Logarithme népérien : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 23 novembre 2025

Le logarithme népérien est un concept clé en maths qui joue un rôle crucial dans le programme de terminale. En maîtrisant le logarithme népérien, les élèves développent des compétences essentielles telles que la résolution d’équations et l’analyse de fonctions. Ce sujet est non seulement fondamental pour réussir les examens, mais il constitue également une base pour des études supérieures en sciences et en ingénierie. Découvrez nos corrections d’exercices pour renforcer vos compétences en logarithmes et réussir votre année !

Exercice 1 – simplification de logarithmes.

Réponse 1 : $e^{\ln3}=3$

Réponse 2 : $e^{-\ln5}=\frac{1}{5}$

Réponse 3 : $e^{\ln(\frac{1}{3})}=\frac{1}{3}$

Réponse 4 : $\ln(e^{5})=5$

Réponse 5 : $\ln1+\ln e=0+1=1$

Réponse 6 : $\ln(e^{-2})=-2$

Exercice 2 – exprimer ces nombres sous la forme ln c.

1) $A=\ln7+\ln8=\ln(7\times 8)=\ln56$

2) $B=\ln20-\ln4=\ln(\frac{20}{4})=\ln5$

3) $C=-\ln4+\ln28=\ln(\frac{28}{4})=\ln7$

4) $D=3\ln2=\ln(2^3)=\ln8$

5) $E=-2\ln4=\ln(\frac{1}{4^2})=\ln(\frac{1}{16})$

Exercice 3 – comparer les réels A et B.

1) Comparons $A=\ln2+\ln5$ et $B=\ln9$ :

En utilisant la propriété des logarithmes : $\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$ , on a :

$A=\ln(2\times 5)=\ln10$

Comparons $\ln10$ et $\ln9$ :

\ln9″ alt= »\ln10>\ln9″>

Donc : A>B.

2) Comparons $A=\ln4$ et $B=\ln6-\ln2$ :

En utilisant la propriété des logarithmes : $\ln(a)-\ln(b)=\ln(\frac{a}{b})$ , on a :

$B=\ln(\frac{6}{2})=\ln3$

Comparons $\ln4$ et $\ln3$ :

\ln3″ alt= »\ln4>\ln3″>

Donc : A>B.

3) Comparons $A=3\ln2$ et $B=2\ln3$ :

En utilisant la propriété des puissances des logarithmes : $a\ln(b)=\ln(b^a)$ , on a :

$A=\ln(2^3)=\ln8$

$B=\ln(3^2)=\ln9$

Comparons $\ln8$ et $\ln9$ :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?\ln8<\ln9" alt="\ln8

Donc : A<B.

4) Comparons $A=\ln25$ et $B=2\ln5$ :

En utilisant la propriété : $a\ln(b)=\ln(b^a)$ , on a :

$B=\ln(5^2)=\ln25$

$\ln25=\ln25$ , donc :

A=B.

Exercice 4 – résoudre les équations suivantes.

Équation 1 :

On prend le logarithme népérien de chaque côté :

$x=\ln(2)$

Équation 2 :

Il n’existe pas de solution réelle car la fonction exponentielle est toujours positive.

Équation 3 : $e^x=\frac{1}{4}$

On prend le logarithme népérien de chaque côté :

$x=\ln(\frac{1}{4})$

Ce qui peut se simplifier en :

$x=-\ln(4)$

Exercice 5 – résoudre les équations.

1) Équation : $\ln{x}=\ln{(\frac{1}{2})}$

Solution : Puisque les logarithmes naturels sont égaux, on a : $x=\frac{1}{2}$

2) Équation : $\ln{x}=\frac{\ln{5}}{2}$

Solution : En appliquant l’exponentielle de chaque côté, on obtient : $x=e^{\frac{\ln{5}}{2}}$

Ce qui donne : $x=\sqrt{5}$

3) Équation : $\ln{x}=-\ln{9}$

Solution : On sait que $-1=\ln{(\frac{1}{9})}$

Donc, $x=\frac{1}{9}$

Exercice 6 – logarithmes népériens et équations.

1) $(\ln{x}-2)(1+\ln{x})=0$

Pour que le produit soit nul, il faut que l’un des facteurs soit nul :

– $\ln{x}-2=0$ implique $\ln{x}=2$

Donc, $x=e^{2}$

– $1+\ln{x}=0$ implique $\ln{x}=-1$

Donc, $x=e^{-1}$

Solutions : $x=e^{2}\text{ ou }x=e^{-1}$

2) $(e^{x}-3)(e^{x}+5)=0$

Pour que le produit soit nul, il faut que l’un des facteurs soit nul :

– $e^{x}-3=0$ implique $e^{x}=3$

Donc, $x=\ln{3}$

– $e^{x}+5=0$ n’a pas de solution réelle car $e^{x}$ est toujours positif.

