Sujet du brevet de maths 2000 : Académies de Lille et Paris, septembre

Partie numérique

Exercice 1

\(A=\dfrac{8}{3}+5:\left(1-\dfrac{2}{5}\right)\)

\(B=\dfrac{55\times 10^3\times 2^{10}}{10^4\times 2^9}\)

\(C=\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)\)

\(D=2\sqrt{45}+\sqrt{8l}-3\sqrt{20}+2\).

Démontrer que \(A=B=C=D\).

Exercice 2

\(E=(2x+3)^2+(x-5)(2x+3)\)

1. Développer et réduire \(E\).

2. Factoriser \(E\).

3. Calculer \(E\) pour \(x=-\dfrac{1}{3}\).

4. Résoudre l’équation : \((2x+3)(3x-2)=0\).

Exercice 3

Des élèves ont comparé les tarifs pratiqués dans 5 cinémas différents. Chacun d’entre eux a emmené quelques amis dans un cinéma et ils ont noté leurs dépenses dans le tableau suivant :

1. L’élève qui est allé au cinéma E a perdu le ticket, mais il sait que le tarif était le même que dans le cinéma D.
Calculer le prix payé par cet élève pour les 6 places achetées.

2. a. Déterminer le cinéma qui pratique le tarif le moins cher.

b. Calculer, en euros, la moyenne des tarifs pratiqués dans chaque cinéma.

Partie géométrique

Exercice 1

Sur le schéma ci-après :

1. Tracer \(\mathcal{A}_1\), image de \(\mathcal{A}\) par la symétrie de centre A

2. Tracer \(\mathcal{A}_2\), image de \(\mathcal{A}\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\).

3. Quelle transformation permet de passer directement de \(\mathcal{A}_1\) à \(\mathcal{A}_2\) ?

4. Tracer \(\mathcal{A}_3\), image de \(\mathcal{A}\) par la rotation de centre O qui transforme I en J.

Exercice 2

On sait que :

• EF = 4 cm ; FG= 3 cm ; EG = 5 cm ; AE = 7 cm ;
• \(\widehat{\text{DAB}}=30^\circ\) ;
• les points A, E et G sont alignés ;
• les points D, E et F sont alignés ;
• (AB) est la hauteur issue de A dans le triangle AED.

On considère la figure ci-dessus (les dimensions ne sont pas respectées).

1. Démontrer que EFG est un triangle rectangle.

2. En déduire que (FG) est parallèle à (AB).

3. Calculer BE et AB.

4. Calculer DB. On donnera la valeur exacte en s’aidant du tableau ci-dessous.

5. Calculer l’aire du triangle AED à 0,01 cm² près.

Exercice 3

M. Untel propose des boules de glace de 1,5 cm de rayon.
Calculer le volume d’une boule (arrondi à 1 cm³).
Des clients très gourmands ont réclamé des boules plus grosses.
M. Untel double le rayon de ses boules de glace. Par combien le volume d’une boule a-t-il été multiplié ?

Problème

Première partie

La figure ci-après est à compléter.

B et C sont deux points du cercle de centre O et de diamètre [AE].

1. Démontrer que ACE et ABE sont des triangles rectangles.

2. La parallèle à (EC) passant par B coupe [AC] en K.
La parallèle à (EB) passant par C coupe [AB] en J.
(BK) et (CJ) se coupent en H.
Démontrer que BHCE est un parallélogramme.

3. Placer le milieu A′ de [BC] et démontrer que A′ est le milieu de [HE].

4. Dans le triangle AHE, démontrer que : AH = 2 × OA′.

5. Démontrer que H est le point de concours des hauteurs.

Deuxième partie

Le triangle ABC, inscrit dans le cercle de centre O, est tel que : \(\widehat{\text{BOC}}=90^\circ\).

1. Combien mesure l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) ? Justifier la réponse.

2. A′ est le milieu de [BC]. Démontrer que : \(\text{OA}^{\prime}=\dfrac{1}{2}\text{BC}\).

3. On appelle H le point d’intersection des hauteurs du triangle ABC.
On rappelle que : AH = 2 × OA.
En déduire que : AH = BC.

Troisième partie

La figure ci-après est à compléter.

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