Corrigé des 44 exercices sur les équations en 4ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

a. De plus, on obtient \[ \begin{aligned} 4 + x &= -7 \\ x &= -7 – 4 \\ x &= -11 \end{aligned} \]

b. Enfin, on a donc \[ \begin{aligned} 6 – x &= 13 \\ -x &= 13 – 6 \\ -x &= 7 \\ x &= -7 \end{aligned} \]

c. Ensuite, on a \[ \begin{aligned} 4x – 2 &= 10 \\ 4x &= 12 \\ x &= \frac{12}{4} = 3 \end{aligned} \]

d. De plus, on regroupe les termes en x dans un membre : \[ \begin{aligned} 5x + 2 &= 8x – 3 \\ 5x – 8x &= -3 – 2 \\ -3x &= -5 \\ x &= \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \end{aligned} \]

e. Ainsi, on développe d’abord chaque membre : \[ \begin{aligned} 2(3b + 7) &= 4(-2b + 1) \\ 6b + 14 &= -8b + 4 \\ 6b + 8b &= 4 – 14 \\ 14b &= -10 \\ b &= \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7} \end{aligned} \]

Enfin, vérification du d : \( 5 \times \frac{5}{3} + 2 = \frac{31}{3} \) et \( 8 \times \frac{5}{3} – 3 = \frac{31}{3} \).

1. De plus, chaque bulle est la somme des deux bulles sur lesquelles elle repose :

• bulle grise : \( x + 5 \) ;
• bulle bleue : \( 5 + 3x \) ;
• bulle du haut : \( (x + 5) + (3x + 5) = 4x + 10 \).

2. Ainsi, la bulle du haut contient 9, d’où l’équation :

Ensuite, on a donc \[ \begin{aligned} 4x + 10 &= 9 \\ 4x &= 9 – 10 \\ 4x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{4} = -0{,}25 \end{aligned} \]

Ensuite, vérification : \( x + 5 = 4{,}75 \), \( 3x + 5 = -0{,}75 + 5 = 4{,}25 \) et \( 4{,}75 + 4{,}25 = 9 \).

De même, on a donc 1. a. Pour \( x = -8 \) : \( x – 3 = -8 – 3 = -11 \).

Ensuite, on a 1. b. Pour \( x = -8 \) : \( 2x + 5 = 2 \times (-8) + 5 = -16 + 5 = -11 \).

2. Ensuite, les deux membres de l’équation prennent la même valeur (−11) quand on remplace x par −8. L’égalité \( x – 3 = 2x + 5 \) est donc vraie pour \( x = -8 \) : −8 est une solution de l’équation.

Par ailleurs, on peut le confirmer en résolvant : \( x – 2x = 5 + 3 \), soit \( -x = 8 \), donc \( x = -8 \).

Enfin, choix de l’inconnue. Chaque animal a une tête : il y a 180 animaux. Notons \( x \) le nombre de chameaux ; il y a alors \( 180 – x \) dromadaires.

Ensuite, mise en équation. Un chameau a 2 bosses, un dromadaire 1 bosse, et on compte 304 bosses :

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} 2x + (180 – x) &= 304 \\ x + 180 &= 304 \\ x &= 124 \end{aligned} \]

De même, il y a donc 124 chameaux et \( 180 – 124 = 56 \) dromadaires.

Par conséquent, vérification. \( 124 + 56 = 180 \) têtes et \( 124 \times 2 + 56 = 248 + 56 = 304 \) bosses.

Par ailleurs, notons \( p \) le prix d’un CD en euros. Par ailleurs, les 5 petits pains coûtent \( 5 \times 0{,}50 = 2{,}50 \) €, et le tout coûte 6,70 € :

Ensuite, on a \[ \begin{aligned} 2{,}50 + 2p &= 6{,}70 \\ 2p &= 6{,}70 – 2{,}50 \\ 2p &= 4{,}20 \\ p &= 2{,}10 \end{aligned} \]

Par conséquent, vérification : \( 2{,}50 + 2 \times 2{,}10 = 2{,}50 + 4{,}20 = 6{,}70 \) €.

Par ailleurs, les 4 cassettes coûtent \( 4 \times 5{,}20 = 20{,}80 \) €. Puis il reste \( 65 – 20{,}80 = 44{,}20 \) € pour les CD.

De même, notons \( n \) le nombre de CD. Ensuite, il faut \( 8{,}50 \times n \leqslant 44{,}20 \). Si l’argent tombait juste, on aurait :

Par conséquent, on obtient \[ 8{,}50 \, n = 44{,}20 \quad \text{soit} \quad n = \frac{44{,}20}{8{,}50} = 5{,}2 \]

Or n est un nombre entier : on ne peut pas acheter 0,2 CD. Avec 5 CD, il dépense \( 5 \times 8{,}50 = 42{,}50 \) € (il lui reste 1,70 €) ; avec 6 CD, il faudrait \( 51 \) €, c’est trop.

