Corrigé du brevet de maths 2005 : Centres étrangers (groupe II)
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2005 : Centres étrangers (groupe II). Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé étrangers 2005
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé étrangers 2005 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Racines carrées et diagonale d’un carré » (exercice 1 de la partie numérique). Ensuite, la correction reprend « Écriture scientifique » (exercice 2 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « QCM de calcul littéral » (exercice 3 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Vecteurs et parallélogrammes » (exercice 1 de géométrie). En outre, le corrigé explique « Pythagore et Thalès » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, la correction reprend « Angles et tangente » (exercice 3 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Dalle en forme de prisme » (partie 1). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Nombre de dalles et de lots » (partie 2). Enfin, le corrigé explique « Transformations du pavage » (partie 3).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé étrangers 2005 sont les racines carrées, les aires, les puissances de 10, les vecteurs et le théorème de Pythagore, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé étrangers 2005)
Corrigé de l’exercice 1 : côté et diagonale d’un carré
1. a. On simplifie d’abord le côté : \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}\), donc \(c=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). La diagonale vaut alors :
\[d=c\sqrt{2}=3\sqrt{2}\times\sqrt{2}=3\times 2=6\]
La diagonale mesure 6 cm, c’est un nombre entier.
b. L’aire d’un carré est le carré de son côté :
\[\mathcal{A}=(3\sqrt{2})^2=3^2\times(\sqrt{2})^2=9\times 2=18\]
L’aire est 18 cm², un nombre entier.
2. De \(d=c\sqrt{2}\) on tire \(c=\dfrac{d}{\sqrt{2}}\) :
\[c=\dfrac{\sqrt{40}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{40}{2}}=\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=2\sqrt{5}\]
Le côté mesure \(2\sqrt{5}\) cm (environ 4,47 cm), donc \(a=2\).
Corrigé de l’exercice 2 : écriture scientifique
1. L’énoncé ne précise pas l’unité de la masse d’un atome : il s’agit de \(1{,}99\times 10^{-26}\) kg, soit \(1{,}99\times 10^{-23}\) g (1 kg = \(10^3\) g). Ensuite, on multiplie la masse d’un atome par le nombre d’atomes, en regroupant les nombres décimaux et les puissances de 10 :
\[m=1{,}99\times 10^{-23}\times 6{,}022\times 10^{23}=(1{,}99\times 6{,}022)\times 10^{-23+23}=11{,}983\,78\times 10^0\]
Le paquet pèse 11,983 78 g.
2. Le chiffre des dixièmes est 9, on arrondit à l’unité supérieure : la masse vaut environ 12 g.
Corrigé de l’exercice 3 (étrangers 2005) : QCM de calcul littéral
N° 1. Avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) : \((3x-2)^2=9x^2-2\times 3x\times 2+4=9x^2-12x+4\). Réponse C.
N° 2. \(9=3^2\), c’est une différence de deux carrés : \((5x-1)^2-3^2=(5x-1-3)(5x-1+3)=(5x-4)(5x+2)\). Réponse A.
N° 3. Produit nul : \(-2x=0\) donne \(x=0\), et \(3x+4=0\) donne \(x=-\dfrac{4}{3}\). Réponse C.
N° 4. \(5x-10\geqslant 2x+5 \iff 3x\geqslant 15 \iff x\geqslant 5\). Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à 5 : la partie non hachurée doit être à droite de 5, avec 5 inclus (crochet tourné vers les solutions). Réponse A.
N° 5. En additionnant les deux équations, \(y\) disparaît : \(3x=7\), donc \(x=\dfrac{7}{3}\) et \(y=5-\dfrac{7}{3}=\dfrac{8}{3}\). La solution du système écrit est \(\left(\dfrac{7}{3}\ ;\ \dfrac{8}{3}\right)\), qui ne figure pas parmi les propositions : aucune des trois réponses n’est exacte, l’énoncé comporte une erreur. Puis on peut tester chaque couple : (1 ; −4) donne \(2x-y=6\) ; (−1 ; 4) donne \(2x-y=-6\) ; (−1 ; −4) vérifie \(2x-y=2\) mais donne \(x+y=-5\). Si la seconde équation était \(x+y=-5\), la bonne réponse serait B.
| Réponse choisie | |
|---|---|
| N° 1 | C |
| N° 2 | A |
| N° 3 | C |
| N° 4 | A |
| N° 5 | aucune (erreur d’énoncé ; B si \(x+y=-5\)) |
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : parallélogrammes et vecteurs
1. ABEC est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}\). Pour aller de A à B, on avance de 4 carreaux vers la droite et de 2 vers le haut ; on fait le même trajet à partir de C pour placer E.
