Corrigé des 30 exercices sur le calcul littéral en 4ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Ensuite, on peut additionner uniquement des termes de même nature (des \(x\) avec des \(x\), des \(x^2\) avec des \(x^2\)) ; un produit se réduit toujours.

\[ \begin{aligned} A &= 2x+x = 3x & B &= 3x\times x = 3x^2 \\ C &= 4x-x = 3x & D &= 3x+2 \text{ (ne se réduit pas)} \\ E &= x\times 2x = 2x^2 & F &= x^2+x \text{ (ne se réduit pas)} \\ G &= 0\times x = 0 & H &= 1+2x \text{ (ne se réduit pas)} \\ I &= 0+x = x & J &= 5x\times 6x = 30x^2 \\ K &= 4\times x\times 5 = 20x & L &= x\times x+x = x^2+x \end{aligned} \]

Ainsi, des parenthèses précédées d’un « + » se suppriment sans rien changer ; précédées d’un « − », on les supprime en changeant le signe de chaque terme qu’elles contiennent.

\[ \begin{aligned} M &= (x+3)+(4x-5) = x+3+4x-5 = 5x-2 \\ N &= 6-2t-(4t-8) = 6-2t-4t+8 = -6t+14 \\ O &= -(8a+3)-4a = -8a-3-4a = -12a-3 \\ P &= (2y+7)+(-5y+3) = 2y+7-5y+3 = -3y+10 \\ Q &= 5z-6-(7-2z)+3z = 5z-6-7+2z+3z = 10z-13 \\ R &= (3-4x)-(-2x+8) = 3-4x+2x-8 = -2x-5 \end{aligned} \]

Par conséquent, on regroupe les termes en \(x^2\), puis en \(x\) (ou en \(a\), en \(b\)), puis les nombres.

\[ \begin{aligned} A &= x-6-5x^2-30-x = -5x^2+(x-x)+(-6-30) = -5x^2-36 \\ B &= 12x-x^2-10+x-3-8x^2+1-2x = (-x^2-8x^2)+(12x+x-2x)+(-10-3+1) = -9x^2+11x-12 \\ C &= -3-a+b+5a-9+(-3a-5b) = (-a+5a-3a)+(b-5b)+(-3-9) = a-4b-12 \\ D &= x^2-(3x^2-15x+4)+(15x^2-12x-3) \\ &= x^2-3x^2+15x-4+15x^2-12x-3 = 13x^2+3x-7 \end{aligned} \]

Par ailleurs, du texte à l’écriture mathématique.

• a) le double de \(x\) augmenté de 1 : \(2x+1\) ;
• b) la somme de 3 et du triple de \(x\) : \(3+3x\) ;
• c) le tiers de \(x\), diminué de 5 : \(\dfrac{x}{3}-5\) ;
• d) le produit par 5 de la somme de \(x\) et de 4 : \(5(x+4)\), soit \(5x+20\) ;
• e) la somme de 6 et du produit de \(x\) par 7 : \(6+7x\).

De même, développer et réduire.

\[ \begin{aligned} A &= 3(t-2)-2(1-t) = 3t-6-2+2t = 5t-8 \\ B &= (1-x)(3x-2) = 3x-2-3x^2+2x = -3x^2+5x-2 \\ C &= (a-2b)(2a-b) = 2a^2-ab-4ab+2b^2 = 2a^2-5ab+2b^2 \\ D &= 4(1-a)(2-a) = 4(2-a-2a+a^2) = 4(a^2-3a+2) = 4a^2-12a+8 \\ E &= 1(3-x^2)+4(x-1)(5-2x) = 3-x^2+4(5x-2x^2-5+2x) \\ &= 3-x^2+4(-2x^2+7x-5) = 3-x^2-8x^2+28x-20 = -9x^2+28x-17 \end{aligned} \]

Enfin, on a donc 1. Avec −2 : \(-2-3 = -5\) ; \(-5\times(-5) = 25\) ; \(25\div 4 = 6{,}25\) ; \(6{,}25+(-2) = 4{,}25\).

Par ailleurs, avec 7 : \(7-3 = 4\) ; \(4\times(-5) = -20\) ; \(-20\div 4 = -5\) ; \(-5+7 = 2\).