Ainsi, on traduit la phrase : le triple de a est \( 3a \), on retranche 30 et on trouve 3.

Ensuite, on a \[ \begin{aligned} 3a – 30 &= 3 \\ 3a &= 33 \\ a &= 11 \end{aligned} \]

Ensuite, vérification : \( 3 \times 11 – 30 = 33 – 30 = 3 \).

Ainsi, notons \( x \) le nombre pensé. Puis on lui ajoute 20 : \( x + 20 \) ; on double : \( 2(x + 20) \). De plus, le résultat vaut 10 fois le nombre de départ :

Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} 2(x + 20) &= 10x \\ 2x + 40 &= 10x \\ 40 &= 10x – 2x \\ 40 &= 8x \\ x &= 5 \end{aligned} \]

Ensuite, vérification : \( 5 + 20 = 25 \), \( 2 \times 25 = 50 \) et \( 10 \times 5 = 50 \).

Ainsi, notons \( c \) la masse d’un cube en grammes. Ensuite, la balance est en équilibre, donc les deux plateaux ont la même masse :

• plateau 1 : \( 3c + 200 + 50 = 3c + 250 \) ;
• plateau 2 : \( 2c + 200 + 200 + 50 = 2c + 450 \).

Par conséquent, on obtient \[ \begin{aligned} 3c + 250 &= 2c + 450 \\ 3c – 2c &= 450 – 250 \\ c &= 200 \end{aligned} \]

Ensuite, vérification : \( 3 \times 200 + 250 = 850 \) g et \( 2 \times 200 + 450 = 850 \) g.

Ainsi, les quatre polygones ont la même hauteur, notée \( h \) (en cm) ; le côté du carré est aussi \( h \). Par ailleurs, on comprend l’énoncé ainsi : la somme des aires du carré et du parallélogramme dépasse de 25 cm² la différence entre l’aire du triangle et celle du trapèze.

• carré : \( h^2 \) ;
• parallélogramme de base 5 cm : \( 5h \) ;
• triangle de base 13 cm : \( \frac{13 \times h}{2} = 6{,}5h \) ;
• trapèze de bases 1 cm et 2 cm : \( \frac{(1 + 2) \times h}{2} = 1{,}5h \).

Enfin, la différence triangle − trapèze vaut \( 6{,}5h – 1{,}5h = 5h \). L’équation est :

De même, on a donc \[ \begin{aligned} h^2 + 5h &= 5h + 25 \\ h^2 &= 25 \end{aligned} \]

Par ailleurs, une hauteur est positive, donc \( h = 5 \) cm (car \( 5 \times 5 = 25 \)).

De même, vérification : carré 25 cm², parallélogramme 25 cm², triangle 32,5 cm², trapèze 7,5 cm² ; \( 25 + 25 = 50 \) et \( 32{,}5 – 7{,}5 = 25 \) : la somme dépasse bien la différence de 25 cm².

Ensuite, les touches indiquent les programmes : Jules multiplie par 7 puis ajoute 21 ; Julie multiplie par 2 puis soustrait 5.

a. Par ailleurs, si le nombre entré est 4 :

• Jules obtient \( 4 \times 7 + 21 = 28 + 21 = 49 \) ;
• Julie obtient \( 4 \times 2 – 5 = 8 – 5 = 3 \).

De même, les deux résultats sont différents (49 ≠ 3). Or leurs calculatrices affichent le même résultat : ils n’ont donc pas pu entrer 4.

b. Par conséquent, notons x le nombre commun. Jules obtient \( 7x + 21 \) et Julie \( 2x – 5 \). Puis les résultats sont égaux :

Par conséquent, on a donc \[ \begin{aligned} 7x + 21 &= 2x – 5 \\ 7x – 2x &= -5 – 21 \\ 5x &= -26 \\ x &= \frac{-26}{5} = -5{,}2 \end{aligned} \]

Ainsi, vérification : \( 7 \times (-5{,}2) + 21 = -36{,}4 + 21 = -15{,}4 \) et \( 2 \times (-5{,}2) – 5 = -10{,}4 – 5 = -15{,}4 \).

Par conséquent, claire a 12 ans et elle a trois fois l’âge de sa sœur, donc sa sœur a \( 12 \div 3 = 4 \) ans.

