Lois normales : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 23 novembre 2025

Les lois normales sont un sujet essentiel pour les élèves de terminale qui se préparent au baccalauréat. Comprendre ces concepts permet de développer des compétences mathématiques cruciales telles que l’analyse de données, l’interprétation de graphiques, et la maîtrise des probabilités. Dans cet article, nous proposons des corrections d’exercices de mathématiques afin d’aider les étudiants à mieux assimiler ces notions et à réussir leur examen.

Exercice 1 – production de vis et loi normale.

a) Pour $-0,1\leq\, L\leq\,0,1$ , la probabilité se calcule par :

$P(-0,1\leq\, L\leq\,0,1)=P(L\leq\,0,1)-P(L\leq\,-0,1)$

Avec la table de la loi normale centrée réduite :

$P(L\leq\,0,1)\approx0,5398$

$P(L\leq\,-0,1)\approx0,4602$

Donc, $P(-0,1\leq\, L\leq\,0,1)\approx0,5398-0,4602=0,0796$

b) Pour $L\leq\,0,05$ :

$P(L\leq\,0,05)\approx0,5199$

c) Pour $L\geq\,0,2$ :

$P(L\geq\,0,2)=1-P(L\leq\,0,2)$

$P(L\leq\,0,2)\approx0,5793$

Donc, $P(L\geq\,0,2)\approx1-0,5793=0,4207$

Exercice 2 – course à pied et événement.

1. Que représente l’événement $ P(T \geq\, 0,25) $ ?

L’événement $ P(T \geq\, 0,25) $ représente la probabilité que le temps mis par un participant soit supérieur ou égal à 3,25 heures, soit un dépassement de 0,25 heure par rapport à la moyenne.

2. Calculer et donner l’arrondi au centième de :

a) $ P(T \geq\, 0,25) $ :

Pour calculer cette probabilité, on utilise la table de la loi normale centrée réduite :

$ P(T \geq\, 0,25) = 1 – P(T \leq\, 0,25) $

$ P(T \leq\, 0,25) \approx 0,5987 $

$ P(T \geq\, 0,25) = 1 – 0,5987 \approx 0,4013 $

b) $ P(T \leq\, -0,5) $ :

$ P(T \leq\, -0,5) \approx 0,3085 $

c) $ P(-0,1 \leq\, T \leq\, 0,2) $ :

$ P(-0,1 \leq\, T \leq\, 0,2) = P(T \leq\, 0,2) – P(T \leq\, -0,1) $

$ P(T \leq\, 0,2) \approx 0,5793 $

$ P(T \leq\, -0,1) \approx 0,4602 $

$ P(-0,1 \leq\, T \leq\, 0,2) = 0,5793 – 0,4602 \approx 0,1191 $

Exercice 3 – déterminer la probabilité qu’il soit à découvert.

1) Déterminer la probabilité que le compte de Sigmund soit à découvert :

La probabilité que le compte soit à découvert signifie que $X\leq\,0$ (puisque découvert $\Left\to$ moins de 0 euros). Pour une loi normale centrée réduite :

$P(X\leq\,0)=0,5$

2) Déterminer la probabilité que Sigmund ait entre 200 et 500 euros sur son compte :

On cherche $0,2\leq\,X\leq\,0,5$ :

$P(0,2\leq\,X\leq\,0,5)=P(X\leq\,0,5)-P(X\leq\,0,2)$

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite :

$P(X\leq\,0,5)\approx0,6915$

$P(X\leq\,0,2)\approx0,5793$

$P(0,2\leq\,X\leq\,0,5)\approx0,1122$

b) Déterminer la probabilité qu’il soit à découvert d’entre 100 et 600 euros :

On cherche $-0,6\leq\,X\leq\,-0,1$ :

$P(-0,6\leq\,X\leq\,-0,1)=P(X\leq\,-0,1)-P(X\leq\,-0,6)$

$P(X\leq\,-0,1)\approx0,4602$

$P(X\leq\,-0,6)\approx0,2743$

$P(-0,6\leq\,X\leq\,-0,1)\approx0,1859$

3) Déterminer la probabilité qu’il soit à découvert de plus de 500 euros sachant qu’il a reçu un SMS :

On cherche $P(X\leq\,-0,5\midX\leq\,0)$

En utilisant la formule de probabilité conditionnelle :

$P(X\leq\,-0,5\midX\leq\,0)=\frac{P(X\leq\,-0,5)}{P(X\leq\,0)}$

$P(X\leq\,-0,5)\approx0,3085$

$P(X\leq\,0)=0,5$

$P(X\leq\,-0,5\midX\leq\,0)\approx0,617$

Exercice 4 – loi normale et calculs de probabilités.

