Corrigé du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Nice)
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Nice). Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé étrangers Nice
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé étrangers Nice est découpé en 6 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Fraction, racines et écriture scientifique » (exercice 1 de la partie numérique). Ensuite, le corrigé explique « Développer, factoriser, résoudre » (exercice 2 de la partie numérique). Puis la correction reprend « Statistiques d’une course de 400 m » (exercice 3 de la partie numérique). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Pythagore, sinus et Thalès » (exercice 1 de géométrie). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Sphère et section plane » (exercice 2 de géométrie).
Enfin, le corrigé explique « Géométrie dans un repère » (problème).
Ainsi, le corrigé corrigé étrangers Nice te fait revoir les fractions, les agrandissements et réductions, les racines carrées, la médiane et les statistiques et le théorème de Pythagore, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé étrangers Nice)
Corrigé de l’exercice 1 : fraction, racines carrées et écriture scientifique
1. D’abord, on calcule séparément le numérateur et le dénominateur en réduisant au même dénominateur 3 :
\[\dfrac{2}{3} + 3 = \dfrac{2}{3} + \dfrac{9}{3} = \dfrac{11}{3} \qquad \dfrac{1}{3} + 5 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{15}{3} = \dfrac{16}{3}\]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[A = \dfrac{11}{3} \times \dfrac{3}{16} = \dfrac{11}{16}\]
11 est premier et ne divise pas 16, donc la fraction est irréductible : \(A = \dfrac{11}{16}\).
2. Ensuite, on cherche dans chaque racine le plus grand carré parfait qui multiplie 2 : \(50 = 25 \times 2\), \(8 = 4 \times 2\), \(18 = 9 \times 2\).
\[2\sqrt{50} = 2 \times 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \qquad 3\sqrt{8} = 3 \times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \qquad 7\sqrt{18} = 7 \times 3\sqrt{2} = 21\sqrt{2}\]
\[B = 10\sqrt{2} – 6\sqrt{2} + 21\sqrt{2} = (10 – 6 + 21)\sqrt{2}\]
donc \(B = 25\sqrt{2}\).
3. Puis on sépare les nombres décimaux et les puissances de 10 :
\[C = \dfrac{2{,}6 \times 1{,}7}{0{,}2} \times \dfrac{10^2 \times 10^2}{10^5 \times 10^3} = \dfrac{4{,}42}{0{,}2} \times \dfrac{10^4}{10^8} = 22{,}1 \times 10^{-4}\]
Comme \(22{,}1 = 2{,}21 \times 10^1\), on obtient \(C = 2{,}21 \times 10^{1 – 4}\), soit \(C = 2{,}21 \times 10^{-3}\) (c’est-à-dire 0,002 21).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. On développe le carré avec \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), puis le produit par double distributivité :
\[(5x – 4)^2 = 25x^2 – 40x + 16\]
\[(5x – 4)(x + 3) = 5x^2 + 15x – 4x – 12 = 5x^2 + 11x – 12\]
On additionne et on regroupe les termes de même degré : \(E = 25x^2 + 5x^2 – 40x + 11x + 16 – 12\), donc \(E = 30x^2 – 29x + 4\).
2. Le facteur \((5x – 4)\) apparaît dans les deux termes : \(E = (5x – 4)(5x – 4) + (5x – 4)(x + 3)\). On le met en facteur :
\[E = (5x – 4)\big[(5x – 4) + (x + 3)\big] = (5x – 4)(6x – 1)\]
donc \(E = (5x – 4)(6x – 1)\). Contrôle : \((5x – 4)(6x – 1) = 30x^2 – 5x – 24x + 4 = 30x^2 – 29x + 4\), on retrouve bien la forme développée.
3. La forme factorisée est la plus pratique : pour \(x = -1\), \(E = (5 \times (-1) – 4)(6 \times (-1) – 1) = (-9) \times (-7) = 63\). Avec la forme développée : \(30 \times 1 + 29 + 4 = 63\). Donc \(E = 63\) pour \(x = -1\).
4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[5x – 4 = 0 \iff x = \dfrac{4}{5} \qquad \text{ou} \qquad 6x – 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{6}\]
L’équation a deux solutions : \(\dfrac{4}{5}\) et \(\dfrac{1}{6}\).