![Quadrillage avec les points A, B, C, le point E tel que ABEC soit un parallélogramme et le point F tel que ABCF soit un parallélogramme ; C est le milieu du segment [FE]](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2005-centres-etrangers-groupe-ii/gen-parallelogrammes-abec-abcf.webp)
2. a. D’après la règle du parallélogramme, \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BF}\) où F est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur [BA] et [BC]. Concrètement, \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\) revient à \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}\) : à partir de A, on avance de 3 carreaux vers la droite et de 3 vers le bas (comme de B à C).
b. ABCF est un parallélogramme.
3. ABCF est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AB}\). ABEC est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}\). Deux vecteurs égaux à un même troisième sont égaux : \(\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{CE}\).
Cette égalité signifie que les points F, C, E sont alignés et que FC = CE : C est le milieu du segment [FE].
Corrigé de l’exercice 2 (étrangers 2005) : Pythagore et Thalès en test
1. Si le triangle était rectangle, ce serait en C, face au plus grand côté [AB]. Alors on compare :
\[AB^2=8^2=64 \qquad AC^2+BC^2=6{,}4^2+4{,}9^2=40{,}96+24{,}01=64{,}97\]
Comme \(AB^2\neq AC^2+BC^2\), d’après le théorème de Pythagore (par sa contraposée), le triangle ABC n’est pas rectangle.
2. Les points A, B, E sont alignés dans cet ordre (E est sur la demi-droite [AB) avec AE plus grand que AB), de même que A, C, F. Ensuite, on compare les rapports :
\[\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{12}{8}=1{,}5 \qquad \dfrac{AF}{AC}=\dfrac{9{,}6}{6{,}4}=1{,}5\]
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 3 : deux angles égaux et la tangente
L’énoncé écrit « ABC est un triangle rectangle en R » : il faut lire que le triangle AHC est rectangle en H (H est le pied de la hauteur issue de A, comme sur la figure), et le triangle ABC est rectangle en A puisque (AB) est perpendiculaire à (AC).
1. a. Dans le triangle AHC rectangle en H, les deux angles aigus sont complémentaires (la somme des angles vaut 180° et l’angle droit en prend 90°) : \(\widehat{ACH}+\widehat{HAC}=90^\circ\), donc \(\widehat{ACH}=90^\circ-\widehat{HAC}\).
b. La droite (AB) est perpendiculaire à (AC), donc \(\widehat{BAC}=90^\circ\). Le point H est entre B et C, donc la demi-droite [AH) partage cet angle droit : \(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90^\circ\), donc \(\widehat{BAH}=90^\circ-\widehat{HAC}\).
c. Les deux angles sont égaux à la même quantité : \(\widehat{ACH}=\widehat{BAH}\).
2. a. Dans le triangle AHC rectangle en H, [AH] est le côté opposé à \(\widehat{ACH}\) et [HC] le côté adjacent :
\[\tan\widehat{ACH}=\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{4{,}8}{6{,}4}=\dfrac{48}{64}=\dfrac{3}{4}\]
b. Dans le triangle BAH rectangle en H, [BH] est le côté opposé à \(\widehat{BAH}\) et [AH] le côté adjacent : \(\tan\widehat{BAH}=\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{BH}{4{,}8}\).
3. Les angles étant égaux, leurs tangentes le sont : \(\dfrac{BH}{4{,}8}=\dfrac{3}{4}\), donc \(BH=\dfrac{3\times 4{,}8}{4}=3{,}6\). BH = 3,6 cm.
4. \(\tan\widehat{ACH}=0{,}75\) ; la touche \(\tan^{-1}\) de la calculatrice donne 36,87°. \(\widehat{ACH}\approx 37^\circ\) au degré près.
Problème
Corrigé de la partie 1 (étrangers 2005) : la dalle en forme de prisme
L’énoncé écrit « RAB » : il s’agit du triangle EAB rectangle en A.
