Polygones et constructions : corrigé des exercices de maths en 6ème en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les polygones et constructions représentent un chapitre fondamental du programme de mathématiques en 6ème, permettant aux élèves de développer leur vision spatiale et leurs compétences géométriques. Cette série d’exercices corrigés sur les polygones aborde la reconnaissance des figures géométriques, l’utilisation des instruments de géométrie et les techniques de construction géométrique au compas et à la règle. Maîtriser ces notions est essentiel pour progresser en géométrie et acquérir les bases nécessaires aux apprentissages du collège. Ces corrections détaillées accompagnent les élèves de 6ème dans leur apprentissage des propriétés des polygones et des méthodes de construction rigoureuses.

Exercice 1 – recopier et compléter.

a. Dans le triangle GFH, [GH] est le côté opposé au sommet F.

b. Dans le triangle DHE, H est le sommet opposé au côté [DE].

c. Dans le triangle FEH, [FE] est le côté opposé au sommet H.

d. Dans le triangle GDF, E est le sommet opposé au côté [GD].

Exercice 2 – reproduire les figures.

Figure a : Triangle VER

Pour reproduire cette figure, je trace un triangle VER avec :

• VR = 3 cm (base)

• VE = 2,5 cm

• ER = 4 cm

Méthode de construction :

1) Je trace le segment [VR] de 3 cm

2) Avec le compas, je trace un arc de cercle de centre V et de rayon 2,5 cm

3) Je trace un arc de cercle de centre R et de rayon 4 cm

4) Les deux arcs se coupent en E

5) Je relie V à E et R à E

Figure b : Pentagone ERGOU

Pour reproduire cette figure, je trace un pentagone ERGOU avec :

• EG = 6,2 cm

• GU = 4 cm

• Les autres côtés selon les mesures indiquées

Méthode de construction :

1) Je trace le segment [EG] de 6,2 cm

2) Je place successivement les autres sommets en utilisant le compas avec les longueurs données

3) Je relie tous les sommets dans l’ordre E, R, G, O, U pour former le pentagone

Exercice 3 – construction de triangles.

Triangle ABC :

On a AB = 3,5 cm, BC = 4 cm et AC = 2 cm.

Vérifions l’inégalité triangulaire :

• AB + AC = 3,5 + 2 = 5,5 cm > 4 cm = BC ✓

• AB + BC = 3,5 + 4 = 7,5 cm > 2 cm = AC ✓

• AC + BC = 2 + 4 = 6 cm > 3,5 cm = AB ✓

Le triangle ABC peut être construit.

Triangle DEF :

On a DE = 4,2 cm, EF = 4 cm et DF = 1,8 cm.

Vérifions l’inégalité triangulaire :

• DE + EF = 4,2 + 4 = 8,2 cm > 1,8 cm = DF ✓

• DE + DF = 4,2 + 1,8 = 6 cm > 4 cm = EF ✓

• EF + DF = 4 + 1,8 = 5,8 cm > 4,2 cm = DE ✓

Le triangle DEF peut être construit.

Triangle GHI :

On a GH = 6,5 cm, HI = 3,7 cm et GI = 2,8 cm.

Vérifions l’inégalité triangulaire :

• GH = 6,5 cm et HI + GI = 3,7 + 2,8 = 6,5 cm

On a GH = HI + GI, ce qui ne respecte pas l’inégalité triangulaire stricte.

Le triangle GHI ne peut pas être construit car les trois points seraient alignés.

Conclusion : Seuls les triangles ABC et DEF peuvent être construits en vraie grandeur.

Exercice 4 – reproduire chaque figure.

a. Construction du triangle STW avec S, T et W alignés :

Étape 1 : Tracer un segment [SW] de longueur quelconque (par exemple 8 cm).

Étape 2 : Placer le point T sur le segment [SW] tel que ST = 4,5 cm.

Étape 3 : À l’aide d’un compas, tracer un arc de cercle de centre S et de rayon 4,5 cm.

Étape 4 : Tracer un arc de cercle de centre T et de rayon 3,8 cm.

Étape 5 : Les deux arcs se coupent en un point U. Relier S à U et T à U.

