Équations diophantiennes et valuations : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : équations diophantiennes et valuations

Le sujet du contrôle : équations diophantiennes et valuations

Exercice 1 – Euclide étendu sur 47 et 17 (4 points)

Un rectangle de 47 unités sur 17 est découpé en carrés : on y place d’abord le plus grand carré possible autant de fois que l’on peut, puis on recommence dans le rectangle restant, et ainsi de suite.

1. Écrire l’algorithme d’Euclide appliqué à 47 et 17. Expliquer alors le lien entre les quotients obtenus et le découpage de la figure, puis préciser ce que représente le côté du plus petit carré. (1 point)
2. En remontant les calculs, déterminer deux entiers \(u\) et \(v\) tels que \(47u + 17v = 1\). (1 point)
3. En déduire l’inverse de 17 modulo 47, sous la forme d’un entier compris entre 0 et 46. (1 point)
4. Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) la congruence \(17x \equiv 5 \pmod{47}\). (1 point)

Exercice 2 – Une équation diophantienne et ses solutions positives (4 points)

Pour une sortie au planétarium, une association paie 21 € par adulte et 15 € par enfant. Le trésorier, Gaspard, a dépensé exactement 312 €, mais il a oublié combien de billets de chaque sorte il a achetés. On note donc \(x\) le nombre d’adultes et \(y\) le nombre d’enfants, et l’on étudie l’équation

\[(E) : \quad 21x + 15y = 312.\]

La figure représente la droite \(D\) d’équation \(21x + 15y = 312\) dans un quadrillage.

1. Justifier qu’une dépense totale de 313 € aurait été impossible. (0,5 point)
2. Montrer que \((E)\) équivaut à une équation à coefficients premiers entre eux, puis en trouver une solution particulière. (1 point)
3. Déterminer l’ensemble des couples \((x, y) \in \mathbb{Z}^2\) solutions de \((E)\), en citant le théorème utilisé. (1,5 point)
4. Combien de compositions du groupe sont possibles ? Placer ensuite les points correspondants sur la droite \(D\). (1 point)

Exercice 3 – Valuations p-adiques (3 points)

Pour un nombre premier \(p\) et un entier \(n \geq 1\), on note \(v_p(n)\) l’exposant de \(p\) dans la décomposition de \(n\) en facteurs premiers.

1. Décomposer \(N = 18144\) et \(M = 145800\) en facteurs premiers. Écrire alors leur PGCD et leur PPCM sous forme de produits de puissances de nombres premiers. (1 point)
2. Calculer \(v_5(30!)\) et \(v_2(30!)\). Déterminer ensuite le nombre de zéros par lesquels se termine l’écriture décimale de \(30!\). (1 point)
3. À l’aide de la valuation 2-adique, démontrer qu’il n’existe aucun couple d’entiers \(a, b \geq 1\) tel que \(a^3 = 12\,b^3\). Que peut-on en conclure pour le réel \(\sqrt[3]{12}\) ? (1 point)

Exercice 4 – Vrai ou faux justifié (4 points)

Pour chaque assertion, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une réponse sans justification ne rapporte aucun point. La figure donne, pour \(k\) allant de 0 à 11, le reste de la division de \(2^k\) par 13.

1. Le reste de la division euclidienne de \(2^{2026}\) par 13 est égal à 4. (1 point)
2. Pour tous entiers \(a\), \(b\), \(c\) non nuls, si \(a\) divise \(bc\) et ne divise pas \(b\), alors \(a\) divise \(c\). (1 point)
3. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le PGCD de \(n\) et de \(n + 6\) appartient à \(\{1\,;2\,;3\,;6\}\). (1 point)
4. Pour tout entier \(n\), l’entier \(n^7 – n\) est divisible par 42. (1 point)

Exercice 5 – Problème : un chiffrement par puissances modulo 17 (5 points)

Léonie code chaque message \(m \in \{0, 1, \ldots, 16\}\) par le reste \(c\) de la division de \(m^3\) par 17. Pour décoder, son correspondant Malik élève \(c\) à une puissance \(d\) bien choisie, puis prend le reste modulo 17.

1. Effectuer la division euclidienne de 16 par 3. En déduire l’unique entier \(d \in \{1, \ldots, 15\}\) tel que \(3d \equiv 1 \pmod{16}\). (1 point)
2. Énoncer le petit théorème de Fermat, puis l’appliquer au nombre premier 17. (0,5 point)
3. Démontrer que \(m^{33} \equiv m \pmod{17}\) pour tout \(m \in \{0, 1, \ldots, 16\}\). Expliquer alors pourquoi Malik retrouve \(m\) en calculant le reste de \(c^{11}\) modulo 17. (1,5 point)
4. Malik reçoit \(c = 5\). Calculer le message \(m\), en passant par les restes de \(5^2\), \(5^4\) et \(5^8\) modulo 17, puis vérifier le résultat. (1 point)
5. Léonie propose plutôt de coder par le reste de \(m^4\) modulo 17. Montrer que ce codage ne convient pas, puis relier ce défaut au PGCD de 4 et 16. (1 point)

Réviser équations diophantiennes et valuations avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours pgcd, bézout, gauss et nombres premiers dans z ; entraînez-vous sur les exercices pgcd, bézout, gauss et nombres premiers dans z avant de retenter le sujet.

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