Ainsi, on trouve 2. Avec \(x\) : on applique les mêmes étapes.

\[ \begin{aligned} &x \;\to\; x-3 \;\to\; -5(x-3) = -5x+15 \;\to\; \frac{-5x+15}{4} \\ &\text{résultat : } \frac{-5x+15}{4}+x = \frac{-5x+15+4x}{4} = \frac{-x+15}{4} \end{aligned} \]

Par conséquent, vérification : pour \(x = -2\), \(\frac{2+15}{4} = \frac{17}{4} = 4{,}25\) ; pour \(x = 7\), \(\frac{-7+15}{4} = 2\).

Par ailleurs, situation 1.

\[ \begin{aligned} D &= x^2+3x-1+x^2-15x-2x+4-5x^2 = (1+1-5)x^2+(3-15-2)x+(-1+4) = -3x^2-14x+3 \\ E &= 12x^2-8+3x-8x^2+7+7x-3x = 4x^2+7x-1 \\ F &= 9a+15a^2-15a-11a^2-3a-4a^2+2 = (15-11-4)a^2+(9-15-3)a+2 = -9a+2 \end{aligned} \]

De même, situation 2.

\[ \begin{aligned} G &= +3-(a-b)+5+(-a+b)+a = 3-a+b+5-a+b+a = -a+2b+8 \\ H &= -3-(-a+b)+5a-9+(-3a-5b) = -3+a-b+5a-9-3a-5b = 3a-6b-12 \end{aligned} \]

Par conséquent, situation 3. 1. Puis on développe avec la double distributivité.

\[ \begin{aligned} a.\ & \left(x-\frac{3}{7}\right)(7x-14) = 7x^2-14x-3x+6 = 7x^2-17x+6 \\ b.\ & \left(3+\frac{3}{8}x\right)(8-x) = 24-3x+3x-\frac{3}{8}x^2 = 24-\frac{3}{8}x^2 \end{aligned} \]

Ensuite, on a donc 2. Tests :

• a. Pour \(x = 0\) : forme de départ \(\left(-\frac{3}{7}\right)\times(-14) = 6\) et forme développée \(6\). Pour \(x = 1\) : \(\frac{4}{7}\times(-7) = -4\) et \(7-17+6 = -4\). Les résultats concordent.
• b. Pour \(x = 0\) : \(3\times 8 = 24\) et \(24\). Pour \(x = 1\) : \(\frac{27}{8}\times 7 = \frac{189}{8}\) et \(24-\frac{3}{8} = \frac{189}{8}\). Les résultats concordent.

De même, on écrit le carré comme un produit, puis on utilise la double distributivité.

\[ \begin{aligned} A &= (x+4)^2 = (x+4)(x+4) = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16 \\ B &= (2x-3)^2 = (2x-3)(2x-3) = 4x^2-6x-6x+9 = 4x^2-12x+9 \end{aligned} \]

Par conséquent, remarque : le terme du milieu n’est pas oublié ; \((x+4)^2\) n’est pas égal à \(x^2+16\).

De même, situation 1. Pour un produit, on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles.

\[ \begin{aligned} a.\ & 2x\times 7 = 14x & b.\ & -5y\times(-2) = 10y \\ c.\ & 4x\times(-5) = -20x & d.\ & -5\times 9a = -45a \\ e.\ & -3x\times x = -3x^2 & f.\ & 5b\times(-2b) = -10b^2 \\ g.\ & \frac{2}{3}a\times(-6a) = -4a^2 & h.\ & 3x-5+4x-13-9x = -2x-18 \\ i.\ & -2x+3-9x-4+3x = -8x-1 & j.\ & 5x-2-4x+7-3x-2-9x-11 = -11x-8 \end{aligned} \]

Par conséquent, situation 2.

\[ \begin{aligned} a.\ & 25-(2a-3) = 25-2a+3 = -2a+28 \\ b.\ & 3a-(-2a+7) = 3a+2a-7 = 5a-7 \\ c.\ & -(a+3b)+(b-2a) = -a-3b+b-2a = -3a-2b \\ d.\ & (5+x)-(7x-5) = 5+x-7x+5 = -6x+10 \\ e.\ & (x^2-5x)+(2x^2+7x-8) = 3x^2+2x-8 \\ f.\ & (3x^2-5x-4)-(-4x^2+7x+5) = 3x^2-5x-4+4x^2-7x-5 = 7x^2-12x-9 \\ g.\ & \left(\frac{3}{4}a^2+\frac{2}{3}a-4\right)-\left(\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{3}a+3\right) = \frac{1}{4}a^2+\frac{1}{3}a-7 \end{aligned} \]

