Le théorème de Pythagore en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10
Voici le corrigé exercices Pythagore 4ème des dix premiers exercices de la fiche. Ils couvrent les deux usages du théorème : calculer une longueur dans un triangle rectangle (hypoténuse ou côté de l’angle droit) et, avec la réciproque, démontrer qu’un triangle est rectangle. On rencontre aussi des situations où il faut enchaîner deux triangles rectangles, repérer un triangle rectangle caché dans un cube, un pavé droit ou un trapèze, et travailler avec des valeurs exactes (racines carrées) avant d’arrondir.
Chaque solution suit la rédaction attendue au collège : on nomme le triangle rectangle et son hypoténuse, on écrit l’égalité de Pythagore, on remplace, on calcule, puis on conclut par une phrase. Des figures refaites accompagnent les exercices géométriques pour visualiser les longueurs trouvées. Conseil d’utilisation : faire l’exercice sur son cahier sans regarder, puis comparer la rédaction et les résultats ; c’est la meilleure préparation au contrôle et au brevet.
Les énoncés se trouvent sur la fiche Théorème de Pythagore : exercices de maths en 4ème corrigés en PDF. (55 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.
Corrigé des exercices 1 à 10 sur le théorème de Pythagore en 4ème
Exercice 1 : Théorème de Pythagore
Revoir l’énoncé de l’exercice 1
1. Calcul de AC. Le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\), son hypoténuse est \([AC]\). D’après le théorème de Pythagore :
\[ \begin{aligned} AC^2 &= AH^2+HC^2 \\ AC^2 &= 12^2+9^2 = 144+81 = 225 \\ AC &= \sqrt{225} = 15 \text{ cm} \end{aligned} \]
Calcul de HB. Le triangle \(AHB\) est rectangle en \(H\), son hypoténuse est \([AB]\) :
\[ \begin{aligned} AB^2 &= AH^2+HB^2 \\ 13^2 &= 12^2+HB^2 \\ HB^2 &= 169-144 = 25 \\ HB &= \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \end{aligned} \]
2. \(BC = CH+HB = 9+5 = 14\) cm et \([AH]\) est la hauteur relative au côté \([BC]\).
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{BC\times AH}{2} = \frac{14\times 12}{2} = 84 \text{ cm}^2 \]
\[ \mathcal{P}_{ABC} = AB+BC+CA = 13+14+15 = 42 \text{ cm} \]
Exercice 2 : Pythagore : calcul
Revoir l’énoncé de l’exercice 2
Calcul de AH. Le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\), d’hypoténuse \([AB]\) :
\[ \begin{aligned} AB^2 &= AH^2+BH^2 \\ 11{,}5^2 &= AH^2+6{,}9^2 \\ AH^2 &= 132{,}25-47{,}61 = 84{,}64 \\ AH &= \sqrt{84{,}64} = 9{,}2 \text{ cm} \end{aligned} \]
La valeur exacte est \(AH = 9{,}2\) cm (car \(9{,}2^2 = 84{,}64\)), donc au millième \(AH = 9{,}200\) cm.
Calcul de AC. Le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\), d’hypoténuse \([AC]\), avec \(HC = 15\) cm :
\[ \begin{aligned} AC^2 &= AH^2+HC^2 \\ AC^2 &= 84{,}64+225 = 309{,}64 \\ AC &= \sqrt{309{,}64} \approx 17{,}597 \text{ cm} \end{aligned} \]
Exercice 3 : Volume et Pythagore
Revoir l’énoncé de l’exercice 3
1) Toutes les faces d’un cube sont des carrés : ABCD est un carré de côté 4 cm.
2) Dans le carré, \(AB = BC = 4\) cm et l’angle \(\widehat{ABC}\) est droit : ABC est un triangle rectangle isocèle en B.
3) Pour la face \(ABCD\), [AC] est une diagonale du carré.
4) Pour le triangle \(ABC\), [AC] est l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit).
5) L’arête \([AE]\) est perpendiculaire à la face \(ABCD\), donc à toute droite de cette face passant par \(A\), en particulier à \((AC)\) : ACE est rectangle en A.
6) Pour le triangle \(ACE\), [CE] est l’hypoténuse (c’est une grande diagonale du cube).
7) Dans \(ABC\) rectangle en \(B\) :
\[ AC^2 = AB^2+BC^2 = 4^2+4^2 = 32 \quad\text{donc}\quad AC = \sqrt{32} \approx 5{,}7 \text{ cm} \]
8) Dans \(ACE\) rectangle en \(A\), on utilise la valeur exacte \(AC^2 = 32\) :
\[ CE^2 = AC^2+AE^2 = 32+4^2 = 48 \quad\text{donc}\quad CE = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}9 \text{ cm} \]
Exercice 4 : Réciproque du théorème de Pythagore
Revoir l’énoncé de l’exercice 4
Le plus grand côté est \([AB]\). On calcule séparément :
\[ AB^2 = 7{,}3^2 = 53{,}29 \qquad AC^2+BC^2 = 5{,}5^2+4{,}8^2 = 30{,}25+23{,}04 = 53{,}29 \]
On constate que \(AB^2 = AC^2+BC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en C (le sommet opposé au plus grand côté).
