Volumes en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10 sur pyramides et cônes

Volume d’un cône de rayon r et de hauteur h : \( V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \).

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 6 \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 6 \\ &= \frac{150\pi}{3} = 50\pi \end{aligned} \]

Valeur approchée : \( 50\pi \approx 157{,}08 \text{ cm}^3 \).

La base est un rectangle de 30 m sur 50 m :

\[ \mathcal{B} = 30 \times 50 = 1\,500 \text{ m}^2 \]

\[ V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h = \frac{1}{3} \times 1\,500 \times 90 = 500 \times 90 = 45\,000 \text{ m}^3 \]

La figure du patron n’apparaît pas dans l’énoncé fourni ; on donne la correction avec les notations habituelles de ce type de patron : un secteur circulaire de centre A limité par l’arc BC (la surface latérale), et un disque de centre O (la base).

1. Le sommet du cône est le centre du secteur circulaire, le point A : quand on referme le patron, tous les points de l’arc BC se rejoignent autour du disque et A devient la pointe du cône.

2. Le disque de base a pour centre O et pour rayon r la longueur d’un rayon du disque (par exemple [OM] si un point M est marqué sur le cercle).

3. Une génératrice relie le sommet à un point du cercle de base : sur le patron, c’est un rayon du secteur, par exemple AB (ou AC). Sa longueur est le rayon du secteur circulaire.

4. Quand on enroule le secteur, l’arc BC vient s’appliquer exactement sur le cercle de base. L’arc BC a donc la même longueur que le périmètre du disque de base :

\[ \text{arc BC} = 2 \times \pi \times r \]

Par exemple, si le rayon de base mesure 2 cm, l’arc BC mesure \( 4\pi \approx 12{,}57 \) cm.

1. ABCDE est une pyramide à base rectangulaire de sommet A : sa base BCDE est un rectangle.

2. Le codage indique que l’arête [AB] est perpendiculaire à la base (angle droit en B). La hauteur de la pyramide est donc le segment [AB], qui mesure 5 cm.

3. [AB] est perpendiculaire au plan de la base, donc à la droite (BC) : le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 5 cm et BC = 7 cm. Pour le tracer : on trace [BC] de 7 cm, la perpendiculaire à (BC) en B, on y place A à 5 cm de B, puis on trace [AC].

Contrôle de la longueur de l’hypoténuse avec le théorème de Pythagore :

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 25 + 49 = 74 \qquad AC = \sqrt{74} \approx 8{,}6 \text{ cm} \]

Aire de la base carrée : \( \mathcal{B} = 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \).

\[ V = \frac{1}{3} \times 36 \times 34 = 12 \times 34 = 408 \text{ cm}^3 \]

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \times \pi \times 7^2 \times 9 \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 49 \times 9 \\ &= 49 \times 3 \times \pi = 147\pi \end{aligned} \]

Valeur approchée au centième : \( 147\pi \approx 461{,}81 \text{ cm}^3 \).

La base est le triangle ABC rectangle en B : ses deux côtés de l’angle droit, [AB] et [BC], sont une base et la hauteur associée. On n’utilise pas AC (l’hypoténuse).

\[ \mathcal{B} = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{4{,}5 \times 6}{2} = 13{,}5 \text{ cm}^2 \]

\[ V = \frac{1}{3} \times 13{,}5 \times 7 = 4{,}5 \times 7 = 31{,}5 \text{ cm}^3 \]

Aire d’un parallélogramme = côté × hauteur relative à ce côté. Ici [AH] est la hauteur relative au côté [DC], et DC = AB = 4 cm (côtés opposés d’un parallélogramme). La longueur AD = 4,5 cm ne sert pas.

\[ \mathcal{B} = DC \times AH = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \]

\[ V = \frac{1}{3} \times 16 \times 8 = \frac{128}{3} \approx 42{,}67 \text{ cm}^3 \]

On note r le rayon (en cm). On écrit la formule du volume avec les données :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times 5 &= 18 \\ \pi \times r^2 \times 5 &= 54 \\ r^2 &= \frac{54}{5\pi} \end{aligned} \]

r est une longueur, donc un nombre positif : c’est la racine carrée de ce nombre.

\[ r = \sqrt{\frac{54}{5\pi}} \approx 1{,}85 \text{ cm} \]

Vérification : \( \frac{1}{3} \times \pi \times 1{,}854^2 \times 5 \approx 18{,}0 \text{ cm}^3 \).

Aire de la base : \( 5 \times 5 = 25 \text{ cm}^2 \). On note h la hauteur (en cm) :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{3} \times 25 \times h &= 63 \\ 25 \times h &= 189 \\ h &= \frac{189}{25} = 7{,}56 \end{aligned} \]

Vérification : \( \frac{1}{3} \times 25 \times 7{,}56 = \frac{189}{3} = 63 \text{ cm}^3 \).