Volumes : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les volumes en 6ème constituent une notion fondamentale qui permet aux élèves de développer leur vision dans l’espace et leur capacité à quantifier les objets tridimensionnels. Cette partie du programme de mathématiques 6ème aborde le calcul de volumes des solides usuels comme le cube, le parallélépipède rectangle et introduit les unités de mesure volumiques. Maîtriser ces exercices de volumes est essentiel pour comprendre les relations entre longueur, aire et volume, tout en préparant les élèves aux notions plus complexes de géométrie dans l’espace. Les corrections détaillées ci-dessous vous accompagneront dans l’apprentissage de ces compétences mathématiques cruciales.

Exercice 1 – calcul du volume d’un cône de révolution

Données :

• Rayon de la base : $R = 5$ cm

• Hauteur : $h = 6$ cm

Formule du volume d’un cône :

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$

Application numérique :

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 6$

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 6$

$V = \frac{150\pi}{3}$

$V = 50\pi$ cm³

Réponse : Le volume du cône est $50\pi$ cm³, soit environ 157{,}1 cm³.

Exercice 2 – calcul du volume d’une pyramide.

Données :

• Base rectangulaire de côtés 30 m et 50 m

• Hauteur de la pyramide : 90 m

Formule du volume d’une pyramide :

$V=\frac{1}{3}\times \text{Aire de la base}\times \text{Hauteur}$

Calcul de l’aire de la base rectangulaire :

$\text{Aire}=30\times 50=1500\text{ m}^2$

Calcul du volume :

$V=\frac{1}{3}\times 1500\times 90$

$V=\frac{135000}{3}$

$V=45000\text{ m}^3$

Réponse : Le volume de la pyramide est $45000\text{ m}^3$

Exercice 3 – patron d’un cône de révolution.

1. Quel est le sommet de ce cône ?

Le sommet du cône est le point S.

2. Quel est le centre et le rayon de son disque de base ?

Le centre du disque de base est le point O et le rayon de la base est r = OA = 6 cm.

3. Quelle est la longueur d’une génératrice ?

La longueur d’une génératrice est SA = 10 cm (toutes les génératrices ont la même longueur).

4. Calculer la longueur de l’arc de cercle BC.

Dans le patron, l’arc de cercle BC correspond au périmètre de la base du cône.

Le périmètre de la base circulaire est : $P=2\pi\times r=2\pi\times 6=12\pi$ cm

Réponse : La longueur de l’arc BC est $12\pi$ cm $\approx 37{,}7$ cm.

Exercice 4 – pyramide droite à base rectangulaire.

1. Nature de BCDE :

BCDE est la base de la pyramide droite ABCDE. Il s’agit donc d’un rectangle.

2. Hauteur de ABCDE :

Dans une pyramide droite, la hauteur est la distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement à ce plan.

La hauteur de la pyramide ABCDE est le segment [AH] où H est le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur le plan contenant BCDE.

La hauteur de ABCDE est .

3. Construction du triangle ABC :

Pour tracer le triangle ABC en vraie grandeur, nous devons calculer AC en utilisant le théorème de Pythagore dans le rectangle BCDE.

Dans le rectangle BCDE : $BC=7\text{ cm}$ et $BE=9\text{ cm}$

Comme BCDE est un rectangle, nous avons $CD=BE=9\text{ cm}$

Dans le triangle rectangle BCD :

$BD=\sqrt{130}\approx11{,}4\text{ cm}$

Le triangle ABC a pour côtés :

• $AB=5\text{ cm}$

• $BC=7\text{ cm}$

• $AC=\sqrt{AB^2+BD^2}\text{ (si A est à la verticale du centre de BCDE)}$

Exercice 5 – volume d’une pyramide à base carrée.

Données :

• Base : carré de côté 6 cm

• Hauteur : 34 cm

Formule du volume d’une pyramide :

$V=\frac{1}{3}\times \text{Aire~de~la~base}\times \text{Hauteur}$

Calcul de l’aire de la base :

La base est un carré de côté 6 cm.

$\text{Aire~de~la~base}=6^2=36\text{ cm}^2$

Calcul du volume :

$V=\frac{1}{3}\times 36\times 34$

$V=\frac{36\times 34}{3}$

$V=\frac{1224}{3}$

$V=408\text{ cm}^3$

Réponse : Le volume de la pyramide est $408\text{ cm}^3$

Exercice 6 – volume d’une cône de révolution.