Exercice 5 : Réciproque du théorème de Pythagore : application
Revoir l’énoncé de l’exercice 5
Triangle 1. Le plus grand côté est \([AB]\).
\[ AB^2 = 22{,}1^2 = 488{,}41 \qquad AC^2+BC^2 = 14^2+17{,}1^2 = 196+292{,}41 = 488{,}41 \]
\(AB^2 = AC^2+BC^2\), donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en C et son hypoténuse est [AB].
Triangle 2. Le plus grand côté est \([AC]\).
\[ AC^2 = 100^2 = 10\,000 \qquad AB^2+BC^2 = 60^2+80^2 = 3\,600+6\,400 = 10\,000 \]
\(AC^2 = AB^2+BC^2\), donc \(ABC\) est rectangle en B et son hypoténuse est [AC].
Exercice 6 : Théorème de Pythagore
Revoir l’énoncé de l’exercice 6
Les longueurs doivent être positives, donc on considère \(x \gt -2\). Le plus grand côté est \([AS]\) car \(5x+10 \gt 4x+8 \gt 3x+6\) pour ces valeurs de \(x\).
On développe avec l’identité \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) :
\[ \begin{aligned} AS^2 &= (5x+10)^2 = 25x^2+100x+100 \\ PA^2 &= (3x+6)^2 = 9x^2+36x+36 \\ PS^2 &= (4x+8)^2 = 16x^2+64x+64 \\ PA^2+PS^2 &= 25x^2+100x+100 \end{aligned} \]
Pour toute valeur de \(x\), \(AS^2 = PA^2+PS^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(PAS\) est rectangle en P.
Remarque : \(PA = 3(x+2)\), \(PS = 4(x+2)\) et \(AS = 5(x+2)\) ; les côtés sont proportionnels à 3, 4 et 5, et \(3^2+4^2 = 5^2\).
Exercice 7 : Théorème de Pythagore
Revoir l’énoncé de l’exercice 7
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), son hypoténuse est \([AC]\). D’après le théorème de Pythagore :
\[ \begin{aligned} AC^2 &= AB^2+BC^2 \\ AC^2 &= 6^2+8^2 = 36+64 = 100 \\ AC &= \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \end{aligned} \]
Exercice 8 : Le théorème de Pythagore
Revoir l’énoncé de l’exercice 8
Situation 1. \(IJK\) est rectangle en \(I\), donc l’hypoténuse est \([JK]\) (et non \([IK]\)) :
\[ \begin{aligned} JK^2 &= IJ^2+IK^2 \\ 7{,}5^2 &= 4{,}5^2+IK^2 \\ IK^2 &= 56{,}25-20{,}25 = 36 \\ IK &= \sqrt{36} = 6 \text{ cm} \end{aligned} \]
Situation 2.
a. Le plus grand côté est \([BC]\) : \(BC^2 = 25^2 = 625\) et \(AB^2+AC^2 = 24^2+7^2 = 576+49 = 625\). L’égalité est vérifiée : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.
b. Le plus grand côté est \([AC]\) : \(AC^2 = 7^2 = 49\) et \(AB^2+BC^2 = 4^2+5{,}75^2 = 16+33{,}0625 = 49{,}0625\). Comme \(49 \neq 49{,}0625\), l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée : ABC n’est pas rectangle.
Situation 3. Dans le trapèze rectangle, on trace la hauteur issue du sommet de la petite base. Elle découpe un rectangle et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent \(h\) et \(9-5 = 4\) cm, et dont l’hypoténuse (le côté oblique) mesure 5 cm :
\[ \begin{aligned} 5^2 &= 4^2+h^2 \\ h^2 &= 25-16 = 9 \\ h &= 3 \text{ cm} \end{aligned} \]
Situation 4.
a. La face \(ABCD\) est un rectangle (toutes les faces d’un pavé droit sont des rectangles).
b. On travaille en cm : \(AB = 120\) cm et \(BC = 90\) cm. Dans \(ABC\) rectangle en \(B\) :
\[ AC^2 = 120^2+90^2 = 14\,400+8\,100 = 22\,500 \quad\text{donc}\quad AC = 150 \text{ cm} \]
c. L’arête \([CG]\) est perpendiculaire à la face \(ABCD\), donc à \((AC)\) : ACG est rectangle en C.
d. Dans \(ACG\) rectangle en \(C\), d’hypoténuse \([AG]\) :
\[ AG^2 = AC^2+CG^2 = 22\,500+50^2 = 25\,000 \quad\text{donc}\quad AG = \sqrt{25\,000} \approx 158{,}1 \text{ cm} \]
Situation 5. Un téléviseur « de 56 cm » a un écran dont la diagonale mesure 56 cm ; sa largeur est 42 cm. L’écran est un rectangle, la diagonale le partage en deux triangles rectangles :
\[ \begin{aligned} 56^2 &= 42^2+\ell^2 \\ \ell^2 &= 3\,136-1\,764 = 1\,372 \\ \ell &= \sqrt{1\,372} \approx 37{,}04 \text{ cm} \end{aligned} \]
L’écran mesure donc 42 cm de large et environ 37,1 cm de haut (arrondi par excès). L’énoncé ne donne pas les dimensions du meuble : Monsieur Mathovore pourra y loger le téléviseur si l’emplacement mesure au moins 42 cm de large et 37,1 cm de haut (sans compter le cadre de l’écran).
