Sections de solides et volumes : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

Les sections de solides et volumes constituent un chapitre fondamental du programme de mathématiques en 6ème, permettant aux élèves de développer leur vision spatiale et leur compréhension de la géométrie dans l’espace. Cette leçon essentielle aborde les solides usuels (cube, pavé droit, cylindre, prisme) et initie les élèves aux concepts de sections planes et de calcul de volumes. Maîtriser ces notions est crucial pour construire les bases solides nécessaires à la poursuite des études mathématiques au collège. Les exercices corrigés présentés ci-dessous permettront aux élèves de 6ème de s’entraîner efficacement sur ces compétences géométriques indispensables.

Exercice 1 – pyramide à base rectangulaire.

a. Calcul du coefficient de réduction k :

Les pyramides SABCD et SA’B’C’D’ sont semblables car elles ont le même sommet S et leurs bases sont parallèles.

Le coefficient de réduction k est le rapport des distances du sommet aux bases :

$k = \frac{SH'}{SH}$

Avec SH’ = SH – HH’ = SH – 5 = 8 – 5 = 3 cm

$k = \frac{3}{8}$

Réponse : $k = \frac{3}{8}$

b. Calcul du volume de la pyramide SABCD :

Volume d’une pyramide = $\frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$

Aire de la base ABCD = AB × BC = 4,8 × 4,2 = 20,16 cm²

$V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times 20{,}16 \times 8 = \frac{161{,}28}{3}$

Réponse : $V_{SABCD} = 53{,}76\text{ cm}^3$

c. Calcul du volume de la pyramide SA’B’C’D’ :

Pour des pyramides semblables, le rapport des volumes est égal au cube du coefficient de réduction :

$\frac{V_{SA'B'C'D'}}{V_{SABCD}} = k^3$

$V_{SA'B'C'D'} = V_{SABCD} \times k^3 = 53{,}76 \times (\frac{3}{8})^3$

$V_{SA'B'C'D'} = 53{,}76 \times \frac{27}{512} = 53{,}76 \times 0{,}0527...$

Réponse : $V_{SA'B'C'D'} = 2{,}835\text{ cm}^3$

Exercice 2 – un réservoir parallélépipédique.

1. Calcul du volume d’une goutte d’eau :

On assimile les gouttes d’eau à des boules de diamètre 4 mm.

Le rayon d’une goutte est : $r=\frac{4}{2}=2\text{ mm}$

Le volume d’une boule est : $V=\frac{4}{3}\times \pi\times r^3$

Donc : $V=\frac{4}{3}\times \pi\times 2^3=\frac{4}{3}\times \pi\times 8=\frac{32\pi}{3}\text{ mm}^3$

Réponse : Le volume d’une goutte d’eau est $\frac{32\pi}{3}\text{ mm}^3$

2. Calcul du nombre de gouttes d’eau contenues dans le réservoir :

Le réservoir a pour dimensions : longueur = 4 cm, largeur = 4 cm, hauteur d’eau = 8 cm

Volume d’eau dans le réservoir : $V_{reservoir}=4\times 4\times 8=128\text{ cm}^3$

Conversion en mm³ : $128\text{ cm}^3=128\times 1000=128000\text{ mm}^3$

Nombre de gouttes : $N=\frac{128000}{\frac{32\pi}{3}}=\frac{128000\times 3}{32\pi}=\frac{384000}{32\pi}=\frac{12000}{\pi}$

Valeur approchée : $N\approx\frac{12000}{3{,}14}\approx 3822$

Réponse : Le nombre de gouttes d’eau contenues dans le réservoir est $\frac{12000}{\pi}\approx 3822\text{ gouttes}$

Exercice 3 – calcul du volume d’une piscine.

1. Calcul du volume de la piscine :

La piscine a la forme d’un prisme à base trapézoïdale. Le trapèze ABCD a pour dimensions :

• Grande base AB = 6 m

• Petite base CD = BC = 0,80 m

• Hauteur du trapèze AD = 1,80 m

• Longueur de la piscine AE = 5 m

L’aire du trapèze ABCD est :

$A_{trapeze} = \frac{(AB + CD) \times AD}{2}$

$A_{trapeze} = \frac{(6 + 0{,}80) \times 1{,}80}{2}$

$A_{trapeze} = \frac{6{,}80 \times 1{,}80}{2} = \frac{12{,}24}{2} = 6{,}12\text{ m}^2$

Le volume de la piscine est :

$V = A_{trapeze} \times AE = 6{,}12 \times 5 = 30{,}6\text{ m}^3$

Vérification : Le volume calculé est 30,6 m³, ce qui est proche de 39 m³ donné dans l’énoncé. Il y a peut-être une erreur dans les données ou l’énoncé.

2. Calcul du volume restant après vidange :

En prenant le volume donné de 39 m³ :

• Débit de la pompe : 5 m³ par heure

• Volume vidé en 5 heures : $5 \times 5 = 25\text{ m}^3$

Volume restant dans la piscine :

$V_{restant} = 39 - 25 = 14\text{ m}^3$

Réponse : Il reste 14 m³ d’eau dans la piscine au bout de 5 heures.

Exercice 4 – calcul du volume d’un pavé droit.

