Corrigé du brevet de maths 2004 : Académie d’Amiens
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : Académie d’Amiens. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Amiens 2004
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Amiens 2004 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Fraction et racines carrées » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Développer et factoriser C » (exercice 1 de la partie numérique). Puis le corrigé explique « PGCD de 682 et 352 » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, la correction reprend « Notes d’une classe de 3e » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, tu lis la démarche complète pour « Papillon UOMAI : Thalès et angles » (exercice 4 de la partie numérique).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Symétries centrales sur l’annexe » (activités géométriques). Puis le corrigé explique « Balise : cône et demi-boule » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, la correction reprend « Triangle ABC : le point M » (exercice 2 de géométrie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Triangle AME isocèle » (exercice 3 de géométrie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Amiens 2004 sont les fractions, les racines carrées, le calcul littéral, les diviseurs communs et la médiane et les statistiques, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé Amiens 2004)
Corrigé de l’exercice 1 : fraction et racines carrées
1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction. On calcule d’abord le produit, en simplifiant :
\[\dfrac{2}{5}\times\dfrac{11}{4}=\dfrac{2\times11}{5\times2\times2}=\dfrac{11}{10}\]
Puis on réduit au même dénominateur 10 :
\[\text{A}=\dfrac{9}{5}-\dfrac{11}{10}=\dfrac{18}{10}-\dfrac{11}{10}=\dfrac{7}{10}\]
7 est premier et ne divise pas 10, donc la fraction est irréductible : \(\text{A}=\dfrac{7}{10}\).
2. Ensuite, on écrit 27 et 75 avec le plus grand carré parfait possible : \(27=9\times3\) et \(75=25\times3\). Donc \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) et \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\).
\[\text{B}=5\sqrt{3}-4\times3\sqrt{3}+5\sqrt{3}=5\sqrt{3}-12\sqrt{3}+5\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\]
\(\text{B}=-2\sqrt{3}\), avec \(a=-2\) et \(b=3\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe le carré avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) : \((2x-1)^2=4x^2-4x+1\). On développe le produit : \((2x-1)(x+5)=2x^2+10x-x-5=2x^2+9x-5\).
\[C=4x^2-4x+1+2x^2+9x-5=6x^2+5x-4\]
\(C=6x^2+5x-4\).
2. Le facteur \((2x-1)\) est commun aux deux termes (le carré \((2x-1)^2\) vaut \((2x-1)(2x-1)\)) :
\[C=(2x-1)\left[(2x-1)+(x+5)\right]=(2x-1)(3x+4)\]
\(C=(2x-1)(3x+4)\). Contrôle : \((2x-1)(3x+4)=6x^2+8x-3x-4=6x^2+5x-4\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(2x-1=0\) donne \(x=\dfrac{1}{2}\), et \(3x+4=0\) donne \(x=-\dfrac{4}{3}\).
Les solutions sont \(\dfrac{1}{2}\) et \(-\dfrac{4}{3}\).
Corrigé de l’exercice 3 (Amiens 2004) : PGCD de 682 et 352
1. 682 et 352 sont tous les deux pairs, donc divisibles par 2. Ils ont un diviseur commun autre que 1 : ils ne sont pas premiers entre eux.
2. Algorithme d’Euclide :
\(682=352\times1+330\)
\(352=330\times1+22\)
\(330=22\times15+0\)
Le dernier reste non nul est 22 : PGCD(682 ; 352) = 22.
3. Puis on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD 22 : \(682\div22=31\) et \(352\div22=16\).
\[\dfrac{682}{352}=\dfrac{22\times31}{22\times16}=\dfrac{31}{16}\]
Comme on a divisé par le PGCD, la fraction obtenue est irréductible : \(\dfrac{682}{352}=\dfrac{31}{16}\).
Corrigé de l’exercice 4 : les notes de la classe
Tout d’abord, on lit les effectifs sur le diagramme et on les range dans un tableau, avec les effectifs cumulés.
| Note | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 5 | 2 | 2 | 3 | 2 | 7 | 2 |
| Effectif cumulé | 2 | 7 | 9 | 11 | 14 | 16 | 23 | 25 |
1. \(2+5+2+2+3+2+7+2=25\). La classe compte 25 élèves.
2. Alors on calcule la moyenne pondérée par les effectifs :
\[\bar{x}=\dfrac{8\times2+9\times5+10\times2+11\times2+12\times3+13\times2+14\times7+15\times2}{25}=\dfrac{16+45+20+22+36+26+98+30}{25}=\dfrac{293}{25}=11{,}72\]
La note moyenne est 11,72.
3. Il y a 25 notes (nombre impair) : la médiane est la note de rang \(\dfrac{25+1}{2}=13\). D’après les effectifs cumulés, les rangs 12 à 14 correspondent à la note 12. La note médiane est 12.