De plus, situation 3.

\[ \begin{aligned} a.\ & (x+3)(x+2) = x^2+2x+3x+6 = x^2+5x+6 \\ b.\ & (2x+1)(x+4) = 2x^2+8x+x+4 = 2x^2+9x+4 \\ c.\ & (5x+6)(2x+3) = 10x^2+15x+12x+18 = 10x^2+27x+18 \\ d.\ & (7x+5)(8+9x) = 56x+63x^2+40+45x = 63x^2+101x+40 \\ e.\ & \left(x+\frac{1}{3}\right)(x+2) = x^2+2x+\frac{1}{3}x+\frac{2}{3} = x^2+\frac{7}{3}x+\frac{2}{3} \\ f.\ & \left(\frac{1}{2}x+3\right)(x+2) = \frac{1}{2}x^2+x+3x+6 = \frac{1}{2}x^2+4x+6 \end{aligned} \]

De même, situation 1. Pour A à D, on applique la simple distributivité ; pour E, F et G, la double distributivité (quatre produits), puis on réduit.

\[ \begin{aligned} A &= x(x+2) = x^2+2x \\ B &= 5x(x+3) = 5x^2+15x \\ C &= 2x(3x-5) = 6x^2-10x \\ D &= -3x(1-4x) = -3x+12x^2 = 12x^2-3x \\ E &= (x+2)(-x+3) = -x^2+3x-2x+6 = -x^2+x+6 \\ F &= (2x+3)(4x-1) = 8x^2-2x+12x-3 = 8x^2+10x-3 \\ G &= (5-3y)(6-2y) = 30-10y-18y+6y^2 = 6y^2-28y+30 \end{aligned} \]

Par conséquent, situation 2. On développe chaque produit séparément. Quand un produit est précédé d’un signe « − », on garde son développement entre parenthèses, puis on change le signe de tous ses termes.

\[ \begin{aligned} A &= (x+3)(x-2)+(2x+4)(x+5) \\ &= (x^2-2x+3x-6)+(2x^2+10x+4x+20) \\ &= x^2+x-6+2x^2+14x+20 = 3x^2+15x+14 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (2x-1)(7x+8)-(5-4x)(3x+1) \\ &= (14x^2+16x-7x-8)-(15x+5-12x^2-4x) \\ &= 14x^2+9x-8-(-12x^2+11x+5) \\ &= 14x^2+9x-8+12x^2-11x-5 = 26x^2-2x-13 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= (3x+4)(7x-1)-(2x+5)(3x-2) \\ &= (21x^2-3x+28x-4)-(6x^2-4x+15x-10) \\ &= 21x^2+25x-4-(6x^2+11x-10) \\ &= 21x^2+25x-4-6x^2-11x+10 = 15x^2+14x+6 \end{aligned} \]

De plus, situation 3. On développe d’abord, ce qui simplifie les calculs numériques.

\[ A = (x-3)(3x-1)-2x^2+4 = 3x^2-x-9x+3-2x^2+4 = x^2-10x+7 \]

• Pour \( x = 2 \) : \( A = 2^2-10\times 2+7 = 4-20+7 = -9 \).
• Pour \( x = -1 \) : \( A = (-1)^2-10\times(-1)+7 = 1+10+7 = 18 \).

Ainsi, vérification avec l’expression de départ pour \( x = 2 \) : \( (2-3)(6-1)-8+4 = -5-4 = -9 \). C’est cohérent.

Par conséquent, on appelle \( x \) le nombre choisi et on suit les instructions une à une, en réduisant à chaque étape.

\[ \begin{aligned} &\text{Choisir un nombre : } x \\ &\text{Multiplier par } -11 : \; -11x \\ &\text{Ajouter 8 : } \; -11x+8 \\ &\text{Multiplier par } -9 : \; -9(-11x+8) = 99x-72 \\ &\text{Ajouter le nombre de départ : } \; 99x-72+x = 100x-72 \\ &\text{Ajouter } -28 : \; 100x-72-28 = 100x-100 \end{aligned} \]

De plus, le résultat est donc toujours \( 100x-100 = 100(x-1) \) : c’est 100 fois (nombre choisi − 1).

