Plan
En bref : Un plan de l’espace est une surface plane illimitée, entièrement déterminée par trois points non alignés ; on le décrit par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par une équation cartésienne.
TerminaleGéométrie dans l'espace
Définition : Plan
Un plan est l’idée mathématique d’une feuille parfaitement plate qui s’étendrait à l’infini. Trois points non alignés \(A\), \(B\), \(C\) fixent une seule surface, notée \((ABC)\).
Un point \(M\) est sur cette surface exactement lorsque \(\overrightarrow{AM}=s\,\overrightarrow{AB}+t\,\overrightarrow{AC}\) pour deux réels \(s\) et \(t\). On peut aussi caractériser le plan par une équation \(ax+by+cz+d=0\), où \((a\,;\,b\,;\,c)\) est un vecteur normal.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne trois points d’un solide et demande une équation de la surface qu’ils définissent.
- On étudie une section de cube ou de pyramide par une face ou un plan de coupe.
- Il faut trouver l’intersection d’un plan et d’une droite, ou deux plans qui se coupent.
- On calcule la distance d’un point à une surface plane.
La méthode
- Vérifier que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires, donc que les trois points ne sont pas alignés.
- Chercher un vecteur \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et à \(\overrightarrow{AC}\) en résolvant deux équations.
- Écrire \(ax+by+cz+d=0\) et déterminer \(d\) avec les coordonnées de \(A\).
- Vérifier avec \(B\) et \(C\) : leurs coordonnées doivent satisfaire l’équation.
Plan : exemple corrigé
Énoncé
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;\,0\,;\,2)\), \(B(3\,;\,1\,;\,1)\) et \(C(2\,;\,2\,;\,4)\). Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
Corrigé
On a \(\overrightarrow{AB}(2\,;\,1\,;\,-1)\) et \(\overrightarrow{AC}(1\,;\,2\,;\,2)\), non colinéaires. Un vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) vérifie \(2a+b-c=0\) et \(a+2b+2c=0\). On trouve \(c=2a+b\), puis \(5a+4b=0\) : par exemple \(a=4\), \(b=-5\), \(c=3\).
Avec \(A\) : \(4-0+6+d=0\), donc \(d=-10\). Cette surface a pour équation \(4x-5y+3z-10=0\) ; \(B\) donne \(12-5+3-10=0\).
À toi de jouer
Question 1
Les points \(P(0\,;\,0\,;\,0)\), \(Q(1\,;\,2\,;\,3)\), \(R(2\,;\,4\,;\,6)\) déterminent-ils une unique surface plane ?
Voir la réponse
Non : \(\overrightarrow{PR}=2\overrightarrow{PQ}\), les points sont alignés ; une infinité de surfaces planes les contiennent.
Question 2
Le point \((2\,;\,0\,;\,1)\) vérifie-t-il \(4x-5y+3z-10=0\) ?
Voir la réponse
\(8-0+3-10=1\), différent de \(0\) : non.
Ne pas confondre Plan et Droite
Une droite est un objet à une dimension : un point et un vecteur directeur la définissent. Ici, on travaille à deux dimensions : il faut un point et deux vecteurs non colinéaires, ou un vecteur normal. Une seule équation à trois inconnues suffit, alors que deux sont nécessaires pour une droite de l’espace.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Équation cartésienne d'un plan
- Points et vecteurs coplanaires
- Positions relatives dans l'espace
- Repère de l'espace
- Vecteur normal
- Droite
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