Coefficients de Fourier et sommes de séries : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « coefficients de Fourier et sommes de séries », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur les séries de Fourier des fonctions \(2\pi\)-périodiques, au cours du semestre 4 de la licence. Vous commencerez par une question de cours sur l’orthogonalité des exponentielles et l’inégalité de Bessel. Ensuite, un polynôme trigonométrique se traite sans aucune intégrale, par simple linéarisation. Les deux exercices suivants calculent les coefficients de Fourier d’un créneau puis d’un signal triangulaire ; le théorème de Dirichlet et la formule de Parseval fournissent alors \(\zeta(2)\) et \(\zeta(4)\). Enfin, le problème établit une égalité surprenante entre deux sommes faisant intervenir \(\sin n\).
Ce qu’évalue le contrôle : coefficients de Fourier et sommes de séries
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Coefficients de Fourier, Dirichlet et Parseval (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer l’orthonormalité des exponentielles et en déduire l’inégalité de Bessel
- Calculer les coefficients de Fourier d’un créneau et d’un signal triangulaire par intégration par parties
- Vérifier les hypothèses du théorème de Dirichlet pour sommer une série numérique en un point
- Appliquer la formule de Parseval pour obtenir zêta(2) et zêta(4)
- Expliquer pourquoi la convergence d’une série de Fourier n’est pas uniforme en présence d’un saut
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul, regardez la parité de la fonction : elle annule d’emblée la moitié des coefficients. Pour appliquer Dirichlet, citez les hypothèses une à une, car une fonction de classe \(C^1\) par morceaux ne converge vers sa valeur qu’aux points de continuité. Dans Parseval, n’oubliez pas le terme constant \(\frac{a_0^2}{4}\), puis séparez les indices pairs et impairs pour passer à \(\zeta\). Contrôlez enfin chaque résultat par une valeur numérique approchée.
Le sujet du contrôle : coefficients de Fourier et sommes de séries
Exercice 1 – Orthogonalité et inégalité de Bessel (3 points)
Dans tout le sujet, \(E\) désigne l’espace des fonctions \(2\pi\)-périodiques, continues par morceaux, de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\). On le munit du produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\overline{g(t)}\,\mathrm{d}t\) et de la norme associée \(\|f\|_2\). Pour \(n \in \mathbb{Z}\), on note \(e_n(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}nt}\) et \(c_n(f) = \langle f, e_n \rangle\).
Pour une fonction réelle, on utilise aussi \(a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt)\,\mathrm{d}t\) et \(b_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt)\,\mathrm{d}t\). Sa série de Fourier s’écrit alors \(\frac{a_0}{2} + \sum_{n \geq 1} \left(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right)\), et sa somme partielle de rang \(N\) vaut \(S_N(f) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,e_n\), qui coïncide avec la forme réelle arrêtée au rang \(N\).
- Calculer \(\langle e_p, e_q \rangle\) pour tous entiers relatifs \(p\) et \(q\). Que peut-on en conclure pour la famille \((e_n)_{n \in \mathbb{Z}}\) ?
- Soit \(f \in E\) et \(N \in \mathbb{N}\). Montrer que \(f – S_N(f)\) est orthogonale à \(e_k\) pour tout \(k\) tel que \(|k| \leq N\). En déduire l’inégalité de Bessel : \(\sum_{n=-N}^{N} |c_n(f)|^2 \leq \|f\|_2^2\).
- Justifier enfin que \(c_n(f)\) tend vers \(0\) quand \(|n|\) tend vers \(+\infty\).
Exercice 2 – Un polynôme trigonométrique déguisé (3 points)
On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = 4\sin^3 x + 2\cos^2 x\). Aucune intégrale n’est à calculer dans cet exercice.
- Linéariser \(h(x)\), puis donner tous les coefficients \(a_n(h)\) et \(b_n(h)\).
- Écrire ensuite les coefficients exponentiels \(c_n(h)\) non nuls.
