Trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème à imprimer en PDF.

Sommaire

La trigonométrie dans le triangle rectangle avec un cours de maths en 3ème qui vous permettra d’assimiler les différentes formulés avec un moyen mnémotechnique. L’élève de vra connaître la formule du cosinus cos), du sinus (sin) et de la tangente d’un angle aigu. Cette leçon nous fournira deux nouveaux outils afin de calculer une longueur ou la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle en quatrième.

0.Introduction :

La trigonométrie est un domaine des mathématiques qui traite des relations entre les longueurs et les angles dans un triangle.

Le mot trigonométrie provient du grec trigonos qui signifie « triangulaire » et métron qui signifie « mesure ».

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus vers – 4 000.

I.Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu :

1.Vocabulaire

2. Formules de trigonométrie dans le triangle rectangle :

Activité de découverte des formules de trigonométrie :

Propriété :

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Dans un triangle rectangle, nous avons les formules de trigonométrie suivantes

Moyen mnémotechnique :

Exemple :

Remarque :

Pour retenir facilement ces formules, on peut utiliser le moyen mnémotechnique suivant :SOH-CAH-TOA qui correspond aux initiales en gras dans les formules précédentes.
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
La tangente d’un angle aigu est un nombre strictement positif.

Exemple :

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Calculer la valeur de AB arrondie au millimètre.

Dans le triangle ABC rectangle en A :

Je connais :

AC=8 cm : côté opposé à l’angle $\widehat{B}$ ;
$\widehat{B}=65^{\circ}$

Je cherche :

AB : côté adjacent à l’angle $\widehat{B}$ .

Formule : tangente

$Tan(\widehat{B})=\frac{AC}{AB}$

$\frac{Tan(65^{\circ})}{1}=\frac{8}{AB}$

donc

$AB=\frac{8\times\,1}{tan(65^{\circ})}\\AB\approx\,3,7\,cm$

Exemple :

Dans le triangle rectangle LOE, Calculer OE.

On connait :

l’angle $\widehat{L}$ ;
la longueur OL (hypoténuse)

On cherche :

la longueur OE (opposé)

Formule :

La seule formule qui fait apparaître les mots « hypoténuse » et « opposé » est le sinus.

$sin\widehat{L}=\frac{OE}{OL}$

$\frac{sin\,62^{\circ}}{1}=\frac{OE}{5,4}$

En utilisant la propriété du produit en croix :

$OE=\frac{5,4\times\,sin62^{\circ}}{1}\approx\,4,77\,cm$

Propriété :

Soit ABC un triangle rectangle en C.

Pour tout angle aigu $\alpha$ , nous avons :

$0\leq\,cos(\alpha\,)\leq\,1\leq\,sin(\alpha\,)\leq\,1$

Preuve :

Le cosinus et le sinus sont des quotients de longueurs donc $cos(\alpha\,)\geq\,0$ et $sin(\alpha\,)\geq\,0$ .

De plus $cos(\alpha\,)=\frac{adjacent}{hypotenuse}\leq\,\frac{hypotenuse}{hypotenuse}\leq\,1$ .

De même, $sin(\alpha\,)=\frac{oppose}{hypotenuse}\leq\,\frac{hypotenuse}{hypotenuse}\leq\,1$ .

II. Calcul de la mesure d’un angle avec les formules de trigonométrie :

Activité de découverte :

Règle :

Afin de calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle ( connaissant son cosinus ou sinus ou tangente), nous utilisons la calculatrice en mode DEGRE (DEG).Les touches qui nous permettent de calculer la mesure de l’angle aigu sont : $arccos\,ou\,cos^{-1};arcsin\,ou\,sin^{-1};arctan\,ou\,tan^{-1}$ .

Exemples :

a. Si $cos\alpha\,=0,5$ alors $\alpha\,=arccos(0,5)=60^{\circ}$ .

b. Si $sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$ alors $x=arcsin\left\,(\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\right\,)=\,45^{\circ}$ .

c. Soit PQR un triangle rectangle en R.

Calculer la mesure de l’angle $\widehat{P}$ arrondie au degré.

Dans le triangle PQR rectangle en R :

Je connais :

PR=5,5 cm : côté adjacent à $\widehat{P}$ ;
QR=3,3 cm : côté opposé à $\widehat{P}$ .

Je cherche :

$\widehat{P}$

Formule : TANGENTE

$Tan(\widehat{P})=\frac{QR}{PR}$

$Tan(\widehat{P})=\frac{3,3}{5,5}$

$\widehat{P}=arctan(\frac{3,3}{5,5})$

$\widehat{P}\approx\,31^{\circ}$

Exemple :

Dans le triangle rectangle FUN, déterminer la mesure de l’angle $\widehat{N}$ arrondie au degré.

Dans ce triangle rectangle,

on connaît :

la longueur UN (adjacent);
la longueur FU (opposé).

La seule formule qui fait apparaître les mots « adjacent » et « opposé » est la tangente.

$Tan(\widehat{N})=\frac{UF}{UN}$

$Tan(\widehat{N})=\frac{5,5}{8,2}$

On utilise la calculatrice en mode DEGRE et la touche « arctan ».

$\widehat{N}=Arctan(\frac{5,5}{8,2})\approx\,34^{\circ}$ .

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