1) On considère une variable aléatoire X suivant la loi normale $\mathcal{N}(2\ ;\ 3^2)$ .

a) Calcul de $P(0\leq\, X\leq\, 3)$

On calcule <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X\leq\,3)-P(X

Réponse :

b) Calcul de <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X

c) Calcul de <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(4

$1-P(X\leq\,4)\approx0,252$

d) Calcul de <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(X

e) Calcul de $P(X\geq\,3)$

<img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1-P(X

f) Calcul de -2) »>

$1-P(X\leq\,-2)\approx0,977$

g) Calcul de <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(1<X2) »>

Réponse : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(1<X2)\approx0,184″>

h) Calcul de 2) »>

2)\approx0,500″>

2) On considère une variable aléatoire Y suivant la loi normale de paramètres $\mu=10$ et $\sigma=4$

a) Calcul de <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Y

On trouve $t\approx6,72$

b) Calcul de t)=0,7″>

On trouve $t\approx8,44$

c) Calcul de <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(-t<Y-10

On trouve $t\approx5,13$

d) Calcul de $P(t\leq\, Y)=0,35$

On trouve

e) Calcul de <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?P(Y

On trouve $t\approx7,08$

Exercice 5 – une variable aléatoire Z suivant une loi normale.

1) Déterminer les probabilités suivantes :

a) P(6 \leq\, Z \leq\, 12)

Pour standardiser, nous utilisons la formule de la variable centrée réduite :

$P(6\leq\, Z\leq\, 12)=P(\frac{6-8}{2}\leq\, \frac{Z-8}{2}\leq\, \frac{12-8}{2})$

$=P(-1\leq\, Z'\leq\, 2)$

À l’aide de la table de la loi normale, on trouve :

$\approx 0,8186$

b) P(Z \gt 9)

$P(Z\gt 9)=P(\frac{Z-8}{2}\gt \frac{9-8}{2})$

$=P(Z'\gt 0,5)$

Utilisation de la table :

$\approx 0,3085$

c) P(Z \leq\, 7,5)

$P(Z\leq\, 7,5)=P(\frac{Z-8}{2}\leq\, \frac{7,5-8}{2})$

$=P(Z'\leq\, -0,25)$

Utilisation de la table :

$\approx 0,4013$

d) P_{Z\geq\, 8}(Z \lt 10)

Premièrement, calculons $P(Z\lt 10)$ et

$P(Z\lt 10)=P(\frac{Z-8}{2}\lt \frac{10-8}{2})$

$=P(Z'\lt 1)$

$\approx 0,8413$

$P(Z\geq\, 8)=0,5$

Donc :

$P_{Z\geq\, 8}(Z \lt 10)=\frac{P(8\leq\, Z\lt 10)}{P(Z\geq\,8)}$

Avec $P(8\leq\, Z\lt 10)=P(Z\lt 10)-P(Z\lt 8)$

$P_{Z\geq\, 8}(Z \lt 10)=\frac{0,3413}{0,5}\approx 0,6826$

2) Déterminer la valeur du réel t :

a) P(Z \leq\, t)=0,3

Pour trouver t, on utilise la table de la loi normale. On doit trouver la valeur associée à 0,3 :

Avec $z\approx-0,524$

$t=8+(-0,524)\times 2$

$\approx 6,952$

b) P(Z \geq\, 2t)=0,4

Ce qui signifie $P(Z \leq\, 2t)=0,6$

On utilise à nouveau la table pour 0,6 :

$2t=8+0,253\times 2$

$2t\approx8,506$

Ainsi, $t\approx4,253$

Exercice 6 – déterminer les probabilités P(X>2) et la loi sans vieillissement.

1) Probabilités :

La variable aléatoire $X\sim\mathcal{N}(5;1,3^2)$ a pour moyenne 5 et écart-type 1,3.

Pour déterminer 2) » alt= »P(X>2) »>, nous normalisons :

2)=P(Z>\frac{2-5}{1,3})=P(Z>-2,31) » alt= »P(X>2)=P(Z>\frac{2-5}{1,3})=P(Z>-2,31) »>

On utilise la table de la loi normale :

-2,31)\approx0,989″ alt= »P(Z>-2,31)\approx0,989″>

Pour 1}(X>3) » alt= »P_{X>1}(X>3) »>, on utilise la formule conditionnelle :

1}(X>3)=\frac{P(X>3\cap X>1)}{P(X>1)}=\frac{P(X>3)}{P(X>1)} » alt= »P_{X>1}(X>3)=\frac{P(X>3\cap X>1)}{P(X>1)}=\frac{P(X>3)}{P(X>1)} »>

Calcul de 3) » alt= »P(X>3) »> :

