas au segment [DC]. Il est situé sur la droite (CD) mais pas entre les points D et C.

d. Les segments [AB] et [CD] n’ont pas de point commun.

FAUX. Les segments [AB] et [CD] ont un point commun : le point O.

e. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en O.

VRAI. Les deux droites (AB) et (CD) se coupent au point O, elles sont donc sécantes en O.

Exercice 6 – nommer des droites.

a. Pour nommer la droite (d), on peut utiliser trois façons :

• En utilisant deux points de la droite : (AB) ou (BA)

• En utilisant deux autres points de la droite : (AD) ou (DA)

• En utilisant encore deux autres points : (BD) ou (DB)

b. Pour nommer la droite (d’), on peut utiliser trois façons :

• En utilisant deux points de la droite : (BC) ou (CB)

• En utilisant deux autres points de la droite : (BE) ou (EB)

• En utilisant encore deux autres points : (CE) ou (EC)

Remarque : Une droite peut être nommée en utilisant n’importe quels deux points distincts qui lui appartiennent, dans n’importe quel ordre.

Exercice 7 – qui a raison ?

Analyse de la figure 1 :

Les droites et se coupent et forment un angle droit (90°). Elles sont donc perpendiculaires.

Analyse de la figure 2 :

Les droites et se coupent mais l’angle formé n’est pas un angle droit. Le petit carré rouge indique seulement le point d’intersection, pas un angle droit. Les droites ne sont donc pas perpendiculaires.

Conclusion :

Zoé a raison pour la figure 1 : les droites sont perpendiculaires.

Arthur a raison pour la figure 2 : les droites ne sont pas perpendiculaires.

Chacun a donc raison pour la figure qu’il analyse, mais ils ne parlent pas de la même figure.

Exercice 8 – la médiatrice d’un segment.

a. Sur quelle figure la médiatrice (d) du segment [AB] est-elle correctement tracée ?

Réponse : Figure 2

Justification : La médiatrice d’un segment est la droite qui :

• passe par le milieu du segment

• est perpendiculaire au segment

Sur la figure 2, on observe que :

• la droite (d) coupe le segment [AB] en son milieu (marqué par les petits traits)

• la droite (d) forme un angle droit avec le segment [AB] (marqué par le petit carré)

b. Quelles sont les erreurs sur les autres figures ?

Figure 1 : La droite (d) est bien perpendiculaire au segment [AB] mais elle ne passe pas par le milieu du segment. Elle coupe le segment mais pas en son centre.

Figure 3 : La droite (d) passe bien par le milieu du segment [AB] (car cm donc le milieu est à 1 cm de chaque extrémité), mais elle n’est pas perpendiculaire au segment [AB]. La droite est parallèle au segment au lieu d’être perpendiculaire.

Exercice 9 – notations mathématiques.

1. Placement des six points :

Les six points A, B, C, D, E et F sont déjà placés sur la figure.

2. Complétons la figure avec les notations mathématiques :

a. Le segment d’extrémités les points A et B :

On note :

Il faut tracer le segment qui relie directement le point A au point B.

b. La droite passant par les points C et D :

On note :

Il faut tracer la droite qui passe par C et D et la prolonger dans les deux directions.

c. La demi-droite d’origine B passant par E :

On note :

Il faut tracer la demi-droite qui commence au point B et passe par E, puis se prolonge au-delà de E.

d. Un point I appartenant à la droite qui passe par les points E et F :

Il faut d’abord tracer la droite puis placer un point I sur cette droite.

On note :

Exercice 10 – appartient ou n’appartient pas.

D’après la figure, les points sont placés dans l’ordre : A, M, N, P, B sur la droite.

a. M [AB]

M est situé entre A et B, donc M appartient au segment [AB].

b. P [MN]

P est situé après N, donc P n’appartient pas au segment [MN]. P est à l’extérieur de [MN].

c. B (AN)

B est situé après N sur la droite (AN), donc B n’appartient pas à la demi-droite [AN).

d. N (BP)

N est situé avant P sur la demi-droite d’origine B passant par P, donc N appartient à la demi-droite [BP).

e. M [AN]

M est situé entre A et N, donc M appartient au segment [AN].

f. A [PM]

A est situé avant M, donc A n’appartient pas au segment [PM] qui va de P à M.