Corrigé du brevet de maths 2002 : Académie de Grenoble
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Grenoble. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Grenoble 2002
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Grenoble 2002 est découpé en 9 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fractions et racines carrées » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Développer et factoriser » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « PGCD » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Statistiques » (exercice 4). De plus, en outre, la correction reprend « Pythagore, Thalès, tangente » (exercice 1 de géométrie).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Repère et vecteurs » (exercice 2 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « L’Équateur » (exercice 3 de géométrie). Par ailleurs, le corrigé explique « Vitesses du train » (partie A). Enfin, la correction reprend « Comparer deux tarifs » (partie B).
Ainsi, le corrigé corrigé Grenoble 2002 te fait revoir les fractions, le calcul littéral, les racines carrées, les diviseurs communs et la moyenne, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques
Corrigé de l’exercice 1 (Grenoble 2002) : fractions et racines carrées
Calcul de A. La multiplication est prioritaire sur l’addition, donc tu commences par \(\dfrac{1}{7}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{8}{21}\).
\[A=\dfrac{2}{7}+\dfrac{8}{21}=\dfrac{2\times 3}{7\times 3}+\dfrac{8}{21}=\dfrac{6}{21}+\dfrac{8}{21}=\dfrac{14}{21}=\dfrac{7\times 2}{7\times 3}\]
Donc \(A=\dfrac{2}{3}\), fraction irréductible car 2 et 3 n’ont aucun diviseur commun autre que 1.
Calcul de B. Ensuite, on utilise l’identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) avec \(a=\sqrt{3}\) et \(b=7\).
\[B=(\sqrt{3})^2-2\times\sqrt{3}\times 7+7^2=3-14\sqrt{3}+49\]
Donc \(B=52-14\sqrt{3}\) : c’est la forme \(a+b\sqrt{c}\) avec \(a=52\), \(b=-14\) et \(c=3\).
Calcul de C. Puis on fait apparaître des carrés parfaits sous les racines : \(50=25\times 2\) et \(18=9\times 2\).
\[C=\sqrt{25}\times\sqrt{2}+2\times\sqrt{9}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}+2\times 3\sqrt{2}=5\sqrt{2}+6\sqrt{2}\]
Donc \(C=11\sqrt{2}\), avec \(d=11\) et \(e=2\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe chaque morceau séparément.
\[(2x-3)^2=4x^2-12x+9\]
\[(2x-3)(x-2)=2x^2-4x-3x+6=2x^2-7x+6\]
Attention au signe moins devant le produit : il change tous les signes de \(2x^2-7x+6\).
\[A=4x^2-12x+9-2x^2+7x-6\]
Donc \(A=2x^2-5x+3\).
2. Le facteur \((2x-3)\) apparaît dans les deux termes : \((2x-3)^2=(2x-3)(2x-3)\). Ensuite, on le met en facteur.
\[A=(2x-3)\left[(2x-3)-(x-2)\right]=(2x-3)(2x-3-x+2)\]
Donc \(A=(2x-3)(x-1)\).
3. Alors on utilise la forme factorisée. Par ailleurs, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
\(2x-3=0\) donne \(x=\dfrac{3}{2}\) ; \(x-1=0\) donne \(x=1\).
L’équation a deux solutions : \(1\) et \(\dfrac{3}{2}\).
4. Ensuite, on remplace \(x\) par \(-2\) dans la forme factorisée :
\[A=(2\times(-2)-3)(-2-1)=(-7)\times(-3)=21\]
Vérification avec la forme développée : \(2\times 4-5\times(-2)+3=8+10+3=21\). Donc pour \(x=-2\), \(A=21\).
Corrigé de l’exercice 3 (Grenoble 2002) : PGCD et fraction irréductible
1. Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Or 682 et 496 sont tous les deux pairs : ils sont divisibles par 2. Donc 682 et 496 ne sont pas premiers entre eux.
2. On applique l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand par le plus petit, puis on recommence avec le diviseur et le reste.
| Division | Reste |
|---|---|
| \(682=496\times 1+186\) | 186 |
| \(496=186\times 2+124\) | 124 |
| \(186=124\times 1+62\) | 62 |
| \(124=62\times 2+0\) | 0 |
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(682 ; 496) = 62.
3. Pour obtenir une fraction irréductible en une seule étape, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : \(682\div 62=11\) et \(496\div 62=8\).
\[\dfrac{682}{496}=\dfrac{62\times 11}{62\times 8}=\dfrac{11}{8}\]
Donc \(\dfrac{682}{496}=\dfrac{11}{8}\), qui est irréductible puisque 11 et 8 sont premiers entre eux.