3)=P(Z>\frac{3-5}{1,3})=P(Z>-1,54)\approx0,938″ alt= »P(X>3)=P(Z>\frac{3-5}{1,3})=P(Z>-1,54)\approx0,938″>

Calcul de 1) » alt= »P(X>1) »> :

1)=P(Z>\frac{1-5}{1,3})=P(Z>-3,08)\approx0,999″ alt= »P(X>1)=P(Z>\frac{1-5}{1,3})=P(Z>-3,08)\approx0,999″>

Donc, 1}(X>3)\approx\frac{0,938}{0,999}\approx0,939″ alt= »P_{X>1}(X>3)\approx\frac{0,938}{0,999}\approx0,939″>

2) Loi sans vieillissement :

Une loi est sans vieillissement si elle est à temps constant, c’est-à-dire que la probabilité conditionnelle reste constante dans le temps. La loi normale n’a pas cette propriété car elle dépend du temps écoulé, donc elle n’est pas sans vieillissement.

Exercice 7 – une variable aléatoire et une loi normale.

1) $P(\mu\leq\, Y\leq\,\mu+a)=0,8$

2) \mu+a)=1-0,8=0,2″ alt= »P(Y>\mu+a)=1-0,8=0,2″>

3) $P(Y\leq\,\mu-a)=0$

4) $P(\mu-a\leq\, Y\leq\,\mu+a)=0,8$

Exercice 8 – calcul de l’écart-type et variable aléatoire.

1) Déterminer les probabilités suivantes :

a) P(0 < X \leq\, 2) :

P(0 < X \leq\, 2) = P(X \leq\, 2) – P(X \leq\, 0)

$P(0\lt X\leq\,2)=0,266-0,0304=0,2356$

b) P(X \geq\, 1) :

P(X \geq\, 1) = 1 – P(X \lt 1)

$P(X\geq\,1)=1-0,105=0,895$

c) P((X \leq\, -1) \cup (X \gt 0)) :

P((X \leq\, -1) \cup (X \gt 0)) = P(X \leq\, -1) + P(X \gt 0)

$P(X\leq\,-1)=0,0062$

P(X \gt 0) = 1 – P(X \leq\, 0) = 1 – 0,0304 = 0,9696

$P((X\leq\,-1)\cup(X\gt0))=0,0062+0,9696=0,9758$

2) Déterminer \mu.

On sait que P(X \leq\, 0) = 0,0304, ce qui correspond à une symétrie autour de \mu. Comme la loi normale est centrée en \mu, et sachant que l’écart-type est autour de 1, on peut en conclure que \mu est proche de 0.

3) En déduire \sigma sachant que 10\sigma \in \mathbb{N} et 1 < \sigma < 2.

En utilisant la table, nous avons :

P(X \leq\, 1) = 0,105

Cette probabilité est associée à un z-score de \frac{1-\mu}{\sigma}. Sachant que \mu = 0, nous avons :

$\frac{1}{\sigma}=1.64$

Donc, \sigma = \frac{1}{1,64} \approx 0,61. Toutefois, \sigma doit être entre 1 et 2. La valeur de \sigma qui respecte la condition 10\sigma \in \mathbb{N} est \sigma \approx 1,5.

Exercice 9 – courbes de fonctions de densité.

1) Graphiquement, quelle est la valeur de t ?

La valeur de correspond à l’abscisse où toutes les courbes sont centrées, c’est-à-dire la moyenne, ici . Donc, .

2) Associer chacune des courbes à la variable aléatoire lui correspondant.

Les courbes représentent les fonctions de densité des lois normales qui dépendent de la variance.

Courbe $\mathcal{C}_1$ : C’est la plus étroite car elle a la plus petite variance . Elle correspond à la variable aléatoire X.
Courbe $\mathcal{C}_2$ : C’est l’intermédiaire avec une variance . Elle correspond à la variable aléatoire Y.
Courbe $\mathcal{C}_3$ : C’est la plus large avec une variance maximale . Elle correspond à la variable aléatoire Z.

Exercice 10 – moyen de transport entre le vélo et le bus.

1) Temps moyen de parcours :

Le temps moyen pour le vélo est directement donné par la moyenne $\mu = 43$ minutes.

Le temps moyen pour le bus est également donné par la moyenne $\mu = 38$ minutes.

2) Conseiller pour ne pas arriver en retard :

Hiluphekile a 45 minutes pour aller au travail. Il doit choisir le moyen de transport avec le temps moyen le plus faible.

Le bus a un temps moyen de 38 minutes, donc il est conseillé de prendre le bus pour éviter d’arriver en retard compte tenu de la contrainte de temps.

3) Conseiller pour le retour :

Sans contrainte de temps, le vélo est une bonne option, mais généralement pour minimiser le temps de trajet, le bus est recommandé car son temps moyen est plus faible.

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