Formule : Le volume d’un pavé droit est donné par :

$V = L \times l \times h$

Données :

• Longueur : $L = 4\text{ cm}$

• Largeur : $l = 1{,}5\text{ cm}$

• Hauteur : $h = 2\text{ cm}$

Calcul :

$V = 4 \times 1{,}5 \times 2$

$V = 6 \times 2$

$V = 12\text{ cm}^3$

Réponse : Le volume du pavé droit est $12\text{ cm}^3$ .

Exercice 5 – volume d’un cône de révolution.

Données :

• SO = 8 cm (génératrice)

• OA = 6 cm (rayon de la base)

Étape 1 : Calculer la hauteur du cône

Dans le triangle rectangle SOH (où H est le pied de la hauteur), on applique le théorème de Pythagore :

$SH=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ cm

Étape 2 : Appliquer la formule du volume d’un cône

$V=\frac{1}{3}\times \pi\times r^2\times h$

Étape 3 : Remplacer les valeurs

$V=\frac{1}{3}\times \pi\times 6^2\times 2\sqrt{7}$

$V=\frac{1}{3}\times \pi\times 36\times 2\sqrt{7}$

$V=\frac{72\sqrt{7}\pi}{3}$

$V=24\sqrt{7}\pi$ cm³

Réponse : $V=24\sqrt{7}\pi\approx199$ mm³

Exercice 6 – volume d’un cylindre.

Données :

• Rayon : $R = 3~cm$

• Hauteur : $h = 5~cm$

Formule du volume d’un cylindre :

$V = \pi \times R^2 \times h$

Application numérique :

$V = \pi \times 3^2 \times 5$

$V = \pi \times 9 \times 5$

$V = 45\pi~cm^3$

Réponse : $V = 45\pi~mm^3 \approx 141{,}4~mm^3$

Exercice 7 – volume d’une pyramide à base carrée.

Données :

• ABCD est un carré de côté 8 cm

• h = 11 cm (hauteur de la pyramide)

Formule du volume d’une pyramide :

$V=\frac{1}{3}\times \text{Aire de la base}\times \text{hauteur}$

Calcul de l’aire de la base :

La base ABCD est un carré de côté 8 cm.

$\text{Aire}_{base}=8^2=64\text{ cm}^2$

Calcul du volume :

$V=\frac{1}{3}\times 64\times 11$

$V=\frac{704}{3}$

$V=234{,}67\text{ cm}^3$

Réponse : $V=235\text{ mm}^3$ (arrondi au mm³ près)

Exercice 8 – volume d’un prisme droit.

Données :

• ABC est un triangle rectangle en C

• CB = 5 cm, CA = 4 cm et AD = 7 cm

• ABCD est un prisme droit de base ABC

Méthode :

Le volume d’un prisme droit est : $V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$

Calcul de l’aire de la base ABC :

ABC est un triangle rectangle en C, donc :

$\text{Aire}_{ABC} = \frac{CA \times CB}{2}$

$\text{Aire}_{ABC} = \frac{4 \times 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}^2$

Calcul du volume :

La hauteur du prisme est AD = 7 cm

$V = 10 \times 7 = 70 \text{ cm}^3$

Réponse : Le volume du prisme droit est $70 \text{ cm}^3$

Exercice 9 – prisme droit et base triangulaire rectangle.

Données :

• ABC est un triangle rectangle et isocèle en B

• BA = BC = BF = 5 cm

• Le prisme a pour bases les triangles ABC et DEF

Calcul de l’aire de la base ABC :

Le triangle ABC est rectangle en B, donc :

$\text{Aire}_{ABC} = \frac{1}{2} \times BA \times BC$

$\text{Aire}_{ABC} = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25}{2} = 12{,}5 \text{ cm}^2$

Calcul de la hauteur du prisme :

La hauteur du prisme est BF = 5 cm

Calcul du volume :

$V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$

$V = 12{,}5 \times 5 = 62{,}5 \text{ cm}^3$

Réponse : $V = 62{,}5 \text{ cm}^3$

Exercice 10 – un verre conique à pied.

Données :

• Verre conique : hauteur = 8 cm, rayon = 6 cm

• 3 boules de glace de rayon 3 cm chacune fondent complètement

Calcul du volume de glace fondue :

Volume d’une boule : $V_{boule} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Volume d’une boule de rayon 3 cm :

$V_{boule} = \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \text{ cm}^3$

Volume total de glace fondue :

$V_{glace} = 3 \times 36\pi = 108\pi \text{ cm}^3$

Calcul du volume maximal du verre :

Volume du cône : $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

$V_{cone} = \frac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 8 = \frac{1}{3}\pi \times 36 \times 8 = 96\pi \text{ cm}^3$

Conclusion :

Volume de glace fondue : $108\pi \text{ cm}^3$

Volume maximal du verre : $96\pi \text{ cm}^3$

Comme 96\pi » alt= »108\pi > 96\pi »>, la glace va déborder.

Volume de glace perdue : $108\pi - 96\pi = 12\pi \text{ cm}^3$

Réponse : Oui, la glace va déborder. J’ai perdu $12\pi \approx 37{,}7 \text{ cm}^3$ de glace.

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