Droites et plans de l’espace : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Position des points :

Dans le cube ABCDEFGH :

• I est le milieu de l’arête [AB]

• J est le milieu de l’arête [EF]

• K est le milieu de l’arête [FG]

Position relative des droites (EF) et (HK) :

Pour déterminer la position relative de ces droites, nous devons étudier si elles sont parallèles, sécantes ou non coplanaires.

Étude de la droite (EF) :

La droite (EF) est une arête du cube, elle est horizontale et parallèle à (AB) et (DC).

Étude de la droite (HK) :

• H est un sommet du cube

• K est le milieu de [FG]

La droite (HK) n’est ni horizontale, ni verticale, ni parallèle aux arêtes du cube.

Vérification du parallélisme :

Les droites (EF) et (HK) ne sont pas parallèles car leurs directions sont différentes :

• (EF) a la même direction que les arêtes horizontales du cube

• (HK) a une direction oblique

Vérification de l’intersection :

• La droite (EF) est contenue dans la face EFGH

• La droite (HK) passe par H (sommet de cette même face) et K (point de l’arête [FG] de cette face)

• Donc (HK) est aussi contenue dans la face EFGH

Les deux droites sont coplanaires (dans le plan de la face EFGH) et ne sont pas parallèles.

Conclusion :

Les droites (EF) et (HK) sont sécantes.

Exercice 2 – déterminer et construire la section d’un cube.

Première partie :

Dans le cube ABCDEFGH, nous avons :
– I est le milieu de [EH]
– J est le milieu de [BC]
– K est un point du segment [GH] tel que

Pour déterminer la section du cube par le plan (IJK) :

1) Points déjà connus : I, J et K appartiennent à la section.

2) Intersection avec l’arête [EF] :
Le plan (IJK) coupe la face EFGH. Comme I ∈ [EH] et K ∈ [GH], la section coupe [EF] en un point L tel que (IL) soit parallèle à (HK).
Puisque I est le milieu de [EH], on obtient L milieu de [EF].

3) Intersection avec l’arête [AD] :
Le plan coupe la face ABCD. En prolongeant les intersections, on trouve un point M sur [AD] tel que (JM) soit dans le plan de la section.

4) Autres intersections :
En continuant cette méthode, on trouve les points d’intersection avec toutes les arêtes du cube.

La section est un pentagone.

Deuxième partie :

Avec les nouvelles données :
–
–
–

Pour déterminer la section par le plan (IJK) :

1) On place les points I, J, K selon les rapports donnés.

2) On trace les intersections du plan avec chaque face du cube en utilisant le fait que l’intersection d’un plan avec une face est une droite.

3) On détermine les points d’intersection avec les arêtes en utilisant les propriétés de parallélisme et les rapports.

La section obtenue est un hexagone.

Construction : On trace successivement les segments reliant les points d’intersection trouvés sur les arêtes du cube, en respectant l’ordre de parcours des faces.

Exercice 3 – construire la section de la pyramide.

1) Construction de la figure avec les points I et J :

Pour placer les points I et J, milieux respectifs des segments [SD] et [AB] :

• Le point I est situé au milieu du segment [SD], donc à égale distance de S et D

• Le point J est situé au milieu du segment [AB], donc à égale distance de A et B

2) Construction en justifiant la section de la pyramide par le plan (CIJ) :

Pour construire la section de la pyramide SABCD par le plan (CIJ), nous devons déterminer les intersections de ce plan avec les faces de la pyramide.

Points déjà connus dans le plan : C, I et J

Intersection avec la face SAB :

Le plan (CIJ) contient J (milieu de [AB]). Il faut trouver l’intersection avec les arêtes [SA] et [SB].

En utilisant le fait que I est milieu de [SD], par les propriétés des sections planes dans les pyramides, les points d’intersection avec [SA] et [SB] sont respectivement les milieux de ces segments.

Soit K le milieu de [SA] et L le milieu de [SB].

Intersection avec la face SBC :

Le plan contient déjà C et L (milieu de [SB]).

L’intersection est le segment [CL].

Intersection avec la face SCD :

Le plan contient déjà C et I (milieu de [SD]).

