Cercle et triangle : corrigé des exercices de maths en CM2 en PDF

Rappel : Dans un cercle de centre C :

• Un rayon est un segment qui relie le centre du cercle à un point du cercle

• Un diamètre est un segment qui passe par le centre et relie deux points du cercle

Analyse de chaque segment :

[AM] : Le segment relie le point A (sur le cercle) au point M (sur le cercle) en passant par le centre C.

→ Diamètre : oui | Rayon : non

[RC] : Le segment relie le point R (sur le cercle) au centre C.

→ Diamètre : non | Rayon : oui

[IE] : Le segment relie le point I (sur le cercle) au point E (sur le cercle) en passant par le centre C.

→ Diamètre : oui | Rayon : non

[EM] : Le segment relie le point E (sur le cercle) au point M (sur le cercle) sans passer par le centre C.

→ Diamètre : non | Rayon : non

[AC] : Le segment relie le point A (sur le cercle) au centre C.

→ Diamètre : non | Rayon : oui

Exercice 2 – repasser des cercles.

Analyse de la figure :

Sur la droite horizontale, on observe 5 points alignés : C, I, A, J, B avec A au centre.

Cercle rouge :

Centre A et rayon 4 cm. Ce cercle passe par les points I et J qui sont situés à 4 cm de part et d’autre du point A.

Cercles verts :

Diamètre 4 cm, donc rayon cm.

• Premier cercle vert : centre I, rayon 2 cm

• Deuxième cercle vert : centre J, rayon 2 cm

Cercle bleu :

Diamètre [IB]. Le centre est le milieu du segment [IB] et le rayon est .

Comme IB = IA + AJ + JB = 4 + 4 + 4 = 12 cm, le rayon du cercle bleu est cm.

Cercle noir :

Diamètre [CJ]. Le centre est le milieu du segment [CJ] et le rayon est .

Comme CJ = CI + IA + AJ = 4 + 4 + 4 = 12 cm, le rayon du cercle noir est cm.

Exercice 3 – tracer un cercle de centre A.

Étape 1 : Tracer le cercle de centre A et de rayon 2,5 cm.

• Placer un point A sur la feuille

• Régler le compas sur une ouverture de 2,5 cm

• Poser la pointe du compas sur le point A

• Tracer le cercle complet

Étape 2 : Tracer en bleu deux rayons du cercle .

• Choisir deux points sur le cercle (par exemple B et D)

• Tracer en bleu les segments [AB] et [AD]

• Ces segments sont des rayons car ils relient le centre A à des points du cercle

Étape 3 : Tracer en rouge deux diamètres.

• Choisir deux points diamétralement opposés sur le cercle (par exemple E et F)

• Tracer en rouge le segment [EF] qui passe par le centre A

• Choisir deux autres points diamétralement opposés (par exemple G et H)

• Tracer en rouge le segment [GH] qui passe par le centre A

Rappel : Un diamètre mesure cm.

Exercice 4 – calculer le périmètre d’un cercle.

a. Un cercle a pour rayon 12 cm. Quelle est la longueur d’un diamètre de ce cercle ?

Le diamètre d’un cercle est égal à deux fois le rayon.

Réponse : La longueur du diamètre est de 24 cm.

b. Un cercle a pour diamètre 16,8 cm. Quelle est la longueur d’un rayon de ce cercle ?

Le rayon d’un cercle est égal à la moitié du diamètre.

Réponse : La longueur du rayon est de 8,4 cm.

Exercice 5 – tracer deux cercles.

Construction du cercle de centre F et de rayon [FE] :

• Je place la pointe du compas sur le point F

• J’écarte le compas jusqu’au point E pour obtenir l’écartement FE

• Je trace le cercle complet de centre F et de rayon FE

Construction du cercle de diamètre [EG] :

• Je détermine le centre du cercle : c’est le milieu du segment [EG]

• Je mesure la longueur EG avec mon compas

• Je divise cette longueur par 2 pour obtenir le rayon

• Je place la pointe du compas sur le milieu de [EG]

• J’écarte le compas de la moitié de EG

• Je trace le cercle complet

Remarque : Le cercle de diamètre [EG] passe par les points E et G puisque le rayon est égal à

Exercice 6 – reproduire une figure.

Analyse de la figure :

La figure est constituée de trois cercles concentriques (ayant le même centre) et d’un grand cercle qui les englobe tous.