Exercice 9 : Théorème de Pythagore et applications
Revoir l’énoncé de l’exercice 9
Calcul de BD². Le triangle \(ABD\) est rectangle en \(A\), d’hypoténuse \([BD]\) :
\[ BD^2 = AB^2+AD^2 = 5{,}5^2+1{,}5^2 = 30{,}25+2{,}25 = 32{,}5 \]
Calcul de CD. Le triangle \(BCD\) est rectangle en \(C\) : son hypoténuse est aussi \([BD]\) :
\[ \begin{aligned} BD^2 &= BC^2+CD^2 \\ 32{,}5 &= 3{,}5^2+CD^2 \\ CD^2 &= 32{,}5-12{,}25 = 20{,}25 \\ CD &= \sqrt{20{,}25} = 4{,}5 \text{ cm} \end{aligned} \]
Il est inutile de calculer \(BD\) : on garde la valeur exacte de \(BD^2\) pour le second calcul.
Exercice 10 : Le trapèze rectangle
Revoir l’énoncé de l’exercice 10
1) Les côtés \([NO]\) et \([DR]\) sont parallèles (tous deux perpendiculaires à \((ND)\)) et les angles en \(N\) et en \(D\) sont droits : NORD est un trapèze rectangle.
2) Le quadrilatère \(NOFD\) a trois angles droits (en \(N\), en \(D\) et en \(F\), car \((OF)\) est perpendiculaire à \((DR)\)) : NOFD est un rectangle.
3) Les côtés opposés d’un rectangle ont la même longueur :
- \(FO = ND = 112\) ;
- \(DF = NO = 107\) ;
- \(FR = DR-DF = 122-107 = 15\).
4) Le triangle \(OFR\) est rectangle en \(F\), d’hypoténuse \([OR]\) :
\[ \begin{aligned} OR^2 &= OF^2+FR^2 \\ OR^2 &= 112^2+15^2 = 12\,544+225 = 12\,769 \\ OR &= \sqrt{12\,769} = 113 \end{aligned} \]
La méthode à retenir sur le théorème de Pythagore
- Repérer le triangle rectangle et son hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit, toujours le plus long) avant d’écrire l’égalité.
- Pour calculer l’hypoténuse : on additionne les carrés ; pour un côté de l’angle droit : on soustrait du carré de l’hypoténuse.
- Réciproque : on calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, puis on compare.
- Si l’égalité n’est pas vérifiée, le triangle n’est pas rectangle (c’est la contraposée du théorème).
- Dans un enchaînement de deux triangles, on garde la valeur exacte du carré intermédiaire (\(AC^2 = 32\), \(BD^2 = 32{,}5\)) et on arrondit seulement à la fin.
- Dans un solide, on cherche un triangle rectangle formé par une arête perpendiculaire à une face et une diagonale de cette face.
Les erreurs fréquentes
- Prendre pour hypoténuse un côté de l’angle droit (situation 1 de l’exercice 8 : l’hypoténuse est \([JK]\), pas \([IK]\)).
- Additionner des longueurs au lieu de leurs carrés : \(AC \neq AH+HC\).
- Utiliser une valeur arrondie de \(AC\) pour calculer \(CE\) : on accumule les erreurs d’arrondi.
- Mélanger les unités (1,2 m et 90 cm) dans une même égalité.
- Conclure « presque rectangle » quand \(49 \neq 49{,}0625\) : une égalité est vraie ou fausse.
Les exercices 11 à 55 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.
Questions fréquentes
Comment reconnaître l’hypoténuse dans un triangle rectangle ?
C’est le côté situé en face de l’angle droit ; il ne touche pas le sommet de l’angle droit. C’est aussi toujours le plus long des trois côtés. Dans un triangle rectangle en \(B\), l’hypoténuse est donc \([AC]\).
Quand utilise-t-on la réciproque plutôt que le théorème ?
Le théorème sert quand on sait déjà que le triangle est rectangle et qu’on cherche une longueur. La réciproque sert dans l’autre sens : on connaît les trois longueurs et on veut démontrer que le triangle est rectangle. Si l’égalité est fausse, on conclut que le triangle n’est pas rectangle.
Faut-il donner une valeur exacte ou une valeur arrondie ?
On suit la consigne. Une valeur exacte s’écrit souvent avec une racine carrée, comme \(\sqrt{48}\) cm. Si l’énoncé demande un arrondi (au dixième, au millimètre), on utilise la calculatrice à la toute dernière étape et on écrit le symbole \(\approx\).
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