Droites parallèles et perpendiculaires : corrigé des exercices de maths en CM2 en PDF

Pour identifier des droites perpendiculaires, je cherche les angles droits (90°) marqués par un petit carré ou des droites qui se coupent à angle droit.

Analyse de chaque figure :

a. Les deux droites se coupent mais sans angle droit visible → Non perpendiculaires

b. Les deux droites se coupent en formant un X, mais aucun angle droit n’est marqué → Non perpendiculaires

c. Les deux droites se coupent à angle droit (angle de 90°) → Perpendiculaires

d. Les deux droites se coupent à angle droit (angle de 90°) → Perpendiculaires

e. Les deux droites se coupent mais sans former d’angle droit → Non perpendiculaires

f. Les deux droites se coupent à angle droit (angle de 90°) → Perpendiculaires

g. Les deux droites se coupent à angle droit (petit carré visible) → Perpendiculaires

h. Les deux droites se coupent mais sans angle droit visible → Non perpendiculaires

Réponse : Les figures c, d, f et g représentent des droites perpendiculaires.

Exercice 2 – repasser les droites perpendiculaires.

Observation de la figure :

Je dois identifier les droites perpendiculaires dans cette figure composée de points A, B, C, D et E.

Analyse des droites :

En observant attentivement la figure, je peux identifier les perpendiculaires suivantes :

• Les droites (AD) et (DB) semblent perpendiculaires au point D

• Les droites (DB) et (BC) semblent perpendiculaires au point B

• Les droites (AE) et (ED) semblent perpendiculaires au point E

Réponse :

Les droites perpendiculaires à repasser de la même couleur sont :

• (AD) (DB)

• (DB) (BC)

• (AE) (ED)

Remarque : Le symbole signifie « est perpendiculaire à ».

Exercice 3 – les droites sont-elles perpendiculaires ?

Pour déterminer si deux droites sont perpendiculaires dans un parallélépipède rectangle, j’utilise les propriétés géométriques de cette figure.

a. (AB) et (IJ) :

(AB) est une arête horizontale de la face supérieure et (IJ) est une arête verticale. Dans un parallélépipède rectangle, les arêtes horizontales sont perpendiculaires aux arêtes verticales.

Réponse : oui

b. (HG) et (GJ) :

(HG) est une arête horizontale et (GJ) est une arête verticale partant du même point G. Ces deux arêtes forment un angle droit.

Réponse : oui

c. (BE) et (IJ) :

(BE) est une diagonale de la face verticale BCFE et (IJ) est une arête verticale. La diagonale d’une face n’est pas perpendiculaire aux arêtes verticales.

Réponse : non

d. (DF) et (BG) :

(DF) est une diagonale de la face inférieure ADFC et (BG) est une arête verticale. Une diagonale horizontale n’est pas perpendiculaire à une arête verticale.

Réponse : non

e. (JE) et (AG) :

(JE) est une arête horizontale et (AG) est une diagonale de la face verticale ABHG. Ces droites ne sont pas perpendiculaires.

Réponse : non

f. (AB) et (HE) :

(AB) et (HE) sont deux arêtes horizontales parallèles (elles appartiennent à des faces parallèles). Des droites parallèles ne peuvent pas être perpendiculaires.

Réponse : non

Exercice 4 – tracer des droites perpendiculaires.

Rappel : Pour tracer une droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point, on utilise l’équerre ou le compas.

Méthode avec l’équerre :

1. Placer un côté de l’angle droit de l’équerre le long de la droite (d)

2. Faire glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté de l’angle droit passe par le point A

3. Tracer la droite le long de ce côté

Vérification : La droite doit former un angle droit avec la droite (d) au point d’intersection.

Réponse : Pour chaque figure (a, b, c, d), tracer en bleu la droite perpendiculaire à (d) passant par le point A en utilisant la méthode décrite ci-dessus.

Exercice 5 – construire des droites.

Méthode : Pour construire une droite perpendiculaire à (d) passant par un point donné, on utilise l’équerre ou le compas.

Construction :

• (d₁) : Placer l’équerre de façon à ce qu’un côté soit aligné avec la droite (d), puis tracer la perpendiculaire passant par le point A.

• (d₂) : De même, construire la perpendiculaire à (d) passant par B.

• (d₃) : Construire la perpendiculaire à (d) passant par C.

• (d₄) : Construire la perpendiculaire à (d) passant par D.

• (d₅) : Construire la perpendiculaire à (d) passant par E.

• (d₆) : Construire la perpendiculaire à (d) passant par F.

• (d₇) : Construire la perpendiculaire à (d) passant par G.

• (d₈) : Construire la perpendiculaire à (d) passant par H.

Propriété utilisée : Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit (90°).

Notation : On note pour indiquer que la droite (d₁) est perpendiculaire à la droite (d).

Exercice 6 – compléter le tableau.

Méthode : Pour identifier si deux droites sont perpendiculaires ou parallèles, j’observe leur position relative sur le quadrillage.

