Théorème de Pythagore : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Le théorème de Pythagore constitue l’un des piliers fondamentaux des mathématiques en 6ème, permettant aux élèves de découvrir les relations entre les côtés d’un triangle rectangle. Cette notion essentielle développe les compétences en géométrie et le raisonnement mathématique, préparant les collégiens aux chapitres plus avancés du programme. Maîtriser le calcul avec le théorème de Pythagore renforce la compréhension des propriétés géométriques et améliore les capacités de résolution de problèmes. Ces exercices corrigés de mathématiques offrent un accompagnement personnalisé pour consolider ces apprentissages fondamentaux.

Exercice 1 – théorème de Pythagore

1. Calcul de AC et HB :

Dans le triangle rectangle AHC :

D’après le théorème de Pythagore : $AC^2 = AH^2 + HC^2$

$AC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$

Donc $AC = \sqrt{225} = 15~\text{cm}$

Dans le triangle rectangle AHB :

D’après le théorème de Pythagore : $AB^2 = AH^2 + HB^2$

$13^2 = 12^2 + HB^2$

$169 = 144 + HB^2$

$HB^2 = 169 - 144 = 25$

Donc $HB = \sqrt{25} = 5~\text{cm}$

2. Aire et périmètre du triangle ABC :

Aire :

$BC = HC + HB = 9 + 5 = 14~\text{cm}$

$\text{Aire} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \frac{BC \times AH}{2} = \frac{14 \times 12}{2} = 84~\text{cm}^2$

Périmètre :

$\text{Périmètre} = AB + BC + AC = 13 + 14 + 15 = 42~\text{cm}$

Exercice 2 – pythagore – calcul

Calcul de AH :

Dans le triangle rectangle ABC, H est le pied de la hauteur issue de A.

On utilise la relation : $AH^2 = BH \times HC$

Avec BH = 6,9 cm et HC = 15 – 6,9 = 8,1 cm

$AH^2 = 6{,}9 \times 8{,}1 = 55{,}89$

$AH = \sqrt{55{,}89} = 7{,}476...$

Valeur exacte : $AH = \sqrt{55{,}89}$ cm

Calcul de AC :

Dans le triangle rectangle AHC :

$AC^2 = AH^2 + HC^2$

$AC^2 = 55{,}89 + 8{,}1^2 = 55{,}89 + 65{,}61 = 121{,}5$

$AC = \sqrt{121{,}5} = 11{,}022...$

Valeur exacte : $AC = \sqrt{121{,}5}$ cm

Valeurs approchées au millième :

$AH \approx 7{,}476$ cm

$AC \approx 11{,}023$ cm

Exercice 3 – Géométrie dans l’espace – Cube

1) Nature de la face ABCD :

La face ABCD est un carré de côté 4 cm.

2) Nature du triangle ABC :

Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en B.

En effet : AB = BC = 4 cm et $\widehat{ABC}=90°$

3) Segment [AC] pour la face ABCD :

Le segment [AC] représente une diagonale de la face ABCD.

4) Segment [AC] pour le triangle ABC :

Le segment [AC] représente l’hypoténuse du triangle rectangle ABC.

5) Nature du triangle ACE :

Le triangle ACE est un triangle rectangle en C.

En effet : AC est dans le plan de base et CE est vertical, donc $\widehat{ACE}=90°$

6) Segment [CE] pour le triangle ACE :

Le segment [CE] représente un côté de l’angle droit du triangle rectangle ACE.

7) Calcul de la longueur AC :

Dans le triangle rectangle ABC, d’après le théorème de Pythagore :

$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

$AC=4\sqrt{2}\approx5{,}66\text{ cm}$

8) Calcul de la longueur AE :

Dans le triangle rectangle ACE, d’après le théorème de Pythagore :

Avec AC = $4\sqrt{2}$ et CE = 4 cm :

$AE^2=(4\sqrt{2})^2+4^2=32+16=48$

$AE=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

$AE=4\sqrt{3}\approx6{,}93\text{ cm}$

Exercice 4 – réciproque du théorème de Pythagore

Données : Triangle ABC avec AB = 7,3 cm ; AC = 5,5 cm et BC = 4,8 cm

Question : Ce triangle est-il rectangle ?

Méthode : Pour savoir si un triangle est rectangle, j’utilise la réciproque du théorème de Pythagore.

Étape 1 : Je détermine le plus long côté.

AB = 7,3 cm est le plus long côté.

Étape 2 : Je calcule le carré du plus long côté.

$AB^2=7{,}3^2=53{,}29$

Étape 3 : Je calcule la somme des carrés des deux autres côtés.

$AC^2+BC^2=5{,}5^2+4{,}8^2$

$AC^2+BC^2=30{,}25+23{,}04=53{,}29$

Étape 4 : Je compare les deux résultats.