Corrigé de l’exercice 3 : statistiques d’une course de 400 m
La série compte 15 coureurs (8 dans la première ligne, 7 dans la seconde), et les temps sont déjà rangés dans l’ordre croissant.
1. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \(54{,}80 – 18{,}65 = 36{,}15\). L’étendue est de 36,15 s.
2. On additionne les quinze temps (chaque effectif vaut 1), puis on divise par 15 :
\[m = \dfrac{18{,}65 + 49{,}20 + 50 + \dots + 53{,}28 + 54{,}80}{15} = \dfrac{740{,}03}{15} \approx 49{,}335\]
La moyenne arrondie au centième est 49,34 s.
3. Avec 15 valeurs rangées dans l’ordre, la médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 8e (7 valeurs avant, 7 après). La 8e valeur est la dernière de la première ligne : la médiane est 51,80 s.
Remarque : la moyenne est plus petite que la médiane à cause du temps de 18,65 s, très éloigné des autres (sans doute une erreur de chronométrage, car personne ne court un 400 m en moins de 20 s !). La médiane, elle, n’est presque pas influencée par une valeur extrême.
4. Les temps inférieurs à 52,50 s vont de 18,65 à 52,20 : on en compte 8 dans la première ligne et 4 dans la seconde (51,85 ; 51,90 ; 52,05 ; 52,20), soit 12 coureurs sur 15.
\[\dfrac{12}{15} = 0{,}8 = \dfrac{80}{100}\]
80 % des coureurs ont mis moins de 52,50 secondes.
Activités géométriques (corrigé étrangers Nice)
Corrigé de l’exercice 1 : Pythagore, sinus et Thalès
1. La droite (BD) est perpendiculaire à (AE), donc le triangle ABD est rectangle en D, d’hypoténuse [AB]. D’après le théorème de Pythagore :
\[AB^2 = AD^2 + BD^2 \quad \text{donc} \quad AD^2 = 2{,}5^2 – 1{,}5^2 = 6{,}25 – 2{,}25 = 4\]
Une longueur étant positive, AD = 2.
2. Dans le triangle ABD rectangle en D, pour l’angle \(\widehat{BAD}\), [BD] est le côté opposé et [AB] l’hypoténuse :
\[\sin \widehat{BAD} = \dfrac{BD}{AB} = \dfrac{1{,}5}{2{,}5} = 0{,}6\]
La calculatrice donne \(\widehat{BAD} \approx 36{,}87^\circ\), soit \(\widehat{BAD} \approx 37^\circ\) au degré près. (On retrouve le même résultat avec \(\cos \widehat{BAD} = \dfrac{2}{2{,}5} = 0{,}8\).)
3. Les droites (BD) et (CE) sont toutes les deux perpendiculaires à (AE) ; or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (BD) // (CE).
Les points A, B, C d’une part et A, D, E d’autre part sont alignés, et (BD) // (CE). D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AE} = \dfrac{BD}{CE} \quad \text{soit} \quad \dfrac{2{,}5}{AC} = \dfrac{2}{AE} = \dfrac{1{,}5}{4{,}5}\]
Le rapport \(\dfrac{1{,}5}{4{,}5}\) vaut \(\dfrac{1}{3}\). On en déduit \(AC = 2{,}5 \times 3\) et \(AE = 2 \times 3\), donc AC = 7,5 et AE = 6.
Vérification avec Pythagore dans le triangle ACE rectangle en E : \(AE^2 + CE^2 = 36 + 20{,}25 = 56{,}25 = 7{,}5^2\).
Corrigé de l’exercice 2 : la sphère et sa section par un plan
1. Le volume d’une boule de rayon \(r\) est \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\). Avec \(r = 6\) cm :
\[V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = \dfrac{4 \times 216}{3}\pi = 288\pi\ \text{cm}^3\]
La valeur exacte est \(288\pi\) cm³. À la calculatrice, \(288\pi \approx 904{,}778\,68\) cm³. Comme 1 cm³ = 1 000 mm³, cela fait environ 904 778,68 mm³, soit 904 779 mm³ arrondi au mm³ (ou 904,779 cm³).
2. a. Le plan (P) est perpendiculaire à (OO’) en O’, et la droite (O’M) est contenue dans ce plan : donc (OO’) ⟂ (O’M) et le triangle OO’M est rectangle en O’. De plus, M est sur la sphère, donc OM = 6 cm (c’est un rayon).