L’intersection est le segment [CI].

Intersection avec la face SAD :

Le plan coupe cette face selon le segment [KI] (K milieu de [SA], I milieu de [SD]).

La section est donc le quadrilatère KJCL où :

• K est le milieu de [SA]

• J est le milieu de [AB]

• C est un sommet de la base

• L est le milieu de [SB]

Justification : Cette construction utilise le théorème de la droite des milieux dans les triangles et les propriétés des sections planes des pyramides.

Exercice 4 – quelle est la nature de cette section ?

1) Reproduction de la figure :

La figure montre un tétraèdre régulier ABCD avec I et J les milieux respectifs des segments [BC], [AB] et [AD]. Le plan (IJK) coupe le tétraèdre.

2) Construction et justification de la section du tétraèdre par le plan (IJK) :

Pour construire la section, nous devons trouver les intersections du plan (IJK) avec les faces du tétraèdre :

• Dans la face ABC : le plan coupe selon le segment [IJ] (car I ∈ [BC] et J ∈ [AB])

• Dans la face ACD : le plan coupe selon le segment [JK] (car J ∈ [AD] et K ∈ [CD])

• Dans la face BCD : nous devons trouver l’intersection. Le plan contient I ∈ [BC]. Pour trouver le deuxième point d’intersection avec cette face, nous prolongeons les segments déjà trouvés.

• Le segment [IK] relie directement I (milieu de [BC]) à K (milieu de [CD])

La section du tétraèdre par le plan (IJK) est donc le triangle IJK.

3) Nature de cette section :

La section est un triangle équilatéral.

Justification :

Dans un tétraèdre régulier, toutes les arêtes ont la même longueur. Soit a cette longueur commune.

• I est le milieu de [BC] donc

• J est le milieu de [AB] donc

• K est le milieu de [CD] donc

Par les propriétés du tétraèdre régulier et le théorème de la droite des milieux dans chaque face :

• (segment joignant les milieux de deux côtés du triangle équilatéral ABC)

• (segment joignant les milieux dans le triangle équilatéral ACD)

• (segment joignant les milieux dans le triangle équilatéral BCD)

Donc IJ = JK = IK = , ce qui prouve que le triangle IJK est équilatéral.

Exercice 5 – citer des droites orthogonales.

1) Six droites orthogonales à la droite (EA) :

Dans un cube, une arête est orthogonale aux arêtes qui lui sont perpendiculaires.

Les droites orthogonales à (EA) sont : (AB), (AD), (EF), (EH), (BC), (HG)

2) Six droites orthogonales à la droite (EB) :

Les droites orthogonales à (EB) sont : (EA), (EF), (EH), (AB), (BC), (BF)

3) Deux droites orthogonales au plan (BCG) :

Le plan (BCG) est une face diagonale du cube. Les droites orthogonales à ce plan sont :

(AE) et (DF)

4) Deux droites orthogonales au plan (AFG) :

Le plan (AFG) est une face diagonale du cube. Les droites orthogonales à ce plan sont :

(BH) et (CE)

Démonstration que (AB) est orthogonale au plan (BCG) :

Pour démontrer qu’une droite est orthogonale à un plan, il faut montrer qu’elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Dans le plan (BCG) :

• (AB) ⊥ (BC) car ABCD est une face du cube

• (AB) ⊥ (BG) car (BG) est une diagonale de face et (AB) est perpendiculaire au plan contenant cette diagonale

Comme (BC) et (BG) sont sécantes en B, alors (AB) ⊥ plan (BCG)

Déduction : les droites (AB) et (CF) sont orthogonales :

• (AB) ⊥ plan (BCG) d’après la démonstration précédente

• (CF) est incluse dans le plan (BCG)

• Par conséquent : (AB) ⊥ (CF)

Exercice 6 – tracer l’intersection du plan et d’une face.

1) Reproduction de la figure :

Je reproduis le pavé droit ABCDEFGH avec les points I et J déjà placés sur les arêtes.