4. L’étendue est l’écart entre la plus grande et la plus petite note : \(15-8=7\). L’étendue est 7.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (Amiens 2004) : configuration en papillon
Remarque : d’après la figure et les données, il s’agit des segments [OA] et [UI], qui se coupent en M (l’énoncé écrit [CA] par erreur).
1. Les points O, M, A sont alignés dans cet ordre, ainsi que U, M, I. Ensuite, on compare les rapports :
\[\dfrac{\text{MO}}{\text{MA}}=\dfrac{21}{27}=\dfrac{7}{9}\qquad\dfrac{\text{MU}}{\text{MI}}=\dfrac{28}{36}=\dfrac{7}{9}\]
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (OU) et (AI) sont parallèles.
2. Les droites (OU) et (AI) étant parallèles, le théorème de Thalès donne :
\[\dfrac{\text{MO}}{\text{MA}}=\dfrac{\text{MU}}{\text{MI}}=\dfrac{\text{OU}}{\text{AI}}\quad\text{donc}\quad\dfrac{7}{9}=\dfrac{\text{OU}}{45}\]
\(\text{OU}=\dfrac{7\times45}{9}=35\). OU = 35 mm.
3. Dans le triangle AMI, le plus grand côté est [AI].
\[\text{AI}^2=45^2=2\,025\qquad\text{MA}^2+\text{MI}^2=27^2+36^2=729+1\,296=2\,025\]
Puis on a \(\text{AI}^2=\text{MA}^2+\text{MI}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMI est rectangle en M.
4. Dans le triangle AMI rectangle en M, pour l’angle \(\widehat{\text{AIM}}\), [MI] est le côté adjacent et [AI] l’hypoténuse :
\[\cos\widehat{\text{AIM}}=\dfrac{\text{MI}}{\text{AI}}=\dfrac{36}{45}=0{,}8\]
À la calculatrice, \(\widehat{\text{AIM}}\approx36{,}87°\). \(\widehat{\text{AIM}}\approx37°\) au degré près. (Avec la tangente, \(\tan\widehat{\text{AIM}}=\dfrac{27}{36}=0{,}75\) donne la même valeur.)
5. Les droites (OU) et (AI) sont parallèles et la droite (OA) les coupe. Les angles \(\widehat{\text{MAI}}\) et \(\widehat{\text{MOU}}\) sont situés de part et d’autre de la sécante (OA), à l’intérieur de la bande formée par les deux parallèles : ce sont des angles alternes-internes. Des angles alternes-internes formés par deux droites parallèles ont la même mesure : \(\widehat{\text{MAI}}=\widehat{\text{MOU}}\).
Corrigé de l’exercice 2 : deux symétries centrales
1. a. Pour construire l’image d’un point P par la symétrie de centre B, on trace la demi-droite [PB) et on place P’ au-delà de B tel que B soit le milieu de [PP’]. Sur le quadrillage, il suffit de compter les carreaux : de A à B, on avance de 6 carreaux vers la droite et de 4 vers le haut ; on recommence depuis B pour obtenir E. On fait de même pour les trois autres sommets de \(\mathcal{F}\), puis on relie les images : c’est \(\mathcal{F}_1\), retournée « tête en bas ».
b. Même méthode avec le centre C : de E à C, on descend de 7 carreaux et on va de 1 carreau vers la gauche ; on recommence depuis C pour placer T. On construit ainsi les quatre sommets de \(\mathcal{F}_2\), puis on hachure \(\mathcal{F}_1\) et \(\mathcal{F}_2\).
2. Ensuite, on observe que \(\mathcal{F}_2\) a la même orientation que \(\mathcal{F}\) : elle a simplement « glissé ». Chaque point s’est déplacé de la même façon : de A à T, on avance de 10 carreaux vers la droite et on descend de 6 carreaux, soit deux fois le déplacement de B à C (5 carreaux à droite, 3 vers le bas). Puis on passe de \(\mathcal{F}\) à \(\mathcal{F}_2\) par la translation qui transforme A en T (translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AT}}=2\overrightarrow{\text{BC}}\)).
Corrigé de l’exercice 3 : la balise
1. O est le centre de la base et [BC] un diamètre de longueur 6 dm, donc le rayon est \(\text{OB}=3\) dm. [AO] est la hauteur du cône, donc le triangle AOB est rectangle en O. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AB}^2=\text{AO}^2+\text{OB}^2=6^2+3^2=36+9=45\]
\(\text{AB}=\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}\). AB = \(3\sqrt{5}\) dm.