Solution : $x=\ln{3}$

3) $(\ln{x})(6-3\ln{x})=0$

Pour que le produit soit nul, il faut que l’un des facteurs soit nul :

– $\ln{x}=0$ implique

– $6-3\ln{x}=0$ implique $3\ln{x}=6$

Donc, $\ln{x}=2$ , alors $x=e^{2}$

Solutions : $x=1\text{ ou }x=e^{2}$

Exercice 7 – résoudre les inéquations suivantes

1) Résolution de $\ln(x)\geq\,1$

Pour résoudre cette inéquation, exponentions les deux côtés de l’inégalité :

$\Rightarrow x\geq\, e^1$

Donc, la solution est $x\geq\, e$

2) Résolution de -2″ alt= »\ln(x)>-2″>

Exponentions les deux côtés de l’inégalité :

e^{-2} » alt= »\Rightarrow x>e^{-2} »>

Donc, la solution est e^{-2} » alt= »x>e^{-2} »>

3) Résolution de $\ln(x)\leq\,\frac{1}{2}$

Exponentions les deux côtés de l’inégalité :

$\Rightarrow x\leq\, e^{\frac{1}{2}}$

Donc, la solution est $x\leq\,\sqrt{e}$

4) Résolution de <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?\ln(x)<3" alt="\ln(x)

Exponentions les deux côtés de l’inégalité :

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?\Rightarrow x<e^3" alt="\Rightarrow x

Donc, la solution est <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<e^3" alt="x

Exercice 8 – fonction logarithme : image et antécédent.

1) 0 a un seul antécédent par $ f $.

Vrai. L’équation $\ln(x) = 0$ a pour solution $x = 1$. Donc, 0 a un seul antécédent, qui est 1.

2) L’image de 1 par $ f $ est $ e $.

Faux. L’image de 1 par $ f $ est $\ln(1) = 0$, pas $ e $.

3) L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe $\mathcal{C} $.

Faux. L’axe des abscisses n’est pas une asymptote. La fonction $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers 0 mais ne s’approche pas de l’axe des abscisses.

4) L’axe des ordonnées est une asymptote à la courbe $\mathcal{C} $.

Vrai. Quand $ x $ tend vers 0, $\ln(x) \to -\infty$. Ainsi, l’axe des ordonnées est une asymptote verticale.

5) Il n’existe aucun réel $ x $ tel que $\ln(x) > 100$.

Faux. Pour $\ln(x) > 100$, il existe un $ x $ tel que $\ln(x) = 100$, qui est $ x = e^{100} $, donc $\ln(x) > 100$ est possible.

Exercice 9 – etude d’une fonction logarithme et utilisation de la calculatrice.

1) Déterminer une équation de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C} $ en 1.

La fonction est : $f(x)=\ln x$ .

Sa dérivée est : $f'(x)=\frac{1}{x}$ .

À $ x = 1 $, on a et .

L’équation de la tangente en $ x = 1 $ est donc : .

2) Conjecturer la position relative de $ \mathcal{C} $ et $ T $.

En utilisant une calculatrice, on conjecture que la courbe $ \mathcal{C} $ est au-dessus de la tangente $ T $ pour tout $ x > 0 $, sauf en $ x = 1 $ où elles se touchent.

3) Pour tout réel $ x > 0 $, on pose $ d(x) = \ln x – x + 1 $.

a) Dresser le tableau de variation de la fonction $ d $.

Dérivons $ d(x) $ : $d'(x)=\frac{1}{x}-1$ .

Elle s’annule pour .

Le signe de $ d'(x) $ est : positif pour $ 0 < x 1 $.

Donc, $ d(x) $ est croissante sur $ ]0; 1] $ et décroissante sur $ [1; +\infty[ $.

b) En déduire le signe de $ d(x) $ en fonction de $ x $.

Évaluons $ d(x) $ en $ x = 1 $ : .

Pour $ x > 1 $, $ d(x) < 0 $ et pour $ 0 < x 0 $.

c) Démontrer la conjecture établie au 2.

La fonction $ d(x) $ est positive pour $ 0 < x 1 $. Cela confirme que $ \mathcal{C} $ est au-dessus de $ T $ sauf en $ x = 1 $, où elles se touchent.

Exercice 10 – exprimer les nombres logarithmes sous forme d’entier.

1) ln(0,5) + ln 2 :

$\ln(a)+\ln(b)=\ln(a\times b)$

$\ln(0,5)+\ln(2)=\ln(0,5\times 2)$

$\ln1=0$

2) 3 ln 2 – ln 4 :

$a\ln(b)=\ln(b^a)$

$3\ln(2)=\ln(2^3)$

$\ln(2^3)-\ln(4)=\ln(\frac{2^3}{4})$

$\ln(8)-\ln(4)=\ln(\frac{8}{4})$

$\ln(2)=\ln(2)$

3) (ln(e^3))^2 :

$\ln(e^{3})=3$

4) e^{\ln2+\ln3} :

$e^{\ln(a)+\ln(b)}=e^{\ln(a\times b)}$

$e^{\ln2+\ln3}=e^{\ln(2\times 3)}$

$e^{\ln6}=6$

A) A = e^{2\ln3} :

$e^{2\ln3}=3^2=9$

B) B = e^{4\ln2} :

$e^{4\ln2}=2^4=16$

C) C = e^{-\ln4} :

$e^{-\ln4}=\frac{1}{4}$

D) D = e^{-5\ln2} :

$e^{-5\ln2}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$

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