Degré d’un polynôme
En bref : Le degré d’un polynôme se lit sur son terme dominant : c’est la puissance de x la plus haute qui subsiste, avec un coefficient non nul, après développement et réduction.
PremièreCalcul littéral
Définition : Degré d'un polynôme
Pour trouver le degré d’un polynôme \(P\), on développe et l’on réduit son expression, puis on regarde quelle puissance de \(x\) survit tout en haut. Pour \(P(x)=4x^5-x^2+7\), il vaut \(5\). Une constante non nulle est de degré \(0\), tandis que le polynôme nul n’a pas de degré.
Deux règles servent souvent : dans un produit, les degrés des facteurs s’additionnent ; dans une somme, le résultat ne dépasse pas le plus haut des degrés, mais il peut être plus petit si les termes de plus haut degré s’annulent. Il faut donc toujours développer et réduire avant de conclure.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de préciser la nature d’un polynôme : affine, du second degré, du troisième degré.
- Une expression est donnée sous forme factorisée ou en plusieurs morceaux et il faut en dégager le terme dominant.
- On cherche le nombre maximal de racines possibles ou l’allure de la courbe à l’infini.
- Un calcul de somme ou de produit de polynômes précède la question sur leur degré.
La méthode
- Pour connaître le degré d’un polynôme présenté en produit, commencer par développer l’expression.
- Réduire en regroupant les termes de même puissance de \(x\), pour que les annulations apparaissent.
- Repérer la plus grande puissance dont le coefficient n’est pas nul : son exposant donne le degré.
- Pour un produit, additionner directement les degrés des facteurs sans tout développer.
Degré d'un polynôme : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer le degré du polynôme \(P(x)=(2x-1)(x^2+3)-2x^3\), puis celui de \(Q(x)=(x^4-3x)(5x^2+1)\).
Corrigé
On développe : \((2x-1)(x^2+3)=2x^3+6x-x^2-3\). On retranche \(2x^3\) : \(P(x)=-x^2+6x-3\). Les termes de degré \(3\) se sont annulés, donc \(P\) est de degré \(2\), et non \(3\).
Pour \(Q\), un produit, on additionne les degrés : \(x^4-3x\) est de degré \(4\) et \(5x^2+1\) de degré \(2\). Ainsi \(Q\) est de degré \(6\), sans développement.
À toi de jouer
Question 1
Quel est le degré de la constante \(7\) ? Que dire du polynôme nul ?
Voir la réponse
La constante non nulle \(7=7x^0\) est de degré \(0\). Le polynôme nul n’a pas de degré, car aucun coefficient n’est non nul.
Question 2
Quel est le degré de \((x^3+x)-(x^3-4x^2)\) ?
Voir la réponse
On réduit : \(x^3+x-x^3+4x^2=4x^2+x\). Le degré est \(2\).
Ne pas confondre Degré d'un polynôme et Coefficient
Dans \(3x^5\), le coefficient est le nombre qui multiplie : \(3\). Le degré est l’exposant de \(x\) : \(5\). Un polynôme peut avoir un très grand coefficient et un petit degré, comme \(1000x\), ou l’inverse, comme \(x^8\). Seul l’exposant décide du degré.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Polynôme
- Fonction polynôme
- Trinôme du second degré
- Équation du second degré
- Racine d'un polynôme
- Développer
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