Données :

• Rayon de base : $r = 7$ cm

• Hauteur : $h = 9$ cm

Formule du volume d’un cône :

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$

Calcul :

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 7^2 \times 9$

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 49 \times 9$

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 441$

$V = \frac{441\pi}{3}$

$V = 147\pi$ cm³

Valeur approchée :

$V \approx 147 \times 3{,}14159$

Réponse : $V \approx 462$ cm³

Exercice 7 – volume d’une pyramide à base triangulaire.

Données :

• Triangle ABC rectangle en B avec AB = 4,5 cm, AC = 7,5 cm et BC = 6 cm

• Hauteur de la pyramide : h = 7 cm

Étape 1 : Calcul de l’aire de la base triangulaire

Le triangle ABC est rectangle en B, donc :

$A_{base} = \frac{AB \times BC}{2}$

$A_{base} = \frac{4{,}5 \times 6}{2} = \frac{27}{2} = 13{,}5 \text{ cm}^2$

Étape 2 : Application de la formule du volume d’une pyramide

$V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$

$V = \frac{1}{3} \times 13{,}5 \times 7$

$V = \frac{94{,}5}{3} = 31{,}5 \text{ cm}^3$

Réponse : Le volume de la pyramide est $31{,}5 \text{ cm}^3$

Exercice 8 – volume d’une pyramide à base un parallèlogramme.

Pour calculer le volume d’une pyramide, j’utilise la formule :

$V=\frac{1}{3}\times \text{Aire~de~la~base}\times \text{hauteur}$

Étape 1 : Calcul de l’aire de la base parallélogramme ABCD

L’aire d’un parallélogramme se calcule par : $\text{Aire}=\text{base}\times \text{hauteur}$

Je prends comme base le côté et comme hauteur du parallélogramme la distance .

Comme ABCD est un parallélogramme : $DC=AB=4\text{~cm}$

Donc : $\text{Aire}_{ABCD}=DC\times AH=4\times 4=16\text{~cm}^2$

Étape 2 : Application de la formule du volume

La hauteur de la pyramide est de 8 cm.

$V=\frac{1}{3}\times 16\times 8=\frac{128}{3}$

$V=\frac{128}{3}=42{,}\overline{6}\text{~cm}^3$

Réponse : $V=\frac{128}{3}\text{~cm}^3\approx 42{,}67\text{~cm}^3$

Exercice 9 – calcul du rayon de la base d’un cône.

Données :

• Volume du cône : $V = 18~cm^3$

• Hauteur du cône : $h = 5~cm$

Formule du volume d’un cône :

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$

Calcul :

On remplace les valeurs connues :

$18 = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times 5$

$18 = \frac{5\pi r^2}{3}$

On multiplie les deux membres par 3 :

$54 = 5\pi r^2$

On divise par $5\pi$ :

$r^2 = \frac{54}{5\pi}$

On prend la racine carrée :

$r = \sqrt{\frac{54}{5\pi}}$

Valeur exacte :

$r = \sqrt{\frac{54}{5\pi}}~cm$

Valeur approchée :

$r \approx \sqrt{\frac{54}{5 \times 3{,}14}} \approx \sqrt{3{,}43} \approx 1{,}9~cm$

Réponse : Le rayon du cercle de base est $\sqrt{\frac{54}{5\pi}}~cm \approx 1{,}9~cm$

Exercice 10 – calcul de la hauteur d’une pyramide.

Données :

• Volume de la pyramide : $V = 63\text{ cm}^3$

• Base carrée de côté : $c = 5\text{ cm}$

Formule du volume d’une pyramide :

$V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$

Calcul de l’aire de la base :

La base est un carré de côté 5 cm :

$\text{Aire} = c^2 = 5^2 = 25\text{ cm}^2$

Calcul de la hauteur :

On remplace dans la formule du volume :

$63 = \frac{1}{3} \times 25 \times h$

$63 = \frac{25h}{3}$

$h = \frac{63 \times 3}{25}$

$h = \frac{189}{25}$

$h = 7{,}56\text{ cm}$

Réponse : La hauteur de la pyramide est $7{,}56\text{ cm}$ .

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