Les équations en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

a. \[ \begin{aligned} 4 + x &= -7 \\ x &= -7 – 4 \\ x &= -11 \end{aligned} \]

b. \[ \begin{aligned} 6 – x &= 13 \\ -x &= 13 – 6 \\ -x &= 7 \\ x &= -7 \end{aligned} \]

c. \[ \begin{aligned} 4x – 2 &= 10 \\ 4x &= 12 \\ x &= \frac{12}{4} = 3 \end{aligned} \]

d. On regroupe les termes en x dans un membre : \[ \begin{aligned} 5x + 2 &= 8x – 3 \\ 5x – 8x &= -3 – 2 \\ -3x &= -5 \\ x &= \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \end{aligned} \]

e. On développe d’abord chaque membre : \[ \begin{aligned} 2(3b + 7) &= 4(-2b + 1) \\ 6b + 14 &= -8b + 4 \\ 6b + 8b &= 4 – 14 \\ 14b &= -10 \\ b &= \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7} \end{aligned} \]

Vérification du d : \( 5 \times \frac{5}{3} + 2 = \frac{31}{3} \) et \( 8 \times \frac{5}{3} – 3 = \frac{31}{3} \).

1. Chaque bulle est la somme des deux bulles sur lesquelles elle repose :

• bulle grise : \( x + 5 \) ;
• bulle bleue : \( 5 + 3x \) ;
• bulle du haut : \( (x + 5) + (3x + 5) = 4x + 10 \).

2. La bulle du haut contient 9, d’où l’équation :

\[ \begin{aligned} 4x + 10 &= 9 \\ 4x &= 9 – 10 \\ 4x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{4} = -0{,}25 \end{aligned} \]

Vérification : \( x + 5 = 4{,}75 \), \( 3x + 5 = -0{,}75 + 5 = 4{,}25 \) et \( 4{,}75 + 4{,}25 = 9 \).

1. a. Pour \( x = -8 \) : \( x – 3 = -8 – 3 = -11 \).

1. b. Pour \( x = -8 \) : \( 2x + 5 = 2 \times (-8) + 5 = -16 + 5 = -11 \).

2. Les deux membres de l’équation prennent la même valeur (−11) quand on remplace x par −8. L’égalité \( x – 3 = 2x + 5 \) est donc vraie pour \( x = -8 \) : −8 est une solution de l’équation.

On peut le confirmer en résolvant : \( x – 2x = 5 + 3 \), soit \( -x = 8 \), donc \( x = -8 \).

Choix de l’inconnue. Chaque animal a une tête : il y a 180 animaux. Notons \( x \) le nombre de chameaux ; il y a alors \( 180 – x \) dromadaires.

Mise en équation. Un chameau a 2 bosses, un dromadaire 1 bosse, et on compte 304 bosses :

\[ \begin{aligned} 2x + (180 – x) &= 304 \\ x + 180 &= 304 \\ x &= 124 \end{aligned} \]

Il y a donc 124 chameaux et \( 180 – 124 = 56 \) dromadaires.

Vérification. \( 124 + 56 = 180 \) têtes et \( 124 \times 2 + 56 = 248 + 56 = 304 \) bosses.

Notons \( p \) le prix d’un CD en euros. Les 5 petits pains coûtent \( 5 \times 0{,}50 = 2{,}50 \) €, et le tout coûte 6,70 € :

\[ \begin{aligned} 2{,}50 + 2p &= 6{,}70 \\ 2p &= 6{,}70 – 2{,}50 \\ 2p &= 4{,}20 \\ p &= 2{,}10 \end{aligned} \]

Vérification : \( 2{,}50 + 2 \times 2{,}10 = 2{,}50 + 4{,}20 = 6{,}70 \) €.

Les 4 cassettes coûtent \( 4 \times 5{,}20 = 20{,}80 \) €. Il reste \( 65 – 20{,}80 = 44{,}20 \) € pour les CD.

Notons \( n \) le nombre de CD. Il faut \( 8{,}50 \times n \leqslant 44{,}20 \). Si l’argent tombait juste, on aurait :

\[ 8{,}50 \, n = 44{,}20 \quad \text{soit} \quad n = \frac{44{,}20}{8{,}50} = 5{,}2 \]

Or n est un nombre entier : on ne peut pas acheter 0,2 CD. Avec 5 CD, il dépense \( 5 \times 8{,}50 = 42{,}50 \) € (il lui reste 1,70 €) ; avec 6 CD, il faudrait \( 51 \) €, c’est trop.

On traduit la phrase : le triple de a est \( 3a \), on retranche 30 et on trouve 3.

\[ \begin{aligned} 3a – 30 &= 3 \\ 3a &= 33 \\ a &= 11 \end{aligned} \]

Vérification : \( 3 \times 11 – 30 = 33 – 30 = 3 \).

Notons \( x \) le nombre pensé. On lui ajoute 20 : \( x + 20 \) ; on double : \( 2(x + 20) \). Le résultat vaut 10 fois le nombre de départ :

\[ \begin{aligned} 2(x + 20) &= 10x \\ 2x + 40 &= 10x \\ 40 &= 10x – 2x \\ 40 &= 8x \\ x &= 5 \end{aligned} \]

Vérification : \( 5 + 20 = 25 \), \( 2 \times 25 = 50 \) et \( 10 \times 5 = 50 \).

Notons \( c \) la masse d’un cube en grammes. La balance est en équilibre, donc les deux plateaux ont la même masse :

• plateau 1 : \( 3c + 200 + 50 = 3c + 250 \) ;
• plateau 2 : \( 2c + 200 + 200 + 50 = 2c + 450 \).

\[ \begin{aligned} 3c + 250 &= 2c + 450 \\ 3c – 2c &= 450 – 250 \\ c &= 200 \end{aligned} \]

Vérification : \( 3 \times 200 + 250 = 850 \) g et \( 2 \times 200 + 450 = 850 \) g.

Les quatre polygones ont la même hauteur, notée \( h \) (en cm) ; le côté du carré est aussi \( h \). On comprend l’énoncé ainsi : la somme des aires du carré et du parallélogramme dépasse de 25 cm² la différence entre l’aire du triangle et celle du trapèze.

• carré : \( h^2 \) ;
• parallélogramme de base 5 cm : \( 5h \) ;
• triangle de base 13 cm : \( \frac{13 \times h}{2} = 6{,}5h \) ;
• trapèze de bases 1 cm et 2 cm : \( \frac{(1 + 2) \times h}{2} = 1{,}5h \).

La différence triangle − trapèze vaut \( 6{,}5h – 1{,}5h = 5h \). L’équation est :

\[ \begin{aligned} h^2 + 5h &= 5h + 25 \\ h^2 &= 25 \end{aligned} \]

Une hauteur est positive, donc \( h = 5 \) cm (car \( 5 \times 5 = 25 \)).

Vérification : carré 25 cm², parallélogramme 25 cm², triangle 32,5 cm², trapèze 7,5 cm² ; \( 25 + 25 = 50 \) et \( 32{,}5 – 7{,}5 = 25 \) : la somme dépasse bien la différence de 25 cm².