Polygones et constructions : corrigé des exercices de maths en 6ème en PDF

a. Dans le triangle GFH, [GH] est le côté opposé au sommet F.

b. Dans le triangle DHE, E est le sommet opposé au côté [DH].

c. Dans le triangle FEH, [FE] est le côté opposé au sommet H.

d. Dans le triangle EGD, E est le sommet opposé au côté [GD].

Exercice 2 – reproduire les figures.

Réponse a :

Pour dessiner le quadrilatère VETR :

– VT = 3,5 cm

– VE = 2,5 cm

– ET = 4,2 cm

– ER = 4 cm

– TR = 3 cm

Réponse b :

Pour dessiner le trapèze REOU :

– ER = 5,3 cm

– EU = 6,2 cm

– OU = 7 cm

Sachant que les segments RG et OG sont égaux, il faut alors respecter les longueurs et angles donnés pour les reproduire fidèlement.

Exercice 3 – construction de triangles.

Triangle ABC :

Construis un triangle avec les longueurs suivantes :

AB = 3,5 cm, AC = 3 cm, BC = 4 cm.

Triangle DEF :

Construis un triangle avec les longueurs suivantes :

DE = 4,2 cm, DF = 4,8 cm, EF = 4 cm.

Triangle GHI :

Construis un triangle avec les longueurs suivantes :

GH = 6,5 cm, HI = 3,7 cm, GI = 5 cm.

Utilise la méthode du compas et de la règle, en laissant les traits de construction apparents pour chaque triangle.

Exercice 4 – reproduire chaque figure.

a. S, T et W sont alignés.

Pour reproduire la figure, on doit respecter les longueurs et les angles indiqués.

• Tracer la droite STW de sorte que ST = 4,5 \, cm.
• Placer U tel que UT = 3,8 ,cm et les segments SU et SV sont égaux avec la même notation des traits.
• Placer V tel que les segments UT et VT sont égaux avec la même notation des traits.

b. ADE est rectangle en E, BDE est équilatéral et CDE est isocèle en D.

• Tracer le rectangle ADE avec EA = 2 ,cm et ED = 5 , cm.
• Placer B tel que le triangle BDE soit équilatéral, donc BD = DE.
• Placer C tel que le triangle CDE soit isocèle en D, donc CD = DE.

Exercice 5 – donner le nom des quadrilatères.

– Quadrilatère ABCD : Parallélogramme (côtés opposés parallèles).

– Quadrilatère EFGH : Parallélogramme (côtés opposés parallèles).

– Quadrilatère IJKL : Losange (tous les côtés de même longueur).

– Quadrilatère MNOP : Trapèze (une paire de côtés parallèles).

– Quadrilatère QRST : Trapèze (une paire de côtés parallèles).

Exercice 6 – les lunules d’Hippocrate.

Pour reproduire la figure à l’échelle, nous devons d’abord dessiner le triangle  ABC avec les dimensions données :
AB = 6 cm, BC = 8 cm et  AC = 10 cm.

Ensuite, traçons les demi-cercles :

• Un demi-cercle sur AB de diamètre AB = 6 cm.
• Un demi-cercle sur BC de diamètre BC = 8 cm.
• Un demi-cercle sur AC de diamètre  AC = 10 cm.

La lunule d’Hippocrate est l’ensemble des parties colorées entre les deux demi-cercles sous le segment [AC].

Pour vérifier le processus de construction des lunules géométriquement, notez que la somme des aires des deux lunules est égale à l’aire du triangle
ABC .

Calcul de l’aire du triangle  ABC   en utilisant la formule de Héron :

Le semi-périmètre   s  est donné par :

L’aire du triangle est :

La somme des aires des deux lunules est donc égale à l’aire du triangle, confirmant la propriété des lunules d’Hippocrate.

Exercice 7 – des quadrilatères.

a. Donne la nature de chaque quadrilatère. Justifie.

Quadrilatère ABCD : C’est un losange car tous ses côtés sont égaux (3 cm) et ses diagonales sont perpendiculaires (indiqué par l’angle droit au centre).

Quadrilatère EFGH : C’est un rectangle car ses angles sont droits et ses côtés opposés sont égaux (3 cm et 5 cm).

Quadrilatère JKLM : C’est un carré car tous ses côtés sont de même longueur (7 cm) et tous ses angles sont droits.

Quadrilatère PQRS : C’est un trapèze car il a une paire de côtés parallèles (indiqué par les côtés PQ et SR avec les mesures données).

b. Construis chacun de ces quadrilatères en vraie grandeur.

Pour construire ces quadrilatères :

1. Losange ABCD : Trace un segment de 4,5 cm pour représenter une diagonale. Trace une autre diagonale perpendiculaire de 3 cm. Connecte les points d’intersection pour former le losange.

2. Rectangle EFGH : Trace un côté de 3 cm. À chaque extrémité, trace un angle droit et prolonge de 5 cm pour former l’autre côté. Connecte pour former le rectangle.

3. Carré JKLM : Trace un côté de 7 cm. À chaque extrémité, trace un angle droit, prolonge chaque côté de 7 cm et connecte pour fermer le carré.

4. Trapèze PQRS : Trace un côté de 4 cm. Trace une diagonale PS de 1 cm. Trace un côté parallèle à PS de longueur 7 cm. Complète le trapèze en connectant les extrémités restantes.

Exercice 8 – construction de triangle et parallèles

a. Tracer un triangle ABC.

b. À partir du point A, tracer une droite (d) parallèle à la droite (BC).

À partir du point B, tracer une droite (d’) parallèle à la droite (AC); elle coupe (d) en E.

À partir du point C, tracer une droite (d ») parallèle à la droite (AB); elle coupe (d) en F et (d’) en G.

c. Tracer les droites (EC), (BF) et (AG).

Observation : Les droites (EC), (BF) et (AG) se coupent en un même point, appelé le centre du triangle de Ronce.

Exercice 9 – donner la nature d’un triangle

a. Le triangle est tel que , il est donc rectangle en .

b. Le triangle a deux côtés égaux et , il est donc rectangle isocèle en .

c. Le triangle est équilatéral car il est isocèle en chacun de ses sommets, donc tous ses côtés sont égaux.

Exercice 10 – construction de triangles.

1. Triangle ABC :

Il s’agit d’un triangle isocèle en A avec AB = AC = 5 cm et BC = 4 cm. Les angles à la base sont égaux.

2. Triangle DEF :

Il s’agit d’un triangle isocèle en E avec DE = DF et EF = 6 cm. L’angle mesure .

3. Triangle GHI :

Il s’agit d’un triangle équilatéral avec chaque côté de 4 cm.

Tous les angles mesurent .

4. Triangle JKL :

Il s’agit d’un triangle rectangle en L avec JL = 5 cm et KL = 6 cm.

En utilisant le théorème de Pythagore, calculons JK :

5. Triangle PQR :

Il s’agit d’un triangle rectangle isocèle en Q avec QR = PQ = 4 cm.

Calculons PR en utilisant le théorème de Pythagore :