Construction : trace un segment [OO’] de 4 cm, puis la perpendiculaire à (OO’) en O’. Pointe ton compas en O avec un écartement de 6 cm : l’arc coupe la perpendiculaire en M. Relie O et M.
b. La section d’une sphère par un plan est un cercle. Son centre est O’ (le pied de la perpendiculaire au plan issue de O) et son rayon est O’M, qu’on vient de construire. On trace donc le cercle de centre O’ et de rayon O’M, en reportant la longueur O’M au compas. (Par curiosité, \(O^{\prime}M = \sqrt{6^2 – 4^2} = \sqrt{20} \approx 4{,}47\) cm, mais le calcul n’est pas demandé.)
Ces dessins sont réduits : sur ta copie, ils doivent être en vraie grandeur.
Corrigé du problème : triangle rectangle et parallélogramme dans un repère
Voici la figure complète (points A, B, C, cercle circonscrit de centre K, point D) que tu dois obtenir à la fin du problème :
![Repère avec A(6 ; 5), B(2 ; -3), C(-4 ; 0), le triangle ABC rectangle en B, son cercle circonscrit de centre K(1 ; 2,5) milieu de [AC], et le point D(12 ; 2) formant le parallélogramme ACBD](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2004-centres-etrangers-groupe-de-nice/gen-repere-abc-k-d.webp)
1. Dans un repère orthonormal, \(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\).
\[AB = \sqrt{(2 – 6)^2 + (-3 – 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}\]
Or \(80 = 16 \times 5\), donc \(\sqrt{80} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}\) : on a bien \(AB = 4\sqrt{5}\) cm.
2. Le plus long côté est [AC]. Alors on compare les carrés :
\[AC^2 = 125 \qquad AB^2 + BC^2 = 80 + 45 = 125\]
Ensuite, on a \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
3. Dans un triangle rectangle, on prend les deux côtés de l’angle droit comme base et hauteur. \(BC = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\).
\[\mathcal{A} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{4\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}{2} = \dfrac{12 \times 5}{2} = 30\]
L’aire du triangle ABC est 30 cm².
4. a. Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l’hypoténuse. Ici l’hypoténuse est [AC] : K est le milieu de [AC] et le rayon vaut la moitié de AC :
\[r = \dfrac{\sqrt{125}}{2} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2} \approx 5{,}59\ \text{cm}\]
Le rayon est \(\dfrac{\sqrt{125}}{2} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}\) cm, environ 5,6 cm. Puis on place K au milieu de [AC].
b. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :
\[x_K = \dfrac{6 + (-4)}{2} = 1 \qquad y_K = \dfrac{5 + 0}{2} = 2{,}5\]
donc K(1 ; 2,5).
5. a. \(\overrightarrow{AC}\) a pour coordonnées \((x_C – x_A~;~y_C – y_A) = (-4 – 6~;~0 – 5)\), soit \(\overrightarrow{AC}(-10~;~-5)\).
b. ACBD est un parallélogramme (sommets pris dans cet ordre) si et seulement si \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}\). Avec D(\(x~;~y\)) : \(\overrightarrow{DB}(2 – x~;~-3 – y)\). On résout :
\[2 – x = -10 \iff x = 12 \qquad -3 – y = -5 \iff y = 2\]
donc D(12 ; 2). Vérification par les diagonales : le milieu de [AB] est \(\left(\dfrac{6+2}{2}~;~\dfrac{5-3}{2}\right) = (4~;~1)\) et celui de [CD] est \(\left(\dfrac{-4+12}{2}~;~\dfrac{0+2}{2}\right) = (4~;~1)\) : les diagonales ont bien le même milieu.
c. Ensuite, on place D(12 ; 2) dans le repère : il faut prévoir un axe des abscisses allant au moins jusqu’à 12 (voir la figure ci-dessus).
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé étrangers Nice
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Quant aux fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Dans les questions sur les agrandissements et réductions, souviens-toi que les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³, donc repère bien le coefficient k. Pour les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé étrangers Nice, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé étrangers Nice
Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers Nice en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2004. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les agrandissements et réductions, les racines carrées et la médiane et les statistiques. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé étrangers Nice
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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