Ainsi, le truc de M. Hamraoui : il divise le résultat annoncé par 100, puis ajoute 1. Avec Anna : \( 400 \div 100 = 4 \) et \( 4+1 = 5 \). Ensuite, elle avait bien choisi 5.

Enfin, vérification avec 5 : \( 5\times(-11) = -55 \) ; \( -55+8 = -47 \) ; \( -47\times(-9) = 423 \) ; \( 423+5 = 428 \) ; \( 428-28 = 400 \).

a) De plus, les parenthèses de \( -(5x-3) \) sont précédées d’un « − » : on change le signe des deux termes. Celles de \( +(x-21) \) se suppriment sans rien changer.

\[ M = 11x+7-(5x-3)+(x-21) = 11x+7-5x+3+x-21 = 7x-11 \]

b) Ainsi, simple distributivité pour N, double distributivité pour P :

\[ \begin{aligned} N &= 3(5x-4)+4x+7 = 15x-12+4x+7 = 19x-5 \\ P &= (2x+3)(3x-5) = 6x^2-10x+9x-15 = 6x^2-x-15 \end{aligned} \]

c) Enfin, on remplace \( x \) par 3 dans l’expression réduite : \( N = 19\times 3-5 = 57-5 = 52 \).

Ensuite, contrôle avec l’expression de départ : \( 3\times(15-4)+12+7 = 33+19 = 52 \).

1) Ainsi, avec le nombre −1 :

• lui ajouter 2 : \( -1+2 = 1 \) ;
• multiplier la somme par le nombre choisi : \( 1\times(-1) = -1 \) ;
• ajouter 1 : \( -1+1 = 0 \).

Enfin, on obtient bien 0.

2) Ensuite, avec −6 : \( -6+2 = -4 \) ; \( -4\times(-6) = 24 \) ; \( 24+1 = 25 \). Puis le résultat est 25.

3) Par ailleurs, avec 4 : \( 4+2 = 6 \) ; \( 6\times 4 = 24 \) ; \( 24+1 = 25 \). De plus, le résultat est 25.

4) De même, avec un nombre \( a \) quelconque :

\[ (a+2)\times a+1 = a^2+2a+1 \]

Par conséquent, on retrouve les résultats précédents : pour \( a = -1 \), \( 1-2+1 = 0 \) ; pour \( a = 4 \), \( 16+8+1 = 25 \).

Par ailleurs, A, B et C : simple distributivité \( k(a+b) = ka+kb \). D, E et F : double distributivité, puis on réduit les termes en \( x \).

\[ \begin{aligned} A &= 6(2x+8) = 12x+48 \\ B &= 7(5x-1) = 35x-7 \\ C &= -4x(x-9) = -4x^2+36x \\ D &= (3x+4)(2x+3) = 6x^2+9x+8x+12 = 6x^2+17x+12 \\ E &= (7x+5)(5x+(-3)) = (7x+5)(5x-3) = 35x^2-21x+25x-15 = 35x^2+4x-15 \\ F &= (2x+9)(7x-1) = 14x^2-2x+63x-9 = 14x^2+61x-9 \end{aligned} \]

De même, pour C, attention au signe : \( -4x\times(-9) = +36x \).

Ensuite, on a 1°) La salle contient 600 places, dont \( x \) places assises.

• a. \( 600-x \) est le nombre de places debout.
• b. \( 25x \) est la recette (en €) des places assises : \( x \) places à 25 €.
• c. \( 15(600-x) \) est la recette (en €) des places debout : \( 600-x \) places à 15 €.

Ainsi, on trouve 2°) La recette totale est la somme des deux recettes :

\[ R = 25x+15(600-x) = 25x+9\,000-15x = 10x+9\,000 \]

Par conséquent, on obtient 3°) Pour \( x = 200 \) : \( R = 10\times 200+9\,000 = 2\,000+9\,000 = 11\,000 \). Ensuite, la recette est de 11 000 €.

Par conséquent, contrôle : 200 places assises à 25 € donnent 5 000 € et 400 places debout à 15 € donnent 6 000 €, soit 11 000 €.

