Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Clermont-Ferrand

Partie numérique

Exercice 1

Calculer en montrant les étapes intermédiaires et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :

\[A=\dfrac{1{,}6\times 10^{-10}}{4\times 10^{-9}}\qquad B=\left(\dfrac{11}{3}-7\right)\div\dfrac{25}{6}\qquad C=\dfrac{3}{7}-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{15}{4}.\]

Exercice 2

On donne l’expression algébrique : \(D=(3x+1)(6x-9)-(2x-3)^2\).

1. Montrer que \(D\) peut s’écrire sous la forme développée et réduite : \(D=14x^2-9x-18\).

2. Calculer \(D\) pour \(x=\dfrac{3}{2}\) puis pour \(x=2\). (écrire le deuxième résultat sous la forme \(a+b\sqrt{2}\), avec \(a\) et \(b\) entiers)

3. Factoriser \(6x-9\), puis factoriser \(D\).

4. En déduire les solutions de l’équation \(D=0\).

Exercice 3

La société ALO propose un abonnement téléphonique de 17,4 € par mois et 0,20 € la minute de communication.
La société OLA propose un abonnement téléphonique de 14,2 € par mois et 0,35 € la minute de communication.
On désigne par \(x\) le nombre de minutes de communication par mois.

1. Exprimer en fonction de \(x\) le montant d’une facture de ALO, puis le montant d’une facture de OLA.

2. Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir ALO ?

Partie géométrique

Exercice 1

Dans le plan rapporté au repère orthonormal (O, I, J) placer les points A(−7 ; 1) et B(1 ; 7)

1. a. Quelles sont les coordonnée des vecteurs \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{AB}\) ?
Démontrer que AOB est un triangle rectangle isocèle.

b. Soit \(C\) le cercle circonscrit au triangle AOB.
Calculer les coordonnées de son centre S et son rayon.

2. On note \(f\) la fonction affine définie par \(f(-7)=1\) et \(f(1)=7\).

a. Déterminer \(f\).

b. Quelle est la représentation graphique de la fonction \(f\) ?

Exercice 2

IR = 8 cm, RP = 10 cm, IP = 4,8 cm,
IM = 4 cm, IS = 10 cm, IN = 6 cm, IT = 6 cm.
(on ne demande pas de refaire la figure)

1. Démontrer que les droites (ST) et (RP) sont parallèles.

2. En déduire ST.

3. Les droites (MN) et (ST) sont-elles parallèles ? Justifier.

Problème

Lors d’un transport exceptionnel sur route, un objet est protégé dans une caisse dont la forme est un prisme droit représenté ci-contre.
Toutes les longueurs sont exprimées en mètres.

On considère une base du prisme, inscrite dans le rectangle FGCD : FG = 12 et GC = 8.
Sur le côté [GC], on a placé le point B tel que GB = \(3\sqrt{3}\).
Sur le côté [FG], on a placé :
le point E tel que EF = EG,
le point A tel que \(\widehat{GBA}=30^\circ\).
On rappelle que \(\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\) et \(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

1re partie

1. Exprimer \(\cos 30^\circ\) dans le triangle AGB. En déduire AB = 6.

2. Exprimer de même \(\sin 30^\circ\) dans le triangle AGB. En déduire AG = 3.

3. Calculer ED.

4. Vérifier que le pentagone ABCDE a un périmètre égal à \(39-3\sqrt{3}\).

5. Sachant que le prisme droit a une hauteur de 5 mètres, calculer son aire latérale.

2e partie

1. Calculer l’aire du rectangle FGCD.

2. Calculer les aires des triangles DFE et AGB.

3. En déduire la valeur exacte de l’aire du pentagone ABCDE.

4. Montrer que l’aire totale du prisme droit est égale à \(339-24\sqrt{3}\). En donner une valeur arrondie au dixième de mètres carrés près.

3e partie

On souhaite recouvrir cette caisse de deux couches de peinture. Un pot de peinture permet de recouvrir une surface de 25 m² pour la première couche ; la deuxième couche nécessite 35 % de peinture de moins que la première couche.
Pour des raisons pratiques on prendra pour valeur de l’aire totale, 298 m².
Calculer :

1. le nombre de pots nécessaires pour la première couche (résultat arrondi à l’unité près).

2. le nombre de pots nécessaires pour la seconde couche (résultat arrondi à l’unité près).

3. le nombre de pots indispensables pour la première couche (résultat arrondi à l’unité près).

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