Forme développée
En bref : La forme développée d’un trinôme est son écriture en somme de termes ordonnés par puissances décroissantes, ax² + bx + c, sans parenthèses ni produits à effectuer.
PremièreCalcul littéral
Définition : Forme développée
Une expression est sous forme développée lorsque tous les produits ont été effectués et que les termes semblables sont regroupés : il ne reste qu’une somme de monômes, rangés par exposants décroissants. Pour un trinôme, c’est \(ax^2+bx+c\).
Cette présentation est celle du calcul : elle permet de comparer facilement deux expressions, de les additionner ou de lire le degré. Elle donne aussi une information sur la courbe : \(c=f(0)\) est l’ordonnée à l’origine et le signe de \(a\) indique si la parabole s’ouvre vers le haut ou vers le bas. En revanche, elle ne montre ni les racines ni le sommet.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de développer et de réduire une expression avec des parenthèses.
- Il faut prouver que deux expressions différentes en apparence sont égales.
- On cherche l’ordonnée à l’origine d’une fonction polynôme.
- On doit identifier les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) pour calculer un discriminant.
La méthode
- Développer chaque produit en distribuant, sans oublier les signes devant les parenthèses.
- Regrouper les termes de même puissance de \(x\) : les \(x^2\) ensemble, les \(x\) ensemble, les constantes ensemble.
- Ranger le résultat par exposants décroissants pour obtenir la forme développée.
- Contrôler avec une valeur simple de \(x\), par exemple \(x=0\) ou \(x=1\), dans les deux écritures.
Forme développée : exemple corrigé
Énoncé
Mettre sous forme développée \(A(x)=(3x-2)^2-(x+1)(x-5)\), puis donner son ordonnée à l’origine.
Corrigé
D’abord \((3x-2)^2=9x^2-12x+4\) et \((x+1)(x-5)=x^2-5x+x-5=x^2-4x-5\). On retranche : \(A(x)=9x^2-12x+4-x^2+4x+5\).
On regroupe : \(9x^2-x^2=8x^2\), \(-12x+4x=-8x\), \(4+5=9\). La forme développée est \(A(x)=8x^2-8x+9\). Son ordonnée à l’origine est \(A(0)=9\).
À toi de jouer
Question 1
Développer et réduire \((x+6)(x-6)\).
Voir la réponse
\(x^2-6x+6x-36=x^2-36\).
Question 2
Donner la forme développée de \(2(x-1)^2+3\).
Voir la réponse
\(2(x^2-2x+1)+3=2x^2-4x+2+3=2x^2-4x+5\).
Ne pas confondre Forme développée et Forme factorisée
La forme développée est une somme de termes, comme \(x^2-36\). La forme factorisée est un produit de facteurs, comme \((x-6)(x+6)\). Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l’inverse. Chaque forme sert à autre chose : la somme pour additionner et comparer, le produit pour trouver les valeurs qui annulent l’expression.
Pour aller plus loin
Cours
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