Corrigé du brevet de maths 2001 : Académie de Grenoble

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Grenoble. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Grenoble 2001

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Grenoble 2001 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions et racines carrées » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Développer et résoudre » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Moyenne et médiane » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Vraies grandeurs dans un cube » (exercice 1 de géométrie). En outre, le corrigé explique « Vecteurs et rectangle » (exercice 2 de géométrie).

Ensuite, la correction reprend « Thalès, cercle et angles » (exercice 3 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Aires et prix des parcelles » (partie A). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Fonctions affines et partage » (partie B).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Grenoble 2001 sont les fractions, les racines carrées, les équations, la médiane et les statistiques et les vecteurs, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 (Grenoble 2001) : fractions, racines carrées et carré d’une différence

1. Calcul de A. Dans la parenthèse, la multiplication passe avant l’addition : \(3\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\), puis \(-4+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{16}{4}+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{13}{4}\).

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\[\text{A}=-\dfrac{13}{4}\times\dfrac{14}{3}=-\dfrac{13\times 2\times 7}{2\times 2\times 3}=-\dfrac{91}{6}\]

Donc \(\text{A}=-\dfrac{91}{6}\). Elle est irréductible car \(91=7\times 13\) et \(6=2\times 3\) n’ont aucun facteur premier commun.

Calcul de B. On calcule d’abord la parenthèse, puis la puissance : \((2-5)^2=(-3)^2=9\).

\[\text{B}=\dfrac{4-9}{4+5}=\dfrac{-5}{9}\]

Donc \(\text{B}=-\dfrac{5}{9}\), irréductible car 5 et 9 sont premiers entre eux.

2. Calcul de C. Ensuite, on cherche le plus grand carré parfait qui divise chaque nombre sous la racine : \(20=4\times 5\) et \(45=9\times 5\). Donc \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) et \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).

\[\text{C}=5\times 2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=10\sqrt{5}+3\sqrt{5}\]

Donc \(\text{C}=13\sqrt{5}\).

Calcul de D. Puis on réutilise les écritures précédentes :

\[\text{D}=5\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{5}\times\sqrt{5}=30\times\sqrt{5}\times\sqrt{5}\times\sqrt{5}=30\times 5\times\sqrt{5}\]

car \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\). Donc \(\text{D}=150\sqrt{5}\). Vérification par une autre voie : \(20\times 45\times 5=4\,500=900\times 5\), donc \(\sqrt{4\,500}=30\sqrt{5}\) et \(\text{D}=5\times 30\sqrt{5}=150\sqrt{5}\).

3. Alors on applique l’identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) avec \(a=4\) et \(b=\sqrt{5}\) :

\[\text{E}^2=4^2-2\times 4\times\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2=16-8\sqrt{5}+5\]

Donc \(\text{E}^2=21-8\sqrt{5}\).

Corrigé de l’exercice 2 : développer et résoudre \(x^2=5\)

1. Avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), où \(a=4x\) et \(b=3\) :

\[(4x-3)^2=16x^2-2\times 4x\times 3+9=16x^2-24x+9\]

Donc \((4x-3)^2=16x^2-24x+9\).

2. Ensuite, on développe le produit par double distributivité :

\[(x+3)(3-9x)=3x-9x^2+9-27x=-9x^2-24x+9\]

Attention au signe « moins » devant ce produit : il change tous les signes.

\[F=16x^2-24x+9-\left(-9x^2-24x+9\right)=16x^2-24x+9+9x^2+24x-9=25x^2\]

Comme \((5x)^2=5^2\times x^2=25x^2\), on a bien \(F=(5x)^2\).

3. On résout \(25x^2=125\), c’est-à-dire \(x^2=\dfrac{125}{25}=5\).

Un nombre dont le carré vaut 5 est \(\sqrt{5}\) ou son opposé \(-\sqrt{5}\). Les solutions sont donc \(x=\sqrt{5}\) et \(x=-\sqrt{5}\).

Contrôle : \(25\times\left(\sqrt{5}\right)^2=25\times 5=125\).