1. a. Dans le triangle EAB rectangle en A, le théorème de Pythagore donne :
\[BE^2=AE^2+AB^2=48^2+16^2=2\,304+256=2\,560\]
\(BE=\sqrt{2\,560}\approx 50{,}6\) cm.
b. \(2\,560=256\times 10\) et \(256=16^2\), donc \(BE=\sqrt{256}\times\sqrt{10}=16\sqrt{10}\) cm (\(a=16\)).
2. D est sur [AE], donc \(ED=AE-AD=48-12=36\) cm. Dans le triangle EAB, D est sur [EA], C sur [EB] et (DC) // (AB). D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{ED}{EA}=\dfrac{DC}{AB} \quad\text{donc}\quad DC=\dfrac{36\times 16}{48}=\dfrac{576}{48}=12\]
ED = 36 cm et DC = 12 cm.
3. Comme (DC) // (AB) et (AB) ⊥ (AE), la droite (DC) est aussi perpendiculaire à (AE) : EDC est rectangle en D.
\[\mathcal{A}_{EDC}=\dfrac{ED\times DC}{2}=\dfrac{36\times 12}{2}=216 \qquad \mathcal{A}_{EAB}=\dfrac{AE\times AB}{2}=\dfrac{48\times 16}{2}=384\]
Aire de EDC : 216 cm² ; aire de EAB : 384 cm².
4. Le quadrilatère ABCD est le triangle EAB privé du triangle EDC : \(384-216=168\). L’aire de ABCD est bien 168 cm².
5. Le volume d’un prisme droit est l’aire de la base multipliée par la hauteur : \(V=168\times 5=840\). Le volume de la dalle est 840 cm³.
Corrigé de la partie 2 : combien de dalles et de lots ?
1. Chaque dalle recouvre 168 cm² (elle est posée sur sa face ABCD). On convertit l’aire de l’allée : 1 m² = 10 000 cm², donc 10 m² = 100 000 cm².
\[\dfrac{100\,000}{168}\approx 595{,}2\]
595 dalles ne suffisent pas (il manquerait un morceau), il faut arrondir à l’entier supérieur : 596 dalles au minimum.
2. Ajouter 15 %, c’est multiplier par 1,15 : \(596\times 1{,}15=685{,}4\). On ne peut pas acheter une fraction de dalle et il en faut au moins 685,4 : il prévoit 686 dalles.
3. \(686\div 60\approx 11{,}4\) : 11 lots donnent seulement 660 dalles. Il achète 12 lots (720 dalles).
Corrigé de la partie 3 : transformations dans le pavage
Les sommets des dalles utiles sont : ❶ = ADCB ; ❹ = FGJI ; ❼ = HINM ; ❾ = KLQP ; ❿ = LMRQ.
1. Le point M est un sommet commun à ❿ et ❼. En faisant un demi-tour autour de M, L va en N, Q va en I et R va en H : la dalle ❿ se retrouve exactement sur ❼. Le quadrilatère ❼ est l’image du quadrilatère ❿ par la symétrie centrale de centre M.
2. La dalle ❾ est la dalle ❶ glissée de deux rangées vers le bas, sans être retournée : D va en K, C en L, B en Q et A en P. Le quadrilatère ❾ est l’image du quadrilatère ❶ par la translation de vecteur \(\overrightarrow{DK}\) (on peut aussi dire \(\overrightarrow{AP}\), \(\overrightarrow{CL}\) ou \(\overrightarrow{BQ}\)).
3. La dalle ❹ est le reflet de la dalle ❶ dans un miroir placé sur la ligne verticale qui passe par E, H, M et R : D va en G, C en F, B en I et A en J. Le quadrilatère ❹ est l’image du quadrilatère ❶ par la symétrie axiale d’axe (EH) (c’est aussi la droite (EM) ou (ER)).
Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2005 : Centres étrangers (groupe II).
Comment utiliser le corrigé corrigé étrangers 2005
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
En ce qui concerne les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Quant aux aires, écris la formule avant de remplacer, puis donne l’unité d’aire au carré. Dans les questions sur les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Au besoin, la définition de la notion de racine carrée sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé étrangers 2005 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé étrangers 2005
Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2005 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2005. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les racines carrées, les aires, les puissances de 10 et les vecteurs. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé étrangers 2005
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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