Homothéties : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF

Méthode : Pour compléter le tableau, il faut déterminer si l’homothétie de rapport k correspond à une réduction (si |k| 1).

Pour k = 0,5 :

|0,5| = 0,5 < 1 donc c'est une réduction.

Pour k = -7 :

|-7| = 7 > 1 donc c’est un agrandissement.

Pour k = 2,8 :

|2,8| = 2,8 > 1 donc c’est un agrandissement.

Pour k = -0,8 :

|-0,8| = 0,8 < 1 donc c'est une réduction.

Pour k = :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?left|frac{3}{4}right|=frac{3}{4}=0{,}75<1" alt="left|frac{3}{4}right|=frac{3}{4}=0{,}75 donc c’est une réduction.

Pour k = :

1″ alt= »left|-frac{4}{3}right|=frac{4}{3}approx1{,}33>1″> donc c’est un agrandissement.

Tableau complété :

Homothétie de rapport	0,5	-7	2,8	-0,8
Réduction	×			×	×
Agrandissement		×	×			×

Exercice 2 – trouver les caractéristiques de l’homothétie.

a. De la figure f₁ à la figure f₂ :

Pour déterminer les caractéristiques de l’homothétie, nous devons identifier le centre et le rapport.

Centre : Le centre de l’homothétie est le point O.

Rapport : En comparant les tailles des serpents, la figure f₂ est plus grande que la figure f₁. Le rapport de l’homothétie est .

Notation :

b. De la figure f₂ à la figure f₁ :

Centre : Le centre de l’homothétie est le point O.

Rapport : En passant de la figure f₂ à la figure f₁, on réduit la taille. Le rapport de l’homothétie est .

Notation :

Exercice 3 – préciser la transformation.

a. La figure B₁ en la figure B₄ :

Symétrie axiale d’axe vertical (la droite rouge passant par O).

b. La figure B₁ en la figure B₂ :

Symétrie centrale de centre O.

c. La figure B₁ en la figure B₅ :

Rotation de centre O et d’angle 90° dans le sens horaire (ou -90°).

d. La figure B₂ en la figure B₃ :

Rotation de centre O et d’angle 90° dans le sens antihoraire (ou +90°).

Exercice 4 – préciser le rapport de l’homothétie.

Pour déterminer le rapport d’une homothétie de centre O qui transforme M en M’, on calcule :

Figure a : O est à 2 carreaux de M et 6 carreaux de M’

Rapport :

Figure b : O est à 2 carreaux de M’ et 6 carreaux de M

Rapport :

Figure c : O est à 6 carreaux de M et 8 carreaux de M’

Rapport :

Figure d : O est à 2 carreaux de M et 3 carreaux de M’ (dans le sens opposé)

Rapport :

Figure e : O est à 4 carreaux de M et 2 carreaux de M’

Rapport :

Figure f : O est à 4 carreaux de M et 2 carreaux de M’ (dans le sens opposé)

Rapport :

Nature de chaque homothétie :

Agrandissement (|k| > 1) : figures a, c, d

Réduction (|k| < 1) : figures b, e, f

Exercice 5 – construire le point image M’.

Rappel : Dans une homothétie de centre O et de rapport k, si M’ est l’image de M, alors

a. k =

Le rapport est positif et inférieur à 1, donc M’ est sur la demi-droite [OM) et plus près de O que M.

Distance OM’ = carreaux

b. k =

Le rapport est positif et supérieur à 1, donc M’ est sur la demi-droite [OM) et plus loin de O que M.

Distance OM’ = carreaux

c. k = 2

Le rapport est positif et supérieur à 1, donc M’ est sur la demi-droite [OM) et plus loin de O que M.

Distance OM’ = carreaux

d. k = -1

Le rapport est négatif, donc M’ est sur la demi-droite opposée à [OM).

Distance OM’ = carreaux dans la direction opposée

e. k = –

Le rapport est négatif, donc M’ est sur la demi-droite opposée à [OM).

Distance OM’ = carreaux dans la direction opposée

f. k = –

Le rapport est négatif, donc M’ est sur la demi-droite opposée à [OM).