- Déterminer la valeur de \(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} h(x)^2\,\mathrm{d}x\) à l’aide de la formule de Parseval.
- Donner sans calcul \(\int_{0}^{2\pi} h(x) \sin(3x)\,\mathrm{d}x\) et \(\int_{0}^{2\pi} h(x) \cos(5x)\,\mathrm{d}x\).
Exercice 3 – Un créneau pair, Dirichlet et Parseval (5 points)
Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique et paire définie sur \([0\,;\pi]\) par \(f(x) = 1\) si \(0 \leq x < \frac{\pi}{2}\), \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}\) et \(f(x) = 0\) si \(\frac{\pi}{2} < x \leq \pi\). La figure représente \(f\) sur deux périodes ; les points orange marquent les valeurs prises aux sauts.
- Justifier que \(b_n(f) = 0\) pour tout \(n\), puis calculer \(a_0(f)\) et \(a_n(f)\) pour \(n \geq 1\). Distinguer alors les indices pairs et impairs.
- Énoncer le théorème de Dirichlet et vérifier que \(f\) en satisfait les hypothèses. En déduire la valeur de \(\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{2p+1}\).
- À l’aide de la formule de Parseval, montrer que \(\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(2p+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}\). En déduire que \(\zeta(2) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).
- Écrire la somme partielle \(S_3(f)\), puis esquisser son graphe sur \([-\pi\,;\pi]\) en le superposant à celui de \(f\). La série de Fourier de \(f\) converge-t-elle uniformément sur \(\mathbb{R}\) ?
Exercice 4 – Un signal triangulaire et les puissances quatrièmes (4 points)
Soit \(t\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie sur \([-\pi\,;\pi]\) par \(t(x) = \frac{\pi}{2} – |x|\). Son graphe, en dents régulières, est donné ci-dessous.
- Montrer que \(a_0(t) = 0\), puis que, pour \(n \geq 1\), \(a_n(t) = \frac{2\left(1 – (-1)^n\right)}{\pi n^2}\).
- Prouver que la série de Fourier de \(t\) converge normalement sur \(\mathbb{R}\) et que sa somme vaut \(t(x)\) en tout réel \(x\).
- Calculer \(\|t\|_2^2\), puis en déduire \(\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(2p+1)^4}\).
- Montrer finalement que \(\zeta(4) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}\).
Exercice 5 – Problème : deux sommes qui coïncident (5 points)
Ce problème établit que \(\sum_{n \geq 1} \frac{\sin n}{n}\) et \(\sum_{n \geq 1} \frac{\sin^2 n}{n^2}\) ont la même somme. On utilise deux fonctions \(2\pi\)-périodiques. D’une part, la dent de scie \(s\) vaut \(s(x) = \frac{\pi – x}{2}\) pour \(0 < x < 2\pi\) et \(s(0) = 0\). D’autre part, la porte \(w\) vaut \(1\) sur \([-1\,;1]\) et \(0\) sur \([-\pi\,;-1[\) comme sur \(]1\,;\pi]\).
Partie A – La dent de scie
- Vérifier que \(s\) est impaire, puis montrer que \(b_n(s) = \frac{1}{n}\) pour tout \(n \geq 1\).
- Justifier que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n} = \frac{\pi – x}{2}\) pour tout \(x \in \left]0\,;2\pi\right[\). Donner alors \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n}{n}\) et \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(2n)}{n}\).
Partie B – La porte
- Calculer \(a_0(w)\) et \(a_n(w)\) pour \(n \geq 1\).
- Appliquer la formule de Parseval à \(w\) et prouver que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 n}{n^2} = \frac{\pi – 1}{2}\). Conclure.
- La série \(\sum_{n \geq 1} \frac{\sin(nx)}{n}\) converge-t-elle uniformément sur \(\mathbb{R}\) ? Justifier.
Réviser coefficients de Fourier et sommes de séries avant le contrôle
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