Corrigé de l’exercice 3 (Grenoble 2001) : moyenne et médiane de l’insolation

1. La moyenne est la somme des 11 valeurs divisée par 11.

\[324+325+257+234+285+261+213+226+308+259+206=2\,898\]

\[\dfrac{2\,898}{11}\approx 263{,}45\]

L’insolation moyenne en juillet sur cette période est d’environ 263 heures.

2. Pour trouver la médiane, on range les 11 valeurs dans l’ordre croissant :

206 ; 213 ; 226 ; 234 ; 257 ; 259 ; 261 ; 285 ; 308 ; 324 ; 325.

Il y a 11 valeurs, nombre impair : la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{11+1}{2}=6\). La 6e valeur est 259 : cinq valeurs sont inférieures et cinq sont supérieures. Oui, 259 est bien la médiane de la série.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : vraies grandeurs dans un cube

1. Le triangle GJC. Les points G, J et C sont tous sur la face BCGF, qui est un carré de côté 5 cm. J est le milieu de [FG], donc GJ = 2,5 cm, et GC = 5 cm. L’angle \(\widehat{\text{CGJ}}\) est un angle du carré BCGF : GJC est rectangle en G.

Construction : trace [GC] de 5 cm, puis la perpendiculaire à (GC) en G ; place J sur cette perpendiculaire à 2,5 cm de G ; relie J et C.

Par le théorème de Pythagore, \(\text{JC}^2=\text{GJ}^2+\text{GC}^2=2{,}5^2+5^2=6{,}25+25=31{,}25\), donc \(\text{JC}=\sqrt{31{,}25}\approx 5{,}6\) cm. Ce calcul n’est pas demandé, mais il te permet de contrôler ton tracé à la règle.

2. Le quadrilatère CDIJ. Regardons ses côtés.

• [CD] est une arête du cube : CD = 5 cm.
• I et J sont les milieux des côtés opposés [EH] et [FG] du carré EFGH, donc [IJ] est parallèle à [EF] et IJ = EF = 5 cm. Comme [EF] et [DC] sont aussi parallèles et de même longueur, IJ = CD et (IJ) est parallèle à (CD).
• Le triangle DHI est rectangle en H avec HD = 5 cm et HI = 2,5 cm : c’est le même triangle que GJC, donc DI = CJ \(\approx\) 5,6 cm.

Un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. De plus, l’arête (CD) est perpendiculaire à la face BCGF, donc à la droite (CJ) de cette face : l’angle \(\widehat{\text{DCJ}}\) est droit. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle : CDIJ est un rectangle de 5 cm sur \(\sqrt{31{,}25}\approx 5{,}6\) cm.

Construction : trace [CD] de 5 cm, élève les perpendiculaires en C et en D, reporte au compas la longueur CJ obtenue sur le triangle GJC (pas besoin de la valeur décimale) pour placer J et I, puis relie J et I.

Corrigé de l’exercice 2 : parallélogramme puis rectangle dans un repère

1. Les coordonnées d’un vecteur s’obtiennent par « extrémité moins origine ».

\[\overrightarrow{\text{AB}}\,\big(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A\big)=\big(-4-2\ ;\ 2-6\big)=\big(-6\ ;\ -4\big)\]

\[\overrightarrow{\text{DC}}\,\big(x_C-x_D\ ;\ y_C-y_D\big)=\big(-2-4\ ;\ -1-3\big)=\big(-6\ ;\ -4\big)\]

Donc \(\overrightarrow{\text{AB}}(-6\ ;\ -4)\) et \(\overrightarrow{\text{DC}}(-6\ ;\ -4)\). Ces deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc \(\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}\). Or si \(\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}\), le quadrilatère ABCD est un parallélogramme : oui, ABCD est un parallélogramme.

2. Dans un repère orthonormal, \(\text{MN}=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}\).

\[\text{AC}=\sqrt{(-2-2)^2+(-1-6)^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\]

\[\text{BD}=\sqrt{\big(4-(-4)\big)^2+(3-2)^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}\]

Donc \(\text{AC}=\text{BD}=\sqrt{65}\) (environ 8,06 unités).