Corrigé de l’exercice 4 : statistiques sur des ampoules
1. L’effectif total est \(550+1\,460+1\,920+1\,640+430=6\,000\) ampoules.
Les ampoules qui durent moins de 1 400 heures sont celles des deux premières classes : \(550+1\,460=2\,010\) ampoules.
\[\dfrac{2\,010}{6\,000}\times 100=33{,}5\]
33,5 % des ampoules ont une durée de vie inférieure à 1 400 heures.
2. Les durées sont regroupées en classes : on remplace chaque classe par son centre (la moyenne de ses deux bornes), puis on calcule une moyenne pondérée par les effectifs.
| Classe | Centre | Effectif | Centre × effectif |
|---|---|---|---|
| [1 000 ; 1 200[ | 1 100 | 550 | 605 000 |
| [1 200 ; 1 400[ | 1 300 | 1 460 | 1 898 000 |
| [1 400 ; 1 600[ | 1 500 | 1 920 | 2 880 000 |
| [1 600 ; 1 800[ | 1 700 | 1 640 | 2 788 000 |
| [1 800 ; 2 000[ | 1 900 | 430 | 817 000 |
| Total | 6 000 | 8 988 000 |
\[\text{moyenne}=\dfrac{8\,988\,000}{6\,000}=1\,498\]
La durée de vie moyenne d’une ampoule est d’environ 1 498 heures.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (Grenoble 2002) : Pythagore, Thalès et tangente
1. Le triangle EBC est rectangle en B et son hypoténuse est [EC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[EC^2=EB^2+BC^2 \quad\text{donc}\quad BC^2=7^2-6^2=49-36=13\]
Une longueur est positive, donc \(BC=\sqrt{13}\) cm \(\approx 3{,}6\) cm.
2. Les points C, E, F sont alignés, les points B, E, G sont alignés, et les droites (BC) et (GF) sont parallèles (car (GF) est la droite (AF)). D’après le théorème de Thalès dans cette configuration « papillon » :
\[\dfrac{EB}{EG}=\dfrac{EC}{EF}=\dfrac{BC}{GF} \quad\text{soit}\quad \dfrac{6}{8}=\dfrac{7}{EF}\]
\[EF=\dfrac{8\times 7}{6}=\dfrac{56}{6}=\dfrac{28}{3}\]
Donc \(EF=\dfrac{28}{3}\) cm \(\approx 9{,}3\) cm.
3. D’abord, l’angle en G est droit : la droite (BC) est perpendiculaire à (BG) et (AF) est parallèle à (BC). Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre, donc (AF) est perpendiculaire à (BG). Puis le triangle ABG est rectangle en G.
Ensuite, \(BG=BE+EG=6+8=14\) cm (E est sur le segment [BG]).
Dans le triangle ABG rectangle en G, [AG] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{ABG}\) et [BG] le côté adjacent :
\[\tan\widehat{ABG}=\dfrac{AG}{BG} \quad\text{donc}\quad AG=14\times\tan 20^\circ\]
La valeur exacte est \(AG=14\tan 20^\circ\) cm \(\approx 5{,}1\) cm (la calculatrice donne 5,095…).
Corrigé de l’exercice 2 : milieu, vecteurs et distance dans un repère
1. On trace deux axes gradués de 1 cm en 1 cm, avec de la place de −3 à 9 en abscisse et de −2 à 9 en ordonnée, puis on place les trois points.
![Repère orthonormé avec le triangle ABC, A(-3 ; -2), B(-1 ; 9), C(9 ; 4) et le milieu M(3 ; 1) de [AC]](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2002-france-grenoble/gen-repere-abc.webp)
2. Les coordonnées du milieu d’un segment sont les moyennes des coordonnées de ses extrémités :
\[x_M=\dfrac{-3+9}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \qquad y_M=\dfrac{-2+4}{2}=\dfrac{2}{2}=1\]
Donc M(3 ; 1).
3. Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont \((x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)\) : « arrivée moins départ ».
\[\overrightarrow{AB}\,(-1-(-3)\ ;\ 9-(-2)) \quad\text{soit}\quad \overrightarrow{AB}\,(2\ ;\ 11)\]
\[\overrightarrow{AC}\,(9-(-3)\ ;\ 4-(-2)) \quad\text{soit}\quad \overrightarrow{AC}\,(12\ ;\ 6)\]
Donc \(\overrightarrow{AB}\,(2\ ;\ 11)\) et \(\overrightarrow{AC}\,(12\ ;\ 6)\).
4. Dans un repère orthonormé, \(BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\).
\[BC=\sqrt{(9-(-1))^2+(4-9)^2}=\sqrt{10^2+(-5)^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}\]
Donc \(BC=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx 11{,}2\) cm.
Corrigé de l’exercice 3 (Grenoble 2002) : l’Équateur et un arc de cercle
1. Le plan de l’Équateur passe par le centre O de la Terre (il est à égale distance des deux pôles). Sa section avec la sphère est donc un grand cercle, de même rayon que la sphère : 6 370 km.
\[\text{longueur}=2\pi R=2\times\pi\times 6\,370=12\,740\pi\]
L’Équateur mesure \(12\,740\pi\) km, soit environ 40 024 km.