Par conséquent, on a donc 4°) On cherche \( x \) tel que la recette vaut 12 500 € :

\[ \begin{aligned} 10x+9\,000 &= 12\,500 \\ 10x &= 3\,500 \\ x &= 350 \end{aligned} \]

Ainsi, contrôle : \( 350\times 25+250\times 15 = 8\,750+3\,750 = 12\,500 \) €.

1. Par conséquent, simplifier, c’est regrouper les termes de même nature.

\[ \begin{aligned} A &= 7x-9+8x+6 = 15x-3 \\ B &= 7x^2+8x-3-4x^2-3x-4 = 3x^2+5x-7 \\ C &= 7x+3-3x^2-3x+9 = -3x^2+4x+12 \end{aligned} \]

2. De plus, double distributivité, puis réduction. Par ailleurs, pour D et E, on développe d’abord le produit, puis on ajoute les autres termes.

\[ \begin{aligned} A &= (x+3)(x+4) = x^2+4x+3x+12 = x^2+7x+12 \\ B &= (x-3)(x+6) = x^2+6x-3x-18 = x^2+3x-18 \\ C &= (x-1)(x-5) = x^2-5x-x+5 = x^2-6x+5 \\ D &= (x+2)(x+4)+5x^2-3x-6 = x^2+6x+8+5x^2-3x-6 = 6x^2+3x+2 \\ E &= (x-3)(2x+6)-4(x-2) = 2x^2+6x-6x-18-4x+8 = 2x^2-4x-10 \end{aligned} \]

Ainsi, dans C, \( (-1)\times(-5) = +5 \) ; dans E, \( -4\times(-2) = +8 \).

Par conséquent, on lit la phrase de la fin vers le début : le dernier mot désigne ce que l’on calcule en premier. Par exemple « le carré du double de a » : on prend d’abord le double \( 2a \), puis on l’élève au carré.

• 1) Le double du carré de a : \( 2a^2 \).
• 2) Le carré du double de a : \( (2a)^2 = 4a^2 \).
• 3) La moitié du carré de a : \( \dfrac{a^2}{2} \) (donné en exemple).
• 4) Le carré de la moitié de a : \( \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2}{4} \).
• 5) Le carré de l’opposé de a : \( (-a)^2 = a^2 \).
• 6) L’opposé du carré de a : \( -a^2 \).
• 7) Le carré de l’inverse de a : \( \left(\dfrac{1}{a}\right)^2 = \dfrac{1}{a^2} \).
• 8) L’inverse du carré de a : \( \dfrac{1}{a^2} \).

De plus, L’énoncé précise que \( a \) est non nul : c’est indispensable pour parler de l’inverse de \( a \). Puis on remarque que 7) et 8) donnent la même expression, alors que 5) et 6) sont des nombres opposés : par exemple pour \( a = 3 \), \( (-3)^2 = 9 \) mais \( -3^2 = -9 \).

De même, les huit calculs ont tous la même forme : on multiplie 23 par un nombre, puis on ajoute 3. Seul le nombre multiplié change : il prend les valeurs entières de 7 à 14.

Par conséquent, une consigne possible au téléphone :

Par conséquent, on obtient « Pour chaque nombre entier de 7 à 14, multiplie 23 par ce nombre, puis ajoute 3 au résultat. »

Ainsi, avec une lettre, c’est encore plus court : « Calcule \( 23\times n+3 \) pour \( n \) = 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 et 14. » La lettre \( n \) remplace le nombre qui change : c’est tout l’intérêt du calcul littéral.

Enfin, les résultats que doit trouver le camarade :

Ensuite, on remarque qu’un résultat s’obtient à partir du précédent en ajoutant 23.

Ainsi, on compte les allumettes sur le dessin : une maison a 2 allumettes de toit, 2 murs et 1 sol, soit 5 allumettes à l’étape 1. À l’étape 2, les deux maisons partagent un mur : 4 pour les toits, 3 murs et 2 sols, soit 9 allumettes. À l’étape 3 : 6 + 4 + 3 = 13 allumettes.

1. Enfin, À chaque nouvelle étape, on ajoute une maison qui s’appuie sur le mur de la précédente : il faut 4 allumettes de plus (2 pour le toit, 1 mur, 1 sol). Donc :

• étape 4 : \( 13+4 = 17 \) allumettes ;
• étape 10 : on part de 5 et on ajoute 4 neuf fois : \( 5+9\times 4 = 5+36 = 41 \) allumettes.

