Sujet du brevet de maths 2003 : France, groupement Est, septembre

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Activités numériques 12 points

Exercice 1

Montrer que les deux expressions numériques A et B ci-dessous sont égales à \(\dfrac{1}{2}\). Les calculs devront être détaillés.

\[\text{A} = \dfrac{2}{3} – \dfrac{5}{3} \times\dfrac{1}{10}\quad ;\quad \text{B} = \dfrac{4 \times 10^{-10} \times 3 \times 10^5 \times 10^{-1}}{6 \times \left(10^{-2}\right)^5 \times 2^2 \times 10^4}.\]

Exercice 2

On considère l’expression \(C = (3x – 5)^2 – (3x – 5)(2x + 3)\).

1. Développer et réduire l’expression \(C\).

2. Factoriser \(C\).

3. Résoudre l’équation : \((3x- 5)(x- 8) = 0\).

Exercice 3

On donne les nombres \(a = 1\,950\) et \(b = 3\,640\).

1. Calculer le PGCD des deux nombres \(a\) et \(b\).

2. En déduire la forme irréductible de la fraction \(\dfrac{a}{b}\).

Exercice 4

1. Résoudre le système suivant : \(\left\{\begin{array}{l} 6x + 9y = 1\,776 \\ x + y = 225 \end{array}\right.\)

2. Dans un grand parc d’attractions, le prix d’entrée est de 6 euros pour les enfants et de 9 euros pour les adultes.

On a acheté 225 entrées pour 1 776 euros. Combien d’enfants sont allés au parc d’attractions ?

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

1. Dans un repère orthonormé (O ; I, J) d’unité 1 cm, placer les points suivants : A(−4 ; −2) ; B(−1 ; −5) et C(4 ; 0).

2. Montrer que \(\text{AC} = 2\sqrt{17}\).

3. Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AC].

4. Montrer que \(\text{BM} = \sqrt{17}\). En déduire la nature du triangle ABC.

Exercice 2

1. Tracer un cercle \(\mathcal{C}\) de centre O et de rayon 4 cm. Placer deux points A et B sur ce cercle tels que \(\widehat{\text{AOB}} = 70°\). Construire le point C diamétralement opposé au point A sur le cercle \(\mathcal{C}\).

2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

3. Expliquer pourquoi la mesure de l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\) est 35°.

4. Calculer la longueur AB (donner la valeur arrondie au mm près).

5. Construire le point D, image du point C par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{BA}}\).

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Expliquer pourquoi le point D est aussi sur le cercle \(\mathcal{C}\).

Problème 12 points

Partie I

1. Tracer un triangle ABC tel que : AB = 12 cm ; AC = 9 cm et BC = 15 cm.

On laissera apparents les traits de construction.

2. Démontrer que ABC est un triangle rectangle en A.

3. Montrer que l’aire du triangle ABC est égale à 54 cm².

4. Placer M le point du segment [AB] tel que AM = 8 cm et N le point de [AC] tel que AN = 6 cm.

Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

5. Montrer que l’aire du triangle AMN est de 24 cm².

Dans la suite du problème, on considère la pyramide SABC de base le triangle ABC précédent et de hauteur [AS], tel que AS = 18 cm.

La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur.

Partie II

Dans cette partie, on place un point R sur le segment [SA] tel que : \(\text{AR} = \dfrac{2}{3}\,\text{AS}\).

1. Prouver que le volume V de la pyramide SABC est égal à 324 cm³.

2. Calculer la longueur AR.

3. Calculer le volume V’ de la pyramide RAMN.

4. Vérifier que : \(\dfrac{\text{V}}{\text{V}^{\prime}}= \left(\dfrac{2}{3}\right)^3\).

Partie III

Dans cette partie, on place un point \(R\) sur le segment [SA] tel que \(\text{S}R = x\).

1. Exprimer en fonction de \(x\) la longueur \(\text{A}R\).

2. Prouver que le volume V », de la pyramide RAMN peut s’écrire \(\text{V}^{\prime}^{\prime} = 8(18 – x)\).

3. Soit \(f\) la fonction affine définie par : \(f(x) = 8(18 – x)\).

a. Calculer \(f(0)\) et \(f(8)\).

b. Sur papier millimétré, tracer un repère orthogonal (O ; I, J). On placera l’origine O à gauche et en bas de la feuille. Ou prendra 1 cm pour 1 unité sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités, sur l’axe des ordonnées.

Tracer la représentation graphique de la fonction \(f\) dans ce repère, pour \(x\) compris entre 0 et 18.

c. Calculer la valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x) = 96\). Effectuer ensuite une vérification graphique.

(On fera apparaître sur le graphique les traits de construction permettant la lecture.)

Télécharger ou imprimer cette fiche «sujet du brevet de maths 2003 : France, groupement Est, septembre» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 201 064 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.