2. Sur le schéma, les points G, B et A se suivent dans cet ordre sur l’Équateur. Ensuite, l’angle au centre qui intercepte l’arc AB est donc :
\[\widehat{AOB}=\widehat{GOA}-\widehat{GOB}=42^\circ-9^\circ=33^\circ\]
La longueur d’un arc est proportionnelle à son angle au centre : 360° correspondent à tout l’Équateur.
\[\text{arc } AB=12\,740\pi\times\dfrac{33}{360}=\dfrac{7\,007\pi}{6}\approx 3\,668{,}9\]
La portion de l’Équateur située en Afrique entre A et B mesure environ 3 669 km.
Problème
Corrigé de la partie A : vitesses moyennes du train
1. À l’aller, le train part à 6 h 01 et arrive à 9 h 01 : le trajet dure exactement 3 h.
\[v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{542}{3}\approx 180{,}67\]
La vitesse moyenne à l’aller est d’environ 181 km/h.
2. Au retour, de 19 h 04 à 21 h 58 : de 19 h 04 à 21 h 04 il s’écoule 2 h, puis 54 min jusqu’à 21 h 58. Puis le trajet dure 2 h 54 min. De plus, on convertit en heures décimales : \(54\ \text{min}=\dfrac{54}{60}\ \text{h}=0{,}9\ \text{h}\), donc la durée est 2,9 h.
\[v=\dfrac{542}{2{,}9}\approx 186{,}9\]
La vitesse moyenne au retour est d’environ 187 km/h.
Corrigé de la partie B : comparer deux tarifs
1. Avec l’option A : \(8\times 58=464\). Avec l’option B : \(29\times 8+300=232+300=532\).
Pour 8 trajets, il paie 464 € avec l’option A et 532 € avec l’option B.
2. Chaque trajet coûte 58 €, donc pour \(x\) trajets : \(y_A=58x\).
3. Une explication possible : « Avec l’option B, vous payez d’abord un forfait de 300 € pour l’année, puis chaque trajet vous coûte seulement 29 €, c’est-à-dire la moitié du prix normal. »
4. Un prix proportionnel au nombre de trajets s’écrirait \(y=kx\), et vaudrait 0 € pour 0 trajet. Ici, pour 0 trajet on paie déjà 300 €. Ensuite, on peut aussi comparer : 1 trajet coûte \(329\) € et 2 trajets coûtent \(358\) €, qui n’est pas le double de 329. Le prix de l’option B n’est donc pas proportionnel au nombre de trajets (c’est une fonction affine, pas linéaire).
5. \(f\) est une fonction linéaire : sa représentation est une droite passant par l’origine. Par ailleurs, il suffit d’un second point, par exemple \(f(10)=580\) : le point (10 ; 580).
\(g\) est une fonction affine : sa représentation est une droite qui coupe l’axe des ordonnées en 300. Deux points suffisent : (0 ; 300) et (10 ; 590), car \(g(10)=290+300=590\).
Avec l’échelle imposée (1 cm pour 1 trajet, 1 cm pour 50 €), le point (10 ; 580) se place à 10 cm à droite et à 11,6 cm en hauteur.
Corrigé de la partie B : comparer deux tarifs (suite)
6. a. L’option B est la plus avantageuse lorsque la droite de \(g\) est en dessous de celle de \(f\). Puis les deux droites se coupent en un point d’abscisse un peu supérieure à 10 (on trace le pointillé vertical depuis ce point jusqu’à l’axe des abscisses). À droite de ce point, la droite de \(g\) passe sous celle de \(f\).
Comme le nombre de trajets est entier, l’option B est plus avantageuse à partir de 11 trajets par an.
b. Puis on cherche les \(x\) tels que \(y_B\lt y_A\) :
\[29x+300\lt 58x \iff 300\lt 58x-29x \iff 300\lt 29x \iff x\gt \dfrac{300}{29}\]
Or \(\dfrac{300}{29}\approx 10{,}34\). Ensuite, le plus petit entier qui convient est 11. Vérification : pour 10 trajets, A coûte 580 € et B 590 € ; pour 11 trajets, A coûte 638 € et B 619 €. Ensuite, on retrouve bien au moins 11 trajets.
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Comment utiliser le corrigé corrigé Grenoble 2002
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. Puis en effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. De plus, en ce qui concerne le calcul littéral, repère d’abord la forme de l’expression (produit, carré, différence de deux carrés), puis choisis l’identité adaptée. Quant aux racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Grenoble 2002, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Grenoble 2002
Faut-il lire le corrigé corrigé Grenoble 2002 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2002. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, le calcul littéral, les racines carrées et les diviseurs communs. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Grenoble 2002
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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