Bissectrice d’un angle : corrigé des exercices de maths en 6ème en PDF

Rappel : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Construction de la bissectrice (méthode au compas et à la règle) :

Étape 1 : Placer la pointe du compas sur le sommet de l’angle et tracer un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l’angle.

Étape 2 : Placer la pointe du compas sur chacun des deux points d’intersection obtenus et tracer deux arcs de cercle de même rayon qui se coupent à l’intérieur de l’angle.

Étape 3 : Tracer la demi-droite qui passe par le sommet de l’angle et le point d’intersection des deux arcs. Cette demi-droite est la bissectrice de l’angle.

Application aux trois angles :

• Premier angle : L’angle de sera partagé en deux angles de chacun.

• Deuxième angle : L’angle de sera partagé en deux angles de chacun.

• Troisième angle : L’angle de sera partagé en deux angles de chacun.

Remarque : La construction est identique pour les trois angles, seule la mesure de l’angle change.

Exercice 2 – construction des bissectrices d’un triangle.

Données : Triangle ABC avec AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 7 cm.

Construction des bissectrices :

1) Construction du triangle ABC :

• Tracer le segment [BC] de 7 cm

• Placer le point A à l’intersection des cercles de centre B et rayon 6 cm, et de centre C et rayon 4 cm

2) Construction de la bissectrice de l’angle :

• Tracer un arc de cercle de centre A qui coupe [AB] en M et [AC] en N

• Tracer deux arcs de cercle de même rayon, de centres M et N, qui se coupent en P

• La droite (AP) est la bissectrice de l’angle

3) Construction de la bissectrice de l’angle :

• Tracer un arc de cercle de centre B qui coupe [BA] en R et [BC] en S

• Tracer deux arcs de cercle de même rayon, de centres R et S, qui se coupent en T

• La droite (BT) est la bissectrice de l’angle

4) Construction de la bissectrice de l’angle :

• Tracer un arc de cercle de centre C qui coupe [CB] en U et [CA] en V

• Tracer deux arcs de cercle de même rayon, de centres U et V, qui se coupent en W

• La droite (CW) est la bissectrice de l’angle

Propriété : Les trois bissectrices se coupent en un point I appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.

Exercice 3 – tracer un angle et construire la bissectrice.

a. Tracer un angle de 40°

• Tracer une demi-droite [OA)

• Placer le centre du rapporteur sur le point O et le 0° sur la demi-droite [OA)

• Marquer un point à 40° et tracer la demi-droite [OB)

• L’angle mesure 40°

Construction de la bissectrice :

• Tracer un arc de cercle de centre O qui coupe [OA) en M et [OB) en N

• Tracer deux arcs de cercle de même rayon, de centres M et N, qui se coupent en P

• Tracer la demi-droite [OP) : c’est la bissectrice de l’angle

b. Tracer un angle de 100°

• Même méthode en marquant 100° sur le rapporteur

• Construire la bissectrice avec la même technique au compas

c. Tracer un angle de 170°

• Même méthode en marquant 170° sur le rapporteur

• Construire la bissectrice avec la même technique au compas

Exercice 4 – construction d’un triangle et des bissectrices.

Construction du triangle EFG :

1) Tracer un segment [EF] de longueur quelconque (par exemple 6 cm).

2) Placer le point G à une distance convenable des points E et F pour former un triangle.

3) Tracer les côtés [EG] et [FG] pour compléter le triangle EFG.

Construction des bissectrices :

Bissectrice de l’angle :

1) Placer la pointe du compas en F et tracer un arc de cercle qui coupe [FE] en un point A et [FG] en un point B.

2) Placer la pointe du compas en A, puis en B, avec le même écartement, tracer deux arcs qui se coupent à l’intérieur du triangle en un point C.

3) Tracer la demi-droite [FC). C’est la bissectrice de l’angle .

Bissectrice de l’angle :

1) Placer la pointe du compas en E et tracer un arc de cercle qui coupe [EF] en un point D et [EG] en un point H.

2) Placer la pointe du compas en D, puis en H, avec le même écartement, tracer deux arcs qui se coupent à l’intérieur du triangle en un point I.

3) Tracer la demi-droite [EI). C’est la bissectrice de l’angle .

Bissectrice de l’angle :

1) Placer la pointe du compas en G et tracer un arc de cercle qui coupe [GE] en un point J et [GF] en un point K.

2) Placer la pointe du compas en J, puis en K, avec le même écartement, tracer deux arcs qui se coupent à l’intérieur du triangle en un point L.

3) Tracer la demi-droite [GL). C’est la bissectrice de l’angle .

Remarque : Les trois bissectrices se coupent en un point unique appelé le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Exercice 5 – angles et bissectrices.

1. Construction de l’angle et de sa bissectrice :

• Je trace un angle de 80°

• Je construis la bissectrice (d) de cet angle avec la règle et le compas :

– Je trace un arc de cercle centré en O qui coupe [OI) en A et [OJ) en B

– Je trace deux arcs de cercle de même rayon centrés en A et B qui se coupent en un point C

– La droite (OC) est la bissectrice (d) de l’angle

2. Mesure des angles :

• K est le point d’intersection de la droite (d) et du segment [IJ]

• Je mesure avec le rapporteur :

–

–

3. Le résultat était-il prévisible ?

Oui, le résultat était prévisible car :

• La bissectrice d’un angle partage cet angle en deux angles de même mesure

• Donc :

Exercice 6 – construire la bissectrice d’un angle donné.

a. Angle de 20°

1) Je trace un angle de 20° avec le rapporteur

2) Je place la pointe du compas sur le sommet de l’angle

3) Je trace un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l’angle

4) Je place la pointe du compas sur chaque point d’intersection et je trace deux arcs de cercle de même rayon qui se coupent à l’intérieur de l’angle

5) Je trace la droite qui passe par le sommet et le point d’intersection des deux arcs

Cette droite est la bissectrice de l’angle de 20°. Elle forme deux angles de

b. Angle de 70°

Même construction que précédemment.

La bissectrice forme deux angles de

c. Angle de 90°

Même construction que précédemment.

La bissectrice forme deux angles de

d. Angle de 150°

Même construction que précédemment.

La bissectrice forme deux angles de

Propriété : La bissectrice d’un angle partage cet angle en deux angles de même mesure.