Vérification : SU = ST = 4,5 cm et TU = 3,8 cm, avec S, T et W alignés.

b. Construction de la figure complexe :

Étape 1 : Construire le rectangle ABDE avec AE = 2 cm et ED = 5 cm.

Étape 2 : Construire le triangle équilatéral BDE de côté 5 cm (D et E sont déjà placés, il suffit de vérifier que BD = BE = DE = 5 cm).

Étape 3 : Construire le triangle isocèle CDE avec CD = CE et DE = 5 cm comme base.

Remarque : Pour le triangle équilatéral BDE, utiliser un compas de rayon 5 cm centré successivement en D puis E pour placer B. Pour le triangle isocèle CDE, choisir une longueur pour CD = CE (par exemple 4 cm) et utiliser le compas pour placer C.

Exercice 5 – donner le nom des quadrilatères.

Quadrilatère ABCD : Carré (quatre côtés égaux et quatre angles droits)

Quadrilatère EFGH : Parallélogramme (côtés opposés parallèles)

Quadrilatère JKLM : Losange (quatre côtés égaux)

Quadrilatère MNOP : Parallélogramme (côtés opposés parallèles)

Quadrilatère QRST : Rectangle (quatre angles droits et côtés opposés égaux)

Exercice 6 – les lunules d’Hippocrate.

Données :

Triangle ABC rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm.

BC est l’hypoténuse, donc BC = $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm.

Calcul des aires des demi-cercles :

• Demi-cercle de diamètre AB (rayon = 3 cm) :

Aire = $\frac{1}{2}\times \pi\times 3^2=\frac{9\pi}{2}$ cm²

• Demi-cercle de diamètre AC (rayon = 4 cm) :

Aire = $\frac{1}{2}\times \pi\times 4^2=\frac{16\pi}{2}=8\pi$ cm²

• Demi-cercle de diamètre BC (rayon = 5 cm) :

Aire = $\frac{1}{2}\times \pi\times 5^2=\frac{25\pi}{2}$ cm²

Calcul de l’aire du triangle ABC :

Aire = $\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$ cm²

Aire des lunules :

Aire des lunules = (Aire demi-cercle AB) + (Aire demi-cercle AC) – (Aire demi-cercle BC) + (Aire triangle ABC)

Aire des lunules = $\frac{9\pi}{2}+8\pi-\frac{25\pi}{2}+24$

= $\frac{9\pi+16\pi-25\pi}{2}+24=\frac{0\pi}{2}+24=24$ cm²

Réponse : L’aire des lunules d’Hippocrate est égale à 24 cm², soit exactement l’aire du triangle ABC rectangle.

Exercice 7 – des quadrilatères.

a. Nature de chaque quadrilatère :

Quadrilatère ABCD : C’est un losange car ses quatre côtés sont égaux (3 cm chacun) et ses diagonales se coupent à angle droit (marquées par des petites croix).

Quadrilatère EFGH : C’est un rectangle car il a quatre angles droits (marqués par de petits carrés) et ses côtés opposés sont égaux (EF = HG = 5 cm et EH = FG = 3 cm).

Quadrilatère JKLM : C’est un parallélogramme car ses côtés opposés sont parallèles (indiqués par les flèches) et égaux (JK = ML = 7 cm).

Quadrilatère PQRS : C’est un carré car il a quatre angles droits, quatre côtés égaux et ses diagonales sont égales, perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

b. Construction en vraie grandeur :

Losange ABCD :

1. Tracer un segment AB de 3 cm

2. À l’aide du compas, tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 3 cm

3. Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 3 cm

4. Ces deux arcs se coupent en D

5. Recommencer de l’autre côté pour obtenir C

6. Relier tous les points

Rectangle EFGH :

1. Tracer un segment EH de 3 cm

2. Tracer la perpendiculaire à EH passant par E

3. Reporter 5 cm sur cette perpendiculaire pour obtenir F

4. Tracer la parallèle à EH passant par F

5. Tracer la perpendiculaire à EH passant par H pour obtenir G

Carré PQRS :

1. Tracer un segment PS de 4 cm

2. Tracer la perpendiculaire à PS passant par P

3. Reporter 4 cm sur cette perpendiculaire pour obtenir Q

4. Compléter le carré en reportant les longueurs

Exercice 8 – construction de triangle et parallèles

a. Construction du triangle ABC

On trace un triangle ABC quelconque avec trois sommets A, B et C non alignés.

b. Construction des droites parallèles

• Par le point A, on trace la droite (d) parallèle à la droite (BC).