Éléments à identifier :

• Le centre principal (marqué d’une croix) situé au milieu de la figure

• Deux centres secondaires (marqués de croix) situés de part et d’autre du centre principal

• Un grand cercle extérieur

• Deux cercles moyens centrés sur les centres secondaires

• La figure forme un motif ressemblant au symbole du yin-yang

Étapes de construction :

1. Tracer le grand cercle extérieur

2. Marquer le centre principal

3. Tracer le diamètre vertical du grand cercle

4. Placer les deux centres secondaires sur ce diamètre, équidistants du centre principal

5. Tracer les deux cercles moyens centrés sur ces points secondaires

6. La courbe en forme de S se forme naturellement par l’intersection de ces cercles

Propriétés géométriques :

• Les rayons des cercles moyens sont égaux à la moitié du rayon du grand cercle

• La figure présente une symétrie centrale par rapport au centre principal

Exercice 7 – tracer cette figure.

Analyse de la figure :

Cette figure est composée de 8 cercles identiques disposés selon un motif géométrique particulier. On observe un cercle central et 7 cercles qui l’entourent, créant une rosace à 8 pétales.

Construction étape par étape :

Étape 1 : Tracer le cercle central

• Placer le centre O au milieu du quadrillage

• Tracer un cercle de rayon r (environ 2 carreaux sur la figure)

Étape 2 : Déterminer les centres des 7 autres cercles

• Les 7 centres sont situés sur un cercle de centre O et de rayon r

• Ces centres sont répartis régulièrement, avec un angle de entre chaque centre

Étape 3 : Construction pratique

• À partir du centre O, reporter la distance r dans 7 directions différentes

• Tracer les 7 cercles de rayon r centrés sur ces points

Propriétés géométriques :

• Tous les cercles ont le même rayon r

• Chaque cercle extérieur passe par le centre O

• Les cercles adjacents se coupent en deux points

• La figure possède une symétrie de rotation d’angle

Matériel nécessaire : Compas, règle, rapporteur (ou construction géométrique pour diviser le cercle en 7 parties égales)

Exercice 8 – triangles particuliers.

Analyse de chaque triangle :

Figure 1 : Triangle quelconque (aucun côté ni angle particulier)

Figure 2 : Triangle rectangle (présence d’un angle droit)

Figure 3 : Triangle quelconque (aucun côté ni angle particulier)

Figure 4 : Triangle rectangle (présence d’un angle droit)

Figure 5 : Triangle quelconque (aucun côté ni angle particulier)

Figure 6 : Triangle isocèle (deux côtés de même longueur)

Figure 7 : Triangle rectangle (présence d’un angle droit)

Figure 8 : Triangle équilatéral (trois côtés de même longueur)

Figure 9 : Triangle rectangle (présence d’un angle droit)

Classification dans le tableau :

• Triangle : Figure 1, Figure 3, Figure 5

• Triangle isocèle : Figure 6

• Triangle rectangle : Figure 2, Figure 4, Figure 7, Figure 9

• Triangle équilatéral : Figure 8

• Triangle quelconque : Figure 1, Figure 3, Figure 5

Exercice 9 – coder l’angle droit d’un triangle.

Fig. 1 : Triangle rectangle scalène (les trois côtés ont des longueurs différentes). L’angle droit est situé au sommet en bas à droite.

Fig. 2 : Triangle rectangle isocèle (deux côtés ont la même longueur). L’angle droit est situé au sommet en bas à gauche. Les deux côtés de l’angle droit ont la même longueur.

Fig. 3 : Triangle rectangle scalène (les trois côtés ont des longueurs différentes). L’angle droit est situé au sommet en bas au centre.

Fig. 4 : Triangle rectangle scalène (les trois côtés ont des longueurs différentes). L’angle droit est situé au sommet en bas à gauche.

Justification : Dans chaque triangle, on identifie l’angle droit grâce au petit carré qui le code. Un triangle rectangle a exactement un angle de . Lorsque les deux côtés adjacents à l’angle droit ont la même longueur, le triangle est rectangle isocèle. Sinon, il est rectangle scalène.

Exercice 10 – reproduire chaque triangle.

Méthode : Pour reproduire chaque triangle sur le quadrillage triangulaire, il faut observer attentivement la forme, la taille et l’orientation de chaque figure.

Figure 1 : Triangle quelconque avec un côté horizontal en bas. Il faut compter le nombre de petits triangles sur chaque côté pour respecter les proportions.

Figure 2 : Triangle équilatéral de petite taille. Tous les côtés ont la même longueur et les trois angles sont égaux.

Figure 3 : Triangle allongé et fin, orienté horizontalement. Il faut bien respecter sa forme étirée.

Figure 4 : Triangle rectangle avec l’angle droit bien marqué. Un des côtés suit les lignes du quadrillage.

Conseils de construction :

• Utiliser les lignes du quadrillage comme guides

• Compter les unités pour respecter les dimensions

• Vérifier l’orientation de chaque triangle

• Tracer les côtés en reliant les points d’intersection du quadrillage

Réponse : Les quatre triangles doivent être reproduits fidèlement dans l’espace quadrillé fourni en respectant leurs formes, tailles et orientations respectives.