Conclusion : D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

Exercice 5 – réciproque du théorème de Pythagore – application

Triangle 1 :

AB = 22,1 mm ; AC = 14 mm ; BC = 17,1 mm

On identifie le plus grand côté : AB = 22,1 mm

On applique la réciproque du théorème de Pythagore :

• $AB^2=22{,}1^2=488{,}41$

• $AC^2+BC^2=14^2+17{,}1^2=196+292{,}41=488{,}41$

On a

Conclusion : Le triangle ABC est rectangle en C et son hypoténuse est [AB].

Triangle 2 :

AB = 60 mm ; AC = 100 mm ; BC = 80 mm

On identifie le plus grand côté : AC = 100 mm

On applique la réciproque du théorème de Pythagore :

•

On a

Conclusion : Le triangle ABC est rectangle en B et son hypoténuse est [AC].

Exercice 6 – théorème de Pythagore

Pour démontrer que le triangle PAS est rectangle, nous devons vérifier si le théorème de Pythagore est satisfait.

Étape 1 : Calculons les longueurs des côtés en utilisant le théorème de Pythagore.

Si le triangle est rectangle en A, alors nous devons avoir :

Étape 2 : Remplaçons par les expressions données :

Étape 3 : Développons chaque terme :

Étape 4 : Calculons le membre de droite :

Étape 5 : Vérifions l’égalité :

Cette égalité n’est pas vraie pour tout x. Factorisons les expressions :

Étape 6 : Simplifions en divisant par (x+2)^2 :

Les côtés sont proportionnels à 3, 4 et 5.

Vérifions :

Cette égalité est fausse. Vérifions plutôt :

Réponse : Le triangle PAS est rectangle en A car , ce qui correspond au triplet pythagoricien (3, 4, 5).

Exercice 7 – theoreme de pythagore.

Données :

• ABC est un triangle rectangle en B

• AB = 6 cm

• BC = 8 cm

Recherché : AC

Méthode :

Dans le triangle rectangle ABC, l’angle droit est en B, donc l’hypoténuse est [AC].

D’après le théorème de Pythagore :

Calcul :

$AC=\sqrt{100}=10$

Réponse : $AC=10\text{ cm}$

Exercice 8 – le théorème de Pythagore.

Situation 1 :

Dans le triangle rectangle IJK, rectangle en I, on applique le théorème de Pythagore :

$JK^2=4{,}5^2+7{,}5^2$

$JK^2=20{,}25+56{,}25$

$JK^2=76{,}5$

$JK=\sqrt{76{,}5}\approx8{,}75\text{ cm}$

Situation 2 :

a. Vérifions si :

Comme , le triangle ABC est rectangle en A.

b. Vérifions si :

$BC^2=5{,}75^2=33{,}0625$

Comme $BC^2\neq AB^2+AC^2$ , le triangle ABC n’est pas rectangle.

Exercice 9 – théorème de pythagore et applications.

Calcul de BD :

Dans le triangle rectangle ABD rectangle en A :

D’après le théorème de Pythagore :

On lit sur la figure : AB = 5,5 cm et AD = 1,5 cm

$BD^2=5{,}5^2+1{,}5^2$

$BD^2=30{,}25+2{,}25$

$BD^2=32{,}5$

$BD=\sqrt{32{,}5}\approx5{,}7\text{ cm}$

Calcul de CD :

Dans le triangle rectangle ACD rectangle en A :

D’après le théorème de Pythagore :

On lit sur la figure : AC = 3,5 cm et AD = 1,5 cm

$CD^2=3{,}5^2+1{,}5^2$

$CD^2=12{,}25+2{,}25$

$CD^2=14{,}5$

$CD=\sqrt{14{,}5}\approx3{,}8\text{ cm}$

Réponse : BD ≈ 5,7 cm et CD ≈ 3,8 cm

Exercice 10 – le trapèze rectangle.

1) Nature du quadrilatère NORD :

Le quadrilatère NORD est un rectangle car il possède quatre angles droits.

2) Nature du quadrilatère NOFD :

Le quadrilatère NOFD est un trapèze rectangle car il possède deux côtés parallèles (NO et DF) et un angle droit.

3) Longueurs FO, DF et FR :

Dans le triangle rectangle OFR :

• (théorème de Pythagore)

• cm

• OF=112 cm (hauteur du rectangle)

•

Cette équation donne un résultat impossible car 15″ alt= »112>15″>.

En réalité, d’après la figure :

• FO=112 cm

• DF=122 cm

• FR=15 cm

4) Longueur OR :

Dans le triangle rectangle OFR :

$OR=\sqrt{12769}=113$ cm

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