2. Ensuite, vérification sans dessin : chaque maison compte 2 allumettes de toit et 1 de sol, et il y a un mur de plus que de maisons. À l’étape 4 : \( 4\times 2+4\times 1+5 = 8+4+5 = 17 \). À l’étape 10 : \( 20+10+11 = 41 \). Ensuite, les nombres trouvés sont bons.

3. Par ailleurs, À l’étape 2007 : \( 2\,007\times 2+2\,007+2\,008 = 4\,014+2\,007+2\,008 = 8\,029 \) allumettes.

4. De même, À l’étape \( n \), il y a \( 2n \) allumettes de toit, \( n \) de sol et \( n+1 \) murs :

\[ 2n+n+(n+1) = 4n+1 \]

Par conséquent, contrôle : \( 4\times 1+1 = 5 \), \( 4\times 2+1 = 9 \), \( 4\times 3+1 = 13 \), et \( 4\times 2\,007+1 = 8\,029 \).

Par ailleurs, le codage indique que les cinq segments du bord gauche (les deux morceaux verticaux extérieurs, les deux bords horizontaux de l’encoche et son fond) mesurent tous \( x \). Puis on en déduit les dimensions du grand rectangle :

• hauteur : \( x+x+x = 3x \) ;
• largeur : \( x+5 \) (profondeur de l’encoche, puis 5 cm).

1) De même, on fait le tour de la figure : le haut \( (x+5) \), le côté droit \( (3x) \), le bas \( (x+5) \) et les cinq segments de longueur \( x \) à gauche.

\[ p = (x+5)+3x+(x+5)+5x = 10x+10 = 10(x+1) \]

2) Par conséquent, L’aire est celle du grand rectangle moins celle du carré de côté \( x \) retiré par l’encoche :

\[ \mathcal{A} = 3x(x+5)-x^2 = 3x^2+15x-x^2 = 2x^2+15x \]

3) De plus, on résout \( 10x+10 = 45 \) : \( 10x = 35 \), donc \( x = 3{,}5 \) cm.

\[ \mathcal{A} = 2\times 3{,}5^2+15\times 3{,}5 = 2\times 12{,}25+52{,}5 = 24{,}5+52{,}5 = 77 \text{ cm}^2 \]

Ainsi, contrôle : le rectangle mesure \( 10{,}5 \) cm sur \( 8{,}5 \) cm, soit \( 89{,}25 \) cm², moins le carré de \( 12{,}25 \) cm² : on retrouve 77 cm².

Par conséquent, les longueurs sont \( AC = 3x+6 \), \( BC = 4x+8 \) et \( AB = 5x+10 \). Comme ce sont des longueurs, elles sont positives. De plus, le plus grand côté est \( [AB] \) : on remarque que \( AC = 3(x+2) \), \( BC = 4(x+2) \) et \( AB = 5(x+2) \), avec \( x+2 \) positif.

De plus, on calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, en développant avec la double distributivité :

\[ \begin{aligned} AC^2+BC^2 &= (3x+6)(3x+6)+(4x+8)(4x+8) \\ &= (9x^2+18x+18x+36)+(16x^2+32x+32x+64) \\ &= 9x^2+36x+36+16x^2+64x+64 \\ &= 25x^2+100x+100 \end{aligned} \]
\[ AB^2 = (5x+10)(5x+10) = 25x^2+50x+50x+100 = 25x^2+100x+100 \]

Donc \( AB^2 = AC^2+BC^2 \), quelle que soit la valeur de \( x \). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle, et l’angle droit est opposé au plus grand côté [AB] : il est en C.

De même, exemple : pour \( x = 0 \), on retrouve le triangle 6, 8, 10 et \( 36+64 = 100 \).

Ensuite, on lit les dimensions : le grand rectangle mesure 120 sur 40, et le rectangle ① mesure \( 6x \) sur \( 2x \). Ensuite, on en déduit les autres dimensions par différence :

• largeur des rectangles ② et ③ : \( 120-6x \) ;
• hauteur des rectangles ④ et ③ : \( 40-2x \).