Analyse de chaque paire de droites :

• Droites (d₁) et (d₂) : Ces droites se coupent en formant un angle droit (90°). Elles sont perpendiculaires.

• Droites (d₁) et (d₃) : Ces droites se coupent mais ne forment pas d’angle droit. Elles ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.

• Droites (d₁) et (d₄) : Ces droites ont la même direction et ne se coupent pas. Elles sont parallèles.

• Droites (d₂) et (d₃) : Ces droites se coupent en formant un angle droit (90°). Elles sont perpendiculaires.

• Droites (d₂) et (d₄) : Ces droites se coupent en formant un angle droit (90°). Elles sont perpendiculaires.

• Droites (d₃) et (d₄) : Ces droites se coupent mais ne forment pas d’angle droit. Elles ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.

Tableau complété :

Droites perpendiculaires : (d₁) et (d₂) ; (d₂) et (d₃) ; (d₂) et (d₄)

Droites parallèles : (d₁) et (d₄)

Exercice 7 – tracer en couleur des droites.

Consigne : Sur chaque dessin, tracer en vert la droite perpendiculaire à la droite passant par le point B et en rouge la droite parallèle à la droite passant par le point A.

Figure a) :

• La droite verte passe par B et forme un angle droit avec . Elle est tracée verticalement.

• La droite rouge passe par A et a la même direction que . Elle est tracée horizontalement.

Figure b) :

• La droite verte passe par B et forme un angle droit avec . Elle est tracée perpendiculairement à la droite oblique.

• La droite rouge passe par A et a la même pente que .

Figure c) :

• La droite verte passe par B et forme un angle droit avec . Elle est tracée verticalement.

• La droite rouge passe par A et a la même direction que . Elle est tracée avec la même pente négative.

Méthode :

• Pour tracer une perpendiculaire : utiliser une équerre en plaçant un côté le long de et tracer le long de l’autre côté en passant par B.

• Pour tracer une parallèle : utiliser une règle et une équerre pour reporter la même direction que en passant par A.

Exercice 8 – tracer la parallèle.

Étape 1 : Tracer la parallèle à [RO] passant par C.

Pour tracer une parallèle à une droite donnée passant par un point, on utilise la règle et l’équerre (ou le compas). On trace une droite passant par C et parallèle à la droite (RO).

Étape 2 : Tracer la perpendiculaire à [RO] passant par R.

Pour tracer une perpendiculaire à une droite passant par un point de cette droite, on utilise l’équerre. On trace une droite passant par R et perpendiculaire à la droite (RO).

Étape 3 : Placer le point K.

Le point K est l’intersection des deux droites tracées précédemment :
– La parallèle à (RO) passant par C
– La perpendiculaire à (RO) passant par R

Vérification : Les droites (CK) et (RK) sont bien sécantes en K car :
– (CK) est parallèle à (RO) donc non parallèle à (RK)
– (RK) est perpendiculaire à (RO) donc non parallèle à (CK)
– Ces deux droites se coupent donc en un point unique K

Exercice 9 – tracer des droites parallèles.

Étape 1 : Tracer la parallèle à (NU) passant par F

• Placer une règle le long de la droite (NU)

• Placer une équerre contre la règle

• Faire glisser l’équerre jusqu’au point F

• Tracer la droite parallèle à (NU) passant par F

Étape 2 : Tracer la perpendiculaire à (NU) passant par N

• Placer une équerre de façon à ce qu’un côté de l’angle droit soit le long de (NU)

• L’autre côté de l’angle droit doit passer par le point N

• Tracer la droite perpendiculaire à (NU) passant par N

Étape 3 : Placer le point K

• Le point K se trouve à l’intersection des deux droites tracées précédemment

• Marquer le point K à cette intersection

Vérification : Les deux droites sont sécantes en K car elles ne sont ni parallèles ni confondues (l’une est parallèle à (NU) et l’autre est perpendiculaire à (NU)).

Exercice 10 – utiliser le matériel de géométrie.

a. Parallèle à (AD) passant par C :

Pour tracer une droite parallèle à (AD) passant par C, j’utilise l’équerre et la règle. Je place l’équerre le long de (AD), puis je fais glisser la règle contre l’équerre jusqu’au point C. Je trace alors la droite parallèle.

b. Parallèle à (AE) passant par D :

Même méthode : je place l’équerre le long de (AE), je fais glisser la règle jusqu’au point D, puis je trace la parallèle à (AE).

c. Perpendiculaire à (CE) passant par D :

J’utilise l’équerre en plaçant un de ses côtés le long de (CE), puis je trace la droite perpendiculaire en utilisant l’autre côté de l’équerre, en passant par le point D.

d. Perpendiculaire à (AB) passant par E :

Je place l’équerre avec un côté le long de (AB), puis je trace la perpendiculaire en utilisant l’autre côté de l’équerre, en passant par le point E.

Réponse : Les quatre droites peuvent être tracées en utilisant la règle et l’équerre selon les méthodes décrites ci-dessus.