La rotation en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10 avec figures

L’hexagone est formé de six triangles équilatéraux : les angles \( \widehat{AOB} \), \( \widehat{BOC} \), … mesurent tous \( 360 \div 6 = 60 \) degrés, et O est à égale distance des six sommets.

a. La rotation de centre O d’angle 60° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre envoie chaque sommet sur le sommet voisin dans ce sens : A a pour image F et B a pour image A (O est fixe). L’image du triangle AOB est le triangle FOA.

b. 240° = 4 × 60° : chaque sommet « avance » de 4 sommets dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (A → F → E → D → C). A a pour image C et B a pour image D. L’image de AOB est le triangle COD.

c. La translation qui transforme C en D fait glisser chaque point parallèlement à [CD], dans le sens de C vers D et de la même longueur. Comme ABCDEF est formé de losanges : A a pour image F (car ACDF est un parallélogramme : AF et CD sont parallèles, de même longueur et de même sens), O a pour image E et B a pour image O. L’image de AOB est le triangle FEO.

Sur cette figure, les sommets A, B, C, D, E, F se suivent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, et chaque angle au centre mesure 60°.

a. Rotation de centre O, d’angle 60°, sens inverse des aiguilles d’une montre :

• le point A a pour image B ;
• le point F a pour image A ;
• le triangle OBA a pour image le triangle OCB ;
• le losange ODEF a pour image le losange OEFA.

b. Rotation de centre C, d’angle 60°, sens des aiguilles d’une montre. Le point C ne bouge pas.

• CB = CO et \( \widehat{BCO} = 60^\circ \) (triangle équilatéral BCO), avec O obtenu en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre : B a pour image O ;
• de même O a pour image D (triangle équilatéral OCD) ;
• le triangle ACE est équilatéral (ses côtés sont les diagonales de trois losanges identiques), donc CA = CE et \( \widehat{ACE} = 60^\circ \) : A a pour image E ;
• le triangle OBA a pour image le triangle DOE ;
• le losange OABC a pour image le losange DEOC.

Tous les points sont sur le cercle de centre O. Une rotation de centre O conserve la distance à O : toutes les images sont aussi sur ce cercle. Il suffit donc, pour chaque point M, de tracer [OM], de reporter l’angle au rapporteur à partir de [OM] dans le bon sens, et de prendre l’intersection du côté obtenu avec le cercle.

a. A′ et D′ : on tourne de 70° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de [OA] et de [OD].

b. B′, C′ et E′ : on tourne de 45° dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de [OB], [OC] et [OE].

c. Les deux points images sont sur le cercle de centre O, donc on passe de l’un à l’autre par une rotation de centre O ; il reste à trouver l’angle en « recollant » les trois déplacements. On mesure sur la figure de l’énoncé \( \widehat{AOB} \approx 76^\circ \) et \( \widehat{DOC} \approx 68^\circ \) (ces mesures dépendent du tracé).

• De A′ à B′ : de A′ on revient à A (70° dans le sens des aiguilles d’une montre), de A on va à B (76° dans le sens inverse), puis de B à B′ (45° dans le sens des aiguilles d’une montre). Bilan : \( 70 – 76 + 45 = 39 \). B′ est l’image de A′ par la rotation de centre O d’angle environ 39° dans le sens des aiguilles d’une montre.
• De D′ à C′ : de D′ on revient à D (70° dans le sens des aiguilles d’une montre), de D on va à C (68° dans le même sens), puis de C à C′ (45°, encore le même sens). Bilan : \( 70 + 68 + 45 = 183 \) degrés dans le sens des aiguilles d’une montre, c’est-à-dire environ 177° dans le sens inverse. C′ est l’image de D′ par la rotation de centre O d’angle environ 183° dans le sens des aiguilles d’une montre : presque un demi-tour, C′ et D′ sont quasiment diamétralement opposés.

Méthode pour un point M (centre K, angle α) : on trace [KM], on place le rapporteur en K sur [KM], on marque l’angle α dans le sens demandé, puis on reporte au compas la longueur KM sur le nouveau côté.

a. Centre B, 75°, sens inverse des aiguilles d’une montre. Le centre est invariant : B a pour image lui-même. On construit A₁, C₁ et D₁ images de A, C et D, puis on trace le quadrilatère A₁BC₁D₁ en rouge.

b. Centre O, 100°, sens des aiguilles d’une montre. On construit A₂, B₂, C₂ et D₂ de la même façon et on trace A₂B₂C₂D₂ en vert.

Contrôle : une rotation conserve les longueurs et les angles, donc les images ont exactement la même forme et les mêmes dimensions que ABCD ; seule leur position change.

a. Centre D, 45°, sens inverse des aiguilles d’une montre : D reste fixe. [DA] tourne de 45° : A₁ est sur la diagonale du carré issue de D, avec DA₁ = DA. On construit B₁ et C₁ de la même façon. Le carré rouge A₁B₁C₁D a un sommet commun avec ABCD.

b. Centre A, 135°, sens des aiguilles d’une montre : A reste fixe, et l’on obtient le carré vert AB₂C₂D₂.

c. Tourner de 135° dans le sens des aiguilles d’une montre revient à tourner de ce qu’il manque pour faire un tour complet dans l’autre sens :

\[ 360^\circ – 135^\circ = 225^\circ \]

On passe du carré noir au carré vert par la rotation de centre A d’angle 225° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

d. Centre I, 280°, sens inverse des aiguilles d’une montre. Comme \( 360 – 280 = 80 \), c’est la même chose qu’une rotation de 80° dans le sens des aiguilles d’une montre, plus facile à tracer au rapporteur. On obtient le carré bleu A₃B₃C₃D₃.