Par ailleurs, on multiplie longueur par largeur :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_1 &= 6x\times 2x = 12x^2 \\ \mathcal{A}_2 &= 2x(120-6x) = 240x-12x^2 \\ \mathcal{A}_3 &= (120-6x)(40-2x) = 4\,800-240x-240x+12x^2 = 12x^2-480x+4\,800 \\ \mathcal{A}_4 &= 6x(40-2x) = 240x-12x^2 \end{aligned} \]

De même, vérification : la somme des quatre aires vaut \( 12x^2+2(240x-12x^2)+12x^2-480x+4\,800 = 4\,800 \), qui est bien l’aire \( 120\times 40 \) du grand rectangle.

1) Ensuite, la bordure a la même largeur \( x \) des deux côtés : on retire donc \( 2x \) à chaque dimension de ABCD.

• longueur du bassin : \( EF = 10-2x \) ;
• largeur du bassin : \( FG = 7-2x \).

\[ \mathcal{A}_{EFGH} = (10-2x)(7-2x) = 70-20x-14x+4x^2 = 4x^2-34x+70 \]

2) Par ailleurs, pour \( x = 0{,}75 \) m :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= (10-1{,}5)(7-1{,}5) = 8{,}5\times 5{,}5 = 46{,}75 \\ \text{ou } \mathcal{A} &= 4\times 0{,}5625-34\times 0{,}75+70 = 2{,}25-25{,}5+70 = 46{,}75 \end{aligned} \]

Ensuite, le codage donne les dimensions : les côtés marqués d’un trait mesurent \( a \), ceux marqués de deux traits mesurent 1. De gauche à droite, la figure a donc trois « colonnes » :

• à gauche, une colonne de largeur \( a \) et de hauteur \( a \) ;
• au milieu, une colonne de largeur \( a \) et de hauteur \( a+1 \) (la marche mesure 1) ;
• à droite, un petit carré de côté 1.

Par ailleurs, largeur totale : \( 2a+1 \) ; hauteur totale : \( a+1 \).

De même, a. Proposition 1 : \( a^2+a(a+1)+1 \). On a découpé la figure en trois morceaux : le carré de gauche (\( a\times a = a^2 \)), le rectangle du milieu (\( a\times(a+1) \)) et le petit carré de droite (\( 1\times 1 = 1 \)).

Par conséquent, proposition 2 : \( (a+1)(2a+1)-a-a \). On a complété la figure en un grand rectangle de \( 2a+1 \) sur \( a+1 \), puis on a retiré les deux morceaux ajoutés : en haut à gauche un rectangle de \( a \) sur 1 (aire \( a \)), et en haut à droite un rectangle de 1 sur \( a \) (aire \( a \)).

De plus, les deux propositions donnent bien la même aire :

\[ \begin{aligned} a^2+a(a+1)+1 &= a^2+a^2+a+1 = 2a^2+a+1 \\ (a+1)(2a+1)-a-a &= 2a^2+a+2a+1-2a = 2a^2+a+1 \end{aligned} \]

b. Ainsi, une autre expression : on coupe la figure horizontalement à la hauteur \( a \) (le haut de la colonne de gauche). Par ailleurs, en bas, un rectangle de \( 2a \) sur \( a \) ; au-dessus, la bande de \( a \) sur 1 du milieu ; à droite, le petit carré de côté 1 :

\[ 2a\times a+a\times 1+1 = 2a^2+a+1 \]

Par conséquent, on obtient (D’autres découpages sont possibles, l’essentiel est de retrouver \( 2a^2+a+1 \) après réduction.)

De plus, volume du pavé droit : longueur × largeur × hauteur.

\[ \mathcal{V}_1 = (2x+4)\times 2x\times x = (2x+4)\times 2x^2 = 4x^3+8x^2 \]

Ainsi, volume du prisme droit : aire de la base × hauteur. Puis la base est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent \( 4x \) et \( 2x \) ; la hauteur du prisme (sa longueur) est \( x+2 \).

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{base}} &= \frac{4x\times 2x}{2} = \frac{8x^2}{2} = 4x^2 \\ \mathcal{V}_2 &= 4x^2(x+2) = 4x^3+8x^2 \end{aligned} \]

Enfin, on obtient la même expression, donc les deux solides ont le même volume, quelle que soit la valeur de \( x \).

Ensuite, exemple : pour \( x = 1 \), \( \mathcal{V}_1 = 6\times 2\times 1 = 12 \) et \( \mathcal{V}_2 = 4\times 3 = 12 \).