2) Intersection du plan (BIJ) avec la face EABF :

• Le point B appartient déjà à la face EABF et au plan (BIJ)

• Le point I appartient à l’arête [AE] donc à la face EABF, et I appartient au plan (BIJ)

• L’intersection du plan (BIJ) avec la face EABF est donc la droite (BI)

Je trace le segment [BI] sur la face EABF.

3) Intersection du plan (BIJ) avec la face DCGH :

• Le point J appartient à l’arête [CG] donc à la face DCGH, et J appartient au plan (BIJ)

• Pour trouver un deuxième point, je prolonge la droite (BI) jusqu’à ce qu’elle coupe une arête de la face DCGH

• La droite (BI) prolongée coupe l’arête [DH] en un point K

• L’intersection du plan (BIJ) avec la face DCGH est donc la droite (JK)

Je trace le segment [JK] sur la face DCGH.

4) Construction complète de la section :

• Je relie tous les points d’intersection trouvés dans l’ordre

• La section du pavé ABCDEFGH par le plan (BIJ) est le polygone BIJK

• Je trace en couleur ou en traits renforcés les segments [BI], [IJ] et [JB] pour délimiter la section

Réponse : La section est le triangle BIJ (si on ne considère que les points donnés) ou le quadrilatère BIJK si on prolonge jusqu’aux arêtes opposées.

Exercice 7 – construire la section d’un cube par le plan (IJK).

Données :

• et

• et

• et

Construction de la section :

1) Points de départ : On a déjà les points I, J et K sur les arêtes du cube.

2) Intersection avec l’arête [AD] :

Les faces ABCD et BCGF se coupent selon l’arête [BC]. Le point J appartient à cette arête.

Le plan (IJK) coupe la face ABCD selon une droite passant par J.

Cette droite coupe l’arête [AD] en un point L tel que .

3) Intersection avec l’arête [AE] :

Le plan (IJK) coupe l’arête [AE] en un point M tel que .

4) Intersection avec l’arête [CG] :

Le plan (IJK) coupe l’arête [CG] en un point N tel que .

5) Intersection avec l’arête [DH] :

Le plan (IJK) coupe l’arête [DH] en un point P tel que .

Réponse : La section du cube par le plan (IJK) est l’hexagone MLIJKP où :

• M est sur [AE] avec

• L est sur [AD] avec

• I est sur [EF] avec

• J est sur [BC] avec

• K est sur [HG] avec

• P est sur [DH] avec

Exercice 8 – section et construction .

Première question :

Pour construire la section du cube par le plan où , et sont les milieux respectifs des segments , et :

1) On place les points , et sur leurs arêtes respectives.

2) On trace les droites et .

3) On prolonge ces droites pour qu’elles coupent les autres arêtes du cube et on détermine ainsi tous les points d’intersection du plan avec les arêtes.

4) On relie ces points pour obtenir un polygone qui constitue la section du cube par le plan .

Deuxième question :

Pour construire la section du cube par le plan où :

– et

– et

– et

1) On place les points , et selon les rapports donnés.

2) On trace le triangle pour visualiser une partie du plan.

3) On prolonge les côtés de ce triangle et on utilise les propriétés du parallélisme dans le cube pour déterminer les autres points d’intersection du plan avec les arêtes.

4) On relie tous les points d’intersection pour obtenir la section complète du cube par le plan .

Exercice 9 – donner les coordonnées des vecteurs.

1) Coordonnées des vecteurs :

Pour un vecteur , les coordonnées sont .

2) Coordonnées des vecteurs combinaisons linéaires :

Pour :

Pour :

Exercice 10 – déterminer les coordonnées du vecteur.

1) Déterminer les coordonnées du point C défini par

On a et .

Si , alors :

Comme , on a :

donc

donc

donc

Réponse :

2) Déterminer les coordonnées du vecteur puis celles du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

On a et .

Pour que ABDC soit un parallélogramme, il faut que .

Si , alors :

D’où :

donc

donc

donc

Réponse : et

3) Déterminer les coordonnées du centre K de ce parallélogramme.

Le centre K du parallélogramme ABDC est le milieu des diagonales [AD] et [BC].

Coordonnées du milieu de [AD] :

Réponse :