1) De plus, soit x le nombre d’années cherché. Ensuite, dans x années, Claire aura \( 12 + x \) ans et sa sœur \( 4 + x \) ans. Claire sera deux fois plus âgée quand :

Ainsi, on trouve \[ 12 + x = 2(4 + x) \]

2) Enfin, on teste les valeurs proposées en calculant chaque membre :

• pour \( x = 3 \) : \( 12 + 3 = 15 \) et \( 2 \times (4 + 3) = 14 \). 15 ≠ 14, donc 3 n’est pas solution ;
• pour \( x = 4 \) : \( 12 + 4 = 16 \) et \( 2 \times (4 + 4) = 16 \). L’égalité est vraie : 4 est solution.

Ensuite, par le calcul : \( 12 + x = 8 + 2x \), d’où \( 12 – 8 = 2x – x \), soit \( x = 4 \). Puis dans 4 ans, Claire aura 16 ans et sa sœur 8 ans.

Ainsi, choix de l’inconnue. Soit c le prix d’un café en euros. De plus, un soda coûte 0,50 € de plus, donc il coûte \( c + 0{,}5 \).

• Première commande (2 sodas et 1 café) : \( 2(c + 0{,}5) + c = 3c + 1 \).
• Deuxième commande (3 cafés et 1 soda) : \( 3c + (c + 0{,}5) = 4c + 0{,}5 \).

Enfin, la deuxième commande coûte 0,70 € de plus que la première :

De même, on a donc \[ \begin{aligned} 4c + 0{,}5 &= 3c + 1 + 0{,}7 \\ 4c – 3c &= 1{,}7 – 0{,}5 \\ c &= 1{,}2 \end{aligned} \]

Par ailleurs, un café coûte donc 1,20 € et un soda \( 1{,}2 + 0{,}5 = 1{,}7 \), soit 1,70 €.

De même, vérification : première commande \( 2 \times 1{,}7 + 1{,}2 = 4{,}6 \) €, deuxième \( 3 \times 1{,}2 + 1{,}7 = 5{,}3 \) € ; on a bien \( 5{,}3 – 4{,}6 = 0{,}7 \).

Ensuite, soit x le nombre choisi par Anna. Ensuite, elle ajoute 5, puis multiplie le résultat par 7 : il faut des parenthèses.

Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} 7(x + 5) &= 57{,}4 \\ x + 5 &= \frac{57{,}4}{7} \\ x + 5 &= 8{,}2 \\ x &= 8{,}2 – 5 = 3{,}2 \end{aligned} \]

De même, vérification : \( (3{,}2 + 5) \times 7 = 8{,}2 \times 7 = 57{,}4 \).

Ensuite, choix de l’inconnue. Soit x le nombre de billets de 5 €. Par ailleurs, il y a 60 billets en tout, donc \( 60 – x \) billets de 10 €.

Par ailleurs, la somme totale est 415 € :

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} 5x + 10(60 – x) &= 415 \\ 5x + 600 – 10x &= 415 \\ -5x &= 415 – 600 \\ -5x &= -185 \\ x &= 37 \end{aligned} \]

Par conséquent, il y a donc 37 billets de 5 € et \( 60 – 37 = 23 \) billets de 10 €.

De plus, vérification : \( 37 \times 5 + 23 \times 10 = 185 + 230 = 415 \) €.

De même, soit x le nombre choisi. Adrien obtient \( 5x + 4 \) et ce résultat vaut 65,5 :

Ensuite, on a \[ \begin{aligned} 5x + 4 &= 65{,}5 \\ 5x &= 61{,}5 \\ x &= \frac{61{,}5}{5} = 12{,}3 \end{aligned} \]

De plus, on vérifie avec le calcul de Riyanne : \( 3 \times 12{,}3 + 28{,}6 = 36{,}9 + 28{,}6 = 65{,}5 \). Puis les deux programmes donnent bien 65,5.

Ainsi, remarque : on peut aussi résoudre \( 5x + 4 = 3x + 28{,}6 \), qui donne \( 2x = 24{,}6 \), donc le même nombre \( x = 12{,}3 \).

Par conséquent, lecture des codages. Les petits traits simples indiquent les côtés de longueur x (les 4 extrémités des barres). Ensuite, les doubles traits indiquent les côtés de longueur 2x : les 4 débords des barres de part et d’autre du pied, et les 2 côtés verticaux du pied. Puis le pied a une largeur de 3.

De plus, le bord supérieur de la barre du haut mesure donc \( 2x + 3 + 2x = 4x + 3 \), de même que le bord inférieur de la barre du bas.

Ainsi, périmètre du polygone (on fait le tour de la figure) :

• les 2 grands bords : \( 2(4x + 3) = 8x + 6 \) ;
• les 4 extrémités des barres : \( 4x \) ;
• les 4