1.

\[ \begin{aligned} A &= -5(2x-3) = -10x+15 \\ B &= (x-1)(x-7) = x^2-7x-x+7 = x^2-8x+7 \\ C &= (3x-4)(-8x+6) = -24x^2+18x+32x-24 = -24x^2+50x-24 \end{aligned} \]

De même, signes à surveiller : \( -5\times(-3) = +15 \), \( (-1)\times(-7) = +7 \) et \( (-4)\times(-8x) = +32x \).

2. Par conséquent, on obtient \( D = 7x-1 \).

• a. Pour \( x = 3 \) : \( D = 7\times 3-1 = 21-1 = 20 \).
• b. Pour \( x = -2{,}5 \) : \( D = 7\times(-2{,}5)-1 = -17{,}5-1 = -18{,}5 \).

1. Par ailleurs, on développe chaque morceau en faisant attention aux parenthèses précédées d’un « − ».

\[ \begin{aligned} A &= -4(x-7)-(x+6)+(-x+4) = -4x+28-x-6-x+4 = -6x+26 \\ B &= (2x-4)(3x+2)-(4x^2-5x+11) \\ &= 6x^2+4x-12x-8-4x^2+5x-11 = 2x^2-3x-19 \\ C &= -(-6x+7)+(-3x+2)-(8x-4) = 6x-7-3x+2-8x+4 = -5x-1 \end{aligned} \]

2. De même, pour \( x = -3 \), on remplace dans les expressions réduites :

\[ \begin{aligned} A &= -6\times(-3)+26 = 18+26 = 44 \\ B &= 2\times(-3)^2-3\times(-3)-19 = 18+9-19 = 8 \end{aligned} \]

De plus, contrôle avec les expressions de départ : \( A = -4\times(-10)-3+7 = 44 \) et \( B = (-10)\times(-7)-(36+15+11) = 70-62 = 8 \).

De même, on supprime les parenthèses (en changeant les signes quand elles sont précédées d’un « − »), puis on réduit.

\[ \begin{aligned} A &= 5-(x-3) = 5-x+3 = 8-x \\ B &= (x+7)-(-3x+8) = x+7+3x-8 = 4x-1 \\ C &= 3x^2-2x-5-(5x^2+2x-1) = 3x^2-2x-5-5x^2-2x+1 = -2x^2-4x-4 \\ D &= 4+(2y+1)-(2y-1) = 4+2y+1-2y+1 = 6 \end{aligned} \]

Par conséquent, pour D, les termes en \( y \) s’annulent : D vaut 6 quelle que soit la valeur de \( y \).

Ensuite, on a 1. a. F est sur le segment [AD], donc \( AD = AF+FD = (x+3)+(x-2) = 2x+1 \).

b. De même, ABCD est un carré de côté \( 2x+1 \) : \( \mathcal{A} = (2x+1)^2 \).

c. Par conséquent, ABEF est un rectangle de dimensions \( AB = 2x+1 \) et \( AF = x+3 \) : \( \mathcal{B} = (2x+1)(x+3) \).

d. De plus, ECDF est un rectangle de dimensions \( CD = 2x+1 \) et \( FD = x-2 \) : \( \mathcal{C} = (2x+1)(x-2) \).

Ainsi, on a donc (La condition \( x \geqslant 2 \) garantit que \( FD = x-2 \) est une longueur positive ou nulle.)

De même, on a donc 2. a.

\[ \begin{aligned} \mathcal{B} &= (2x+1)(x+3) = 2x^2+6x+x+3 = 2x^2+7x+3 \\ \mathcal{C} &= (2x+1)(x-2) = 2x^2-4x+x-2 = 2x^2-3x-2 \\ \mathcal{B}+\mathcal{C} &= 2x^2+7x+3+2x^2-3x-2 = 4x^2+4x+1 \end{aligned} \]

b. Ensuite, on développe \( \mathcal{A} \) :

\[ \mathcal{A} = (2x+1)(2x+1) = 4x^2+2x+2x+1 = 4x^2+4x+1 \]

Par ailleurs, on retrouve bien \( \mathcal{B}+\mathcal{C} = \mathcal{A} \) : c’est logique, puisque les deux rectangles recouvrent exactement le carré.