Distance OM’ = carreaux dans la direction opposée

Exercice 6 – image d’un triangle.

a. Construction de l’image par l’homothétie de centre O et de rapport 2 (en bleu) :

Pour construire l’image du triangle gris par une homothétie de centre O et de rapport 2 :

• Je place chaque sommet du triangle image à une distance deux fois plus grande de O que le sommet correspondant du triangle initial

• Les sommets de l’image sont alignés avec O et les sommets du triangle initial

• Le triangle image est de même forme mais deux fois plus grand

b. Construction de l’image par l’homothétie de centre O et de rapport (en rouge) :

Pour construire l’image du triangle gris par une homothétie de centre O et de rapport :

• Je place chaque sommet du triangle image à une distance moitié moins grande de O que le sommet correspondant du triangle initial

• Les sommets de l’image sont alignés avec O et les sommets du triangle initial, mais du même côté de O

• Le triangle image est de même forme mais deux fois plus petit

Propriétés importantes :

• Une homothétie conserve les formes (les triangles sont semblables)

• Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k|

• Si k > 1, l’image est agrandie ; si 0 < k < 1, l'image est réduite

Exercice 7 – image d’un cercle.

Pour construire l’image du cercle de centre A par une homothétie de centre O et de rapport k, on applique la transformation à plusieurs points du cercle.

a. Homothétie de rapport

• Le rapport est négatif donc l’image est de l’autre côté du centre O par rapport au cercle initial

• Le rayon de l’image est fois le rayon initial

• Le centre de l’image A’ vérifie

b. Homothétie de rapport

• Le rapport est négatif donc l’image est de l’autre côté du centre O

• Le rayon de l’image est fois le rayon initial

• Le centre de l’image A’ vérifie

c. Homothétie de rapport

• Le rapport est négatif donc l’image est de l’autre côté du centre O

• Le rayon de l’image est fois le rayon initial

• Le centre de l’image A’ vérifie

Construction : Pour chaque cas, placer le centre A’ de l’image puis tracer le cercle de centre A’ et de rayon proportionnel au cercle initial selon le rapport donné.

Exercice 8 – construire l’image d’un triangle par homothétie.

Rappel : Une homothétie de centre O et de rapport k transforme un point M en un point M’ tel que

Construction pour k = 2 :

• L’homothétie de rapport 2 est un agrandissement

• Chaque sommet du triangle image est situé sur la demi-droite partant de O et passant par le sommet correspondant du triangle initial

• La distance de O à chaque sommet du triangle image est le double de la distance de O au sommet correspondant du triangle initial

Construction pour k = 0,5 :

• L’homothétie de rapport est une réduction

• Chaque sommet du triangle image est situé sur le segment reliant O au sommet correspondant du triangle initial

• La distance de O à chaque sommet du triangle image est la moitié de la distance de O au sommet correspondant du triangle initial

Construction pour k = -1 :

• L’homothétie de rapport -1 est une symétrie centrale de centre O

• Chaque sommet du triangle image est le symétrique du sommet correspondant du triangle initial par rapport au point O

• Les distances restent identiques mais les points sont de part et d’autre du centre O

Propriétés conservées : L’homothétie conserve les angles, le parallélisme et les rapports de longueurs. Le triangle image a la même forme que le triangle initial.

Exercice 9 – homothétie et construction.

Construction de l’image par l’homothétie de centre O et de rapport -1 :

Pour construire l’image de la figure par l’homothétie de centre O et de rapport -1, on applique la règle suivante : pour chaque point M de la figure, son image M’ vérifie

Cela signifie que M’ est le symétrique de M par rapport au centre O, à la même distance de O.

Construction de l’image par l’homothétie de centre O’ et de rapport -1,5 :

Pour construire l’image de la figure par l’homothétie de centre O’ et de rapport -1,5, on applique la règle suivante : pour chaque point M de la figure, son image M » vérifie

Le rapport étant négatif, l’image se trouve du côté opposé au centre O’ par rapport à la figure initiale. Le rapport ayant une valeur absolue de 1,5, l’image est agrandie d’un facteur 1,5.

Méthode de construction :

1) Tracer les droites passant par le centre d’homothétie et chaque sommet de la figure

2) Reporter sur chaque droite, de l’autre côté du centre (car k < 0), la distance multipliée par la valeur absolue du rapport

3) Relier les points images obtenus pour reconstituer la figure transformée

Exercice 10 – quadrilatère et homothétie.

a. Complétons le tableau :

Dans une homothétie de rapport , chaque point a une image selon la correspondance donnée :

• R → B (sommet correspondant)
• A → E (sommet correspondant)
• M → L (sommet correspondant)
• I → O (sommet correspondant)

b. Longueur du segment [LE] :

Dans l’homothétie de rapport , les longueurs sont multipliées par .

Le segment [LE] correspond au segment [MA] dans le quadrilatère RAMI.

Donc :

c. Autre longueur déterminable :

On peut déterminer la longueur BO qui correspond à RI dans le quadrilatère RAMI.

On peut également déterminer toutes les autres longueurs du quadrilatère BELO en appliquant le rapport d’homothétie aux longueurs correspondantes du quadrilatère RAMI.