2. a. Le cône a pour rayon \(r=3\) dm et pour hauteur \(h=6\) dm :
\[V_{\text{cône}}=\dfrac{\pi\times3^2\times6}{3}=\dfrac{54\pi}{3}=18\pi\]
Le volume du cône est \(18\pi\ \text{dm}^3\).
b. La demi-boule a pour rayon \(R=3\) dm ; son volume est la moitié de celui de la boule :
\[V_{\text{demi-boule}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\pi\times3^3=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4\times27}{3}\pi=\dfrac{1}{2}\times36\pi=18\pi\]
Le volume de la demi-boule est \(18\pi\ \text{dm}^3\).
c. \(V_{\text{balise}}=18\pi+18\pi=36\pi\). À la calculatrice, \(36\pi\approx113{,}097\). Le volume de la balise est \(36\pi\ \text{dm}^3\), soit environ \(113{,}1\ \text{dm}^3\).
Problème (corrigé Amiens 2004)
Corrigé de la partie 1 : le point M avec BM = 3,5 cm
1. Trace un segment [AB] de 6 cm. En A, trace la perpendiculaire à (AB) à l’équerre et places-y C tel que AC = 4 cm. Relie B et C.
2. a. M est sur le segment [AB], donc \(\text{AM}=\text{AB}-\text{BM}=6-3{,}5=2{,}5\). AM = 2,5 cm.
b. Le triangle est rectangle en A, donc (AC) est perpendiculaire à (AB). Par construction, (ME) est aussi perpendiculaire à (AB). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (AC) et (ME) sont parallèles.
c. Les points B, M, A sont alignés, ainsi que B, E, C, et (ME) est parallèle à (AC). D’après le théorème de Thalès dans les triangles BME et BAC :
\[\dfrac{\text{BM}}{\text{BA}}=\dfrac{\text{BE}}{\text{BC}}=\dfrac{\text{ME}}{\text{AC}}\quad\text{donc}\quad\dfrac{3{,}5}{6}=\dfrac{\text{EM}}{4}\]
\(\text{EM}=\dfrac{3{,}5\times4}{6}=\dfrac{14}{6}=\dfrac{7}{3}\). EM = \(\dfrac{7}{3}\) cm (environ 2,33 cm).
d. Le triangle AEM serait isocèle en M si MA = ME. Or \(\text{MA}=2{,}5=\dfrac{5}{2}\) et \(\text{ME}=\dfrac{7}{3}\) ; en comparant avec le dénominateur 6 : \(\dfrac{15}{6}\neq\dfrac{14}{6}\). Le triangle AEM n’est pas isocèle en M.
Corrigé de la partie 2 : rendre le triangle AME isocèle
1. Comme dans la partie 1, (ME) et (AC) sont perpendiculaires à (AB), donc parallèles. Les points B, M, A et B, E, C sont alignés. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{B}M}{\text{BA}}=\dfrac{M\text{E}}{\text{AC}}\quad\text{donc}\quad\dfrac{x}{6}=\dfrac{M\text{E}}{4}\]
\(M\text{E}=\dfrac{4x}{6}\), soit \(M\text{E}=\dfrac{2}{3}x\).
2. a. \(M\) est sur [AB], donc \(M\text{A}=\text{AB}-\text{B}M\), soit \(M\text{A}=6-x\).
b. Le triangle A\(M\)E est isocèle en \(M\) lorsque \(M\text{A}=M\text{E}\). On résout :
\[6-x=\dfrac{2}{3}x\]
\[6=\dfrac{2}{3}x+x=\dfrac{5}{3}x\]
\[x=6\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{18}{5}=3{,}6\]
Vérification : \(M\text{A}=6-3{,}6=2{,}4\) et \(M\text{E}=\dfrac{2}{3}\times3{,}6=2{,}4\). Il faut placer \(M\) tel que B\(M=3{,}6\) cm.
3. a. \(f\) et \(g\) sont affines : leurs représentations sont des droites. Pour \(f\) : \(f(0)=0\) et \(f(6)=4\). Pour \(g\) : \(g(0)=6\) et \(g(6)=0\). On trace les segments correspondants pour \(x\) entre 0 et 6 (avec 2 cm par unité en abscisse, l’axe mesure 12 cm).
b. \(f(x)\) représente la longueur \(M\text{E}\) et \(g(x)\) la longueur \(M\text{A}\). Le triangle est isocèle en \(M\) quand ces longueurs sont égales, c’est-à-dire au point d’intersection des deux droites. Alors on lit son abscisse : \(x=3{,}6\), ce qui confirme le calcul de la question 2. b.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Amiens 2004
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Pour les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. En ce qui concerne le calcul littéral, développe proprement terme à terme, ensuite réduis, et vérifie avec une valeur simple de x. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Amiens 2004 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Amiens 2004
Faut-il lire le corrigé corrigé Amiens 2004 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2004. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, le calcul littéral et les diviseurs communs. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Amiens 2004
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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