On repère les points sur le quadrillage (une unité = un carreau, origine au coin en bas à gauche) : A(1 ; 1), B(6 ; 2), C(13 ; 4) ; F a pour sommets A(1 ; 1), (3 ; 3), (4 ; 3), (5 ; 2) et (4 ; 1).

a. Une rotation d’angle 180° est un demi-tour : l’image M₁ d’un point M est telle que B est le milieu de [MM₁]. Pour chaque sommet, on compte les carreaux de M à B et on les reporte au-delà de B. Par exemple A(1 ; 1) a pour image A₁(11 ; 3). Les sommets de F₁ sont (11 ; 3), (9 ; 1), (8 ; 1), (7 ; 2) et (8 ; 3).

La rotation de centre B d’angle 180° est la symétrie centrale de centre B.

b. Même méthode avec le centre C : F₂ a pour sommets (15 ; 5), (17 ; 7), (18 ; 7), (19 ; 6) et (18 ; 5). A₁ a pour image A₂(15 ; 5).

c. F₂ a la même orientation que F : on passe de F à F₂ par un glissement, c’est une translation. Chaque point se déplace de 14 carreaux vers la droite et 4 vers le haut, soit deux fois le déplacement de B vers C (de B à C : 7 carreaux vers la droite et 2 vers le haut).

Centre. Le centre O d’une rotation est à la même distance d’un point et de son image : OA = OA′. Il appartient donc à la médiatrice de [AA′]. De même, il est sur la médiatrice de [BB′].

1. On trace les segments [AA′] et [BB′] (en pointillés) puis leurs médiatrices, à la règle et au compas.
2. Le centre O est le point d’intersection des deux médiatrices. On peut contrôler avec la médiatrice de [CC′], qui passe aussi par O.

Angle. On trace [OA] et [OA′] et on mesure l’angle \( \widehat{AOA^{\prime}} \) au rapporteur : on trouve 120°. On passe de [OA] à [OA′] en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Contrôle avec B : \( \widehat{BOB^{\prime}} \) mesure aussi 120°.

a. Pour chaque point M, on trace [OM], on reporte au rapporteur un angle de 60° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, puis on reporte la longueur OM au compas : on obtient M′ avec OM′ = OM et \( \widehat{MOM^{\prime}} = 60^\circ \).

b. Une rotation de centre O conserve la distance au centre : OA′ = OA et OB′ = OB = OA. Les images A′ et B′ sont donc sur le même cercle de centre O passant par A.

c. Une rotation conserve l’alignement : O, A, C et E sont alignés, donc leurs images O, A′, C′ et E′ le sont aussi. C′ et E′ appartiennent à la droite (OA′), image de la droite (OA). De plus OC′ = OC et OE′ = OE, et E′ reste de l’autre côté de O par rapport à A′ et C′, comme E l’était par rapport à A et C.

L’énoncé de cet exercice reprend la même figure que l’exercice 8 (rotation de centre O d’angle 60°, points A, B, C, D, E). On rédige ici les justifications sous forme de démonstration, en citant les propriétés de la rotation.

a. Construction : voir l’exercice 8. Par définition, pour chaque point M d’image M′ : OM′ = OM et \( \widehat{MOM^{\prime}} = 60^\circ \).

Conséquence utile. Dans le triangle OAA′, OA = OA′ : il est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux et valent \( (180 – 60) \div 2 = 60 \) degrés. Ses trois angles mesurent 60° : OAA′ est équilatéral, donc AA′ = OA. De même OCC′ est équilatéral.

b. Données : A et B sont sur le cercle de centre O passant par A, donc OB = OA. Propriété : une rotation de centre O conserve les distances au centre. Conclusion : OA′ = OA et OB′ = OB = OA, donc A′ et B′ appartiennent au même cercle de centre O et de rayon OA.

c. Données : C et E appartiennent à la droite (OA). Propriété : l’image d’une droite par une rotation est une droite ; comme O est fixe, l’image de (OA) est la droite (OA′). Conclusion : C′ et E′ appartiennent à la droite (OA′), et les droites (OA) et (OA′) forment un angle de 60°.

Les cercles de la figure sont centrés en O et passent chacun par un ou plusieurs sommets du poisson : l’image de chaque sommet reste sur son cercle, puisqu’une rotation de centre O conserve la distance à O.

a. Au compas seul, 60° dans le sens inverse. On utilise la propriété de l’exercice 9 : si M′ est l’image de M par la rotation de centre O d’angle 60°, le triangle OMM′ est équilatéral, donc MM′ = OM. Pour chaque sommet M :

1. on prend l’écartement OM au compas (pointe en O, mine sur M) ;
2. on pique en M et on trace un arc qui coupe le cercle passant par M : on garde le point d’intersection situé dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ; c’est M′.

On relie ensuite les images dans le même ordre que les sommets, et on reporte l’œil et la bouche : on obtient le poisson rouge.

b. À l’équerre seule, 90° dans le sens des aiguilles d’une montre. Pour chaque sommet M, on place l’angle droit de l’équerre en O, un côté le long de [OM] ; l’autre côté donne la demi-droite perpendiculaire, du côté du sens des aiguilles d’une montre. M′ est l’intersection de cette demi-droite avec le cercle passant par M (\( \widehat{MOM^{\prime}} = 90^\circ \), OM′ = OM). La queue, à gauche de O, se retrouve au-dessus de O.