Triangle : corrigé des exercices de maths en 5ème en PDF

Analyse des trois triangles :

Triangle ABC :

Le segment tracé depuis le sommet A semble perpendiculaire au côté BC. Il s’agit donc d’une hauteur du triangle ABC issue de A.

Triangle DEF :

Le segment tracé depuis le sommet E rejoint le côté DF en son milieu. Il s’agit donc d’une médiane du triangle DEF issue de E.

Triangle GHI :

Le segment tracé est perpendiculaire au côté GI et passe par son milieu. Il s’agit donc de la médiatrice du côté GI.

Rappels des définitions :

• Une hauteur d’un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

• Une médiane d’un triangle est un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.

• Une médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Exercice 2 – cercle circonscrit à un triangle

Données :

• Triangle JKL avec JK = 5 cm

•

•

Étape 1 : Calcul du troisième angle

Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°.

Étape 2 : Construction du cercle circonscrit

Le centre du cercle circonscrit est le point d’intersection des médiatrices des trois côtés du triangle.

Méthode de construction :

1) Construire le triangle JKL avec les données

2) Tracer la médiatrice du côté [JK]

3) Tracer la médiatrice du côté [JL]

4) Le point d’intersection O des deux médiatrices est le centre du cercle circonscrit

5) Le rayon du cercle circonscrit est la distance OJ = OK = OL

6) Tracer le cercle de centre O passant par les trois sommets J, K et L

Propriété : Tous les points du cercle circonscrit sont équidistants des trois sommets du triangle.

Exercice 3 – construction – triangle, bissectrice, hauteur

1) Construction du triangle ABC :

• Tracer un segment [AB] de longueur 6 cm

• En A, tracer un angle à l’aide du rapporteur

• En B, tracer un angle à l’aide du rapporteur

• Les deux demi-droites issues de A et B se coupent en C

Vérification :

2) Construction de la bissectrice de l’angle ACB :

• Placer la pointe du compas en C

• Tracer un arc de cercle qui coupe [CA] en un point et [CB] en un autre point

• Placer la pointe du compas sur chacun de ces deux points et tracer deux arcs de cercle de même rayon qui se coupent à l’intérieur de l’angle

• Tracer la demi-droite [Cd) passant par C et le point d’intersection des deux arcs

3) Construction de la hauteur issue de A :

• À l’aide de l’équerre, tracer la perpendiculaire à la droite (BC) passant par le point A

• Cette perpendiculaire coupe la droite (BC) en un point H

• Le segment [AH] est la hauteur issue de A

Exercice 4 – cercle circonscrit, triangle et médiatrices

Rappel théorique : Le trésor se trouve à égale distance de la tour T, de l’arbre A et du puits P. Cela signifie qu’il est situé au centre du cercle circonscrit au triangle TAP.

Méthode de construction :

1) Le centre du cercle circonscrit est le point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle.

2) Il suffit de tracer deux médiatrices pour trouver leur point d’intersection :

• Tracer la médiatrice du segment [TA] : c’est la droite perpendiculaire à [TA] passant par le milieu de [TA]

• Tracer la médiatrice du segment [TP] : c’est la droite perpendiculaire à [TP] passant par le milieu de [TP]

3) Le point d’intersection de ces deux médiatrices est l’emplacement du trésor.

Vérification : Ce point est équidistant de T, A et P, ce qui correspond exactement à l’énoncé du problème.

Réponse : Le trésor se trouve au centre du cercle circonscrit au triangle TAP, c’est-à-dire au point d’intersection des médiatrices des côtés du triangle.

Exercice 5 – somme des angles d’un triangle

1. Triangle LNI :

Dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°.

Donc :

En remplaçant les valeurs connues :

2. Triangle SAC :

Dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°.

Donc :

En remplaçant les valeurs connues :

Réponses : et

Exercice 6 – géographie et somme des angles d’un triangle.

D’après le schéma, nous avons un triangle rectangle formé par :

• Le sol (horizontal)

• La tour de Pise

• Le fil à plomb vertical

Identification des angles :

• L’angle entre le sol et le fil à plomb vaut

• L’angle entre le sol et la tour vaut

• L’angle est l’angle entre la tour et le fil à plomb

Calcul :

Dans un triangle, la somme des angles vaut .

Donc :

Réponse :

Exercice 7 – triangles et calculs d’angles.

1. Triangle ABC :

Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°.

Donc :

2. Triangle GHI rectangle en H :

Dans un triangle rectangle, l’angle droit mesure 90°.

Donc :

3. Triangle MNO isocèle de sommet principal N :

Dans un triangle isocèle de sommet principal N, les angles de base sont égaux.

Donc :

La somme des angles du triangle :

Donc :

4. Figure géométrique :

D’après la figure, on observe :

• Les segments [BC] et [CD] sont parallèles (notation //)

• Le triangle ABE avec les angles marqués

• Le point E est situé sur le segment [AD]

En utilisant les propriétés des angles correspondants et des angles alternes-internes avec les droites parallèles, ainsi que la somme des angles dans les triangles, on peut déterminer tous les angles de la figure en appliquant ces règles géométriques aux mesures données.

Exercice 8 – triangle, hauteur, médiatrices, bissectrices et médianes.

Construction du triangle ABC :

• Je trace un segment [AB] de longueur 6 cm

• En A, je trace un angle

• En B, je trace un angle

• Le point C est à l’intersection des deux demi-droites

a) Hauteur issue de A (en vert) :

Je trace la perpendiculaire à la droite (BC) passant par A. Le pied de cette hauteur est le point H sur (BC).

b) Médiane passant par B (en bleu) :

• Je place le milieu M du segment [AC]

• Je trace le segment [BM] qui est la médiane issue de B

c) Bissectrice de l’angle ACB (en noir) :

• Je partage l’angle en deux angles égaux

• Je trace la demi-droite [Cd) qui est la bissectrice de cet angle

d) Médiatrice du segment [BC] (en rouge) :

• Je place le milieu I du segment [BC]

• Je trace la perpendiculaire au segment [BC] passant par I

e) Calcul de la mesure de l’angle ACB :

Dans le triangle ABC, la somme des angles est égale à 180°.

Réponse :

Exercice 9 – calculer la mesure d’un angle.

Observation de la figure :

On observe que les droites (AB) et (DE) sont parallèles, et elles sont coupées par une sécante.

Identification des angles :

• L’angle ABC mesure

• On cherche la mesure de l’angle DEF

Application de la propriété des angles correspondants :

Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants sont égaux.

Les angles ABC et DEF sont des angles correspondants car :

• Ils sont situés du même côté de la sécante

• Ils sont dans la même position relative par rapport aux droites parallèles

Conclusion :

L’angle DEF =

Réponse :

Exercice 10 – calcul de la mesure d’un angle.

Données :

Triangle ABC avec et

Propriété utilisée :

Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.

Calcul :

Réponse :