• Par le point B, on trace la droite (d’) parallèle à la droite (AC). Cette droite (d’) coupe la droite (d) au point E.

• Par le point C, on trace la droite (d ») parallèle à la droite (AB). Cette droite (d ») coupe la droite (d) au point F et la droite (d’) au point G.

c. Construction des droites (EC), (BF) et (AG)

On trace les trois droites demandées reliant :

• E à C

• B à F

• A à G

Observation

On remarque que :

• Le quadrilatère ABCE est un parallélogramme car (AE) // (BC) et (BE) // (AC)

• Le quadrilatère ABFC est un parallélogramme car (AF) // (BC) et (BF) // (AC)

• Le quadrilatère ACGB est un parallélogramme car (AG) // (BC) et (CG) // (AB)

• Les trois droites (EC), (BF) et (AG) se coupent en un même point, ce qui illustre un théorème de géométrie.

Exercice 9 – donner la nature d’un triangle

a. Triangle ABC tel que $(AC) \perp (BC)$

Les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires, donc l’angle $\widehat{ACB} = 90°$ .

Le triangle ABC est rectangle en C.

b. Triangle MNP tel que MN=NP et $(MN) \perp (NP)$

• MN = NP : le triangle MNP est isocèle en N

• $(MN) \perp (NP)$ : l’angle $\widehat{MNP} = 90°$

Le triangle MNP est isocèle rectangle en N.

c. Triangle EFG isocèle en chacun de ses sommets

• Isocèle en E : FG est la base, donc EF = EG

• Isocèle en F : EG est la base, donc FE = FG

• Isocèle en G : EF est la base, donc GE = GF

On a donc : EF = EG = FG

Le triangle EFG est équilatéral.

Exercice 10 – construction de triangles.

1. Triangle ABC isocèle en A avec AB = 5 cm et BC = 4 cm :

Puisque le triangle est isocèle en A, on a AC = AB = 5 cm.

Construction : Tracer le segment [BC] de 4 cm, puis tracer deux arcs de cercle de rayon 5 cm centrés en B et C. Le point A est à l’intersection de ces deux arcs.

2. Triangle DEF isocèle en E avec EF = 6 cm et $\widehat{DEF} = 130°$ :

Puisque le triangle est isocèle en E, on a ED = EF = 6 cm.

Construction : Tracer la demi-droite [Ex), puis placer le point F sur cette demi-droite à 6 cm de E. Tracer ensuite la demi-droite [Ey) formant un angle de 130° avec [EF]. Placer le point D sur [Ey) à 6 cm de E.

3. Triangle GHI équilatéral de côté 4 cm :

Dans un triangle équilatéral, tous les côtés sont égaux : GH = HI = GI = 4 cm.

Construction : Tracer le segment [GH] de 4 cm, puis tracer deux arcs de cercle de rayon 4 cm centrés en G et H. Le point I est à l’intersection de ces deux arcs.

4. Triangle JKL rectangle en L avec JL = 5 cm et KL = 6 cm :

Le triangle est rectangle en L, donc $\widehat{JLK} = 90°$ .

Construction : Tracer le segment [LJ] de 5 cm, puis tracer la perpendiculaire à [LJ] passant par L. Placer le point K sur cette perpendiculaire à 6 cm de L.

5. Triangle PQR rectangle isocèle en Q avec QR = 4 cm :

Le triangle est rectangle isocèle en Q, donc $\widehat{PQR} = 90°$ et QP = QR = 4 cm.

Construction : Tracer le segment [QR] de 4 cm, puis tracer la perpendiculaire à [QR] passant par Q. Placer le point P sur cette perpendiculaire à 4 cm de Q.

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