ABCD est un parallélogramme dont les diagonales [AC] et [BD] ont la même longueur. Or un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle : ABCD est un rectangle.

Tu peux le contrôler par Pythagore : \(\text{AB}^2=36+16=52\), \(\text{BC}^2=(-2+4)^2+(-1-2)^2=4+9=13\) et \(52+13=65=\text{AC}^2\), donc l’angle en B est bien droit.

Corrigé de l’exercice 3 (Grenoble 2001) : Thalès, cercle et angles

1. Construction. Trace une droite et place-y M, puis B à 9 cm de M, puis F à 6 cm de B, du côté opposé à M. Le centre O du cercle de diamètre [BF] est le milieu de [BF] : BO = 3 cm. Trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm. Pour placer A, pique le compas en B avec un écartement de 5 cm : il coupe le cercle en deux points, prends-en un. Trace la droite (AB), prolongée au-delà de B, puis la parallèle à (AF) passant par M ; elle coupe (AB) en N, de l’autre côté de B par rapport à A.

2. Les droites (MF) et (NA) se coupent en B, et les droites (MN) et (AF) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{BN}}{\text{BA}}=\dfrac{\text{BM}}{\text{BF}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{FA}}\quad\text{donc}\quad\dfrac{\text{BN}}{5}=\dfrac{9}{6}\]

\[\text{BN}=\dfrac{5\times 9}{6}=\dfrac{45}{6}=7{,}5\]

Donc BN = 7,5 cm.

3. a. Le point A est sur le cercle de diamètre [BF]. Or si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle, et ce côté est l’hypoténuse. Donc ABF est rectangle en A.

b. Dans le triangle ABF rectangle en A, [BA] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{BFA}}\) et [BF] est l’hypoténuse :

\[\sin\widehat{\text{BFA}}=\dfrac{\text{BA}}{\text{BF}}=\dfrac{5}{6}\]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{BFA}}=\sin^{-1}\left(\dfrac{5}{6}\right)\approx 56{,}44^\circ\), donc \(\widehat{\text{BFA}}\approx 56^\circ\) au degré près.

4. L’angle \(\widehat{\text{BFA}}\) est un angle inscrit dans le cercle \(C\) qui intercepte l’arc \(\overset{\frown}{\text{BA}}\) ; l’angle \(\widehat{\text{BOA}}\) est l’angle au centre qui intercepte le même arc. La mesure d’un angle au centre est le double de celle d’un angle inscrit interceptant le même arc :

\[\widehat{\text{BOA}}=2\times\widehat{\text{BFA}}\approx 2\times 56{,}44^\circ\approx 112{,}9^\circ\]

Donc \(\widehat{\text{BOA}}\approx 113^\circ\). Si tu pars de la valeur arrondie 56°, tu obtiens 112°, ce qui est accepté à condition de préciser que c’est une valeur approchée.

Autre méthode : OA = OF (rayons), donc le triangle OAF est isocèle en O et \(\widehat{\text{OAF}}=\widehat{\text{OFA}}\approx 56{,}44^\circ\). Alors \(\widehat{\text{AOF}}\approx 180-2\times 56{,}44=67{,}1^\circ\), et comme B, O, F sont alignés, \(\widehat{\text{BOA}}\approx 180-67{,}1=112{,}9^\circ\). Même résultat.

Problème

Corrigé de la partie A : aires et prix des deux parcelles

1. a. Le prix est proportionnel à l’aire, avec 200 F par mètre carré. L’aire est donc le prix total divisé par le prix au mètre carré :

\[\dfrac{320\,000}{200}=1\,600\]

L’aire de la parcelle de Frédéric est 1 600 m².

b. ABCD est un carré, donc son aire vaut \(\text{AB}^2\). On cherche le nombre positif dont le carré vaut 1 600 : \(\text{AB}=\sqrt{1\,600}=40\). Le côté mesure AB = 40 m.

2. a. Le triangle CDE est rectangle en D (l’angle \(\widehat{\text{CDE}}\) est droit, car A, D et E sont alignés et \(\widehat{\text{ADC}}\) est un angle du carré). Ses côtés de l’angle droit sont CD = AB = 40 m et DE = 50 m :

\[\mathcal{A}_{\text{CDE}}=\dfrac{\text{CD}\times\text{DE}}{2}=\dfrac{40\times 50}{2}=1\,000\]

La parcelle de Gilles mesure 1 000 m².

b. \(1\,000\times 250=250\,000\) : Gilles a payé 250 000 F.

Corrigé de la partie B : partager le terrain avec deux fonctions affines

1. a. Le triangle CDM est rectangle en D, avec CD = 40 et DM = \(x\) :

\[A_{\text{CDM}}=\dfrac{40\times x}{2}=20x\]

Donc \(A_{\text{CDM}}=20x\).

b. Le terrain de Frédéric devient le carré privé du triangle CDM :

\[F_{\text{ABCM}}=1\,600-20x\]

Le terrain de Gilles devient son ancien triangle augmenté du triangle CDM :

\[G_{\text{CME}}=1\,000+20x\]

Donc \(F_{\text{ABCM}}=1\,600-20x\) et \(G_{\text{CME}}=20x+1\,000\).

Vérification directe : CME est un triangle de base ME = \(x+50\) et de hauteur CD = 40, donc son aire est \(\dfrac{40(x+50)}{2}=20x+1\,000\).

c. Puis on résout \(F=G\) :

\[1\,600-20x=1\,000+20x\]

\[1\,600-1\,000=20x+20x\quad\text{soit}\quad 600=40x\quad\text{donc}\quad x=\dfrac{600}{40}=15\]

Les aires sont égales pour \(x=15\) m. Chacun possède alors \(1\,600-300=1\,300\) m².

2. \(f\) et \(g\) sont des fonctions affines : leurs représentations graphiques sont des droites. Deux points suffisent pour chacune.

Avec 1 cm pour 2 unités en abscisses, la valeur 40 est à 20 cm de l’origine ; avec 1 cm pour 100 unités en ordonnées, 1 800 est à 18 cm. La droite de \(f\) descend (coefficient \(-20\) négatif), celle de \(g\) monte (coefficient 20 positif). Sur le graphique ci-dessous, les tracés en pointillés correspondent aux questions 3 et 4.

3. Ensuite, on a \(F_{\text{ABCM}}=f(x)\) et \(G_{\text{CME}}=g(x)\). Les aires sont égales lorsque \(f(x)=g(x)\), c’est-à-dire à l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Les droites se coupent au point de coordonnées (15 ; 1 300) : on retrouve \(x=15\), et l’ordonnée 1 300 donne l’aire commune.

4. a. M est le milieu de [DA], donc DM = 40 ÷ 2 = 20, soit \(x=20\). On trace la verticale d’abscisse 20 jusqu’à chaque droite, puis on lit les ordonnées : le terrain de Frédéric mesure 1 200 m² et celui de Gilles 1 400 m². (Contrôle : \(f(20)=1\,200\) et \(g(20)=1\,400\).)

b. On trace l’horizontale d’ordonnée 1 500 jusqu’à la droite de \(f\), puis on descend vers l’axe des abscisses : on lit \(x=5\). La verticale d’abscisse 5 coupe la droite de \(g\) à l’ordonnée 1 100 : le terrain de Gilles mesure alors 1 100 m². (Contrôle : \(-20\times 5+1\,600=1\,500\) et \(20\times 5+1\,000=1\,100\).)

Remarque : la somme des deux aires vaut toujours \(1\,600+1\,000=2\,600\) m², puisque le terrain change seulement de propriétaire.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Grenoble.

Bien réviser avec le corrigé corrigé Grenoble 2001

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Dans les questions sur les équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Grenoble 2001 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Grenoble 2001

Faut-il lire le corrigé corrigé Grenoble 2001 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2001. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, les équations et la médiane et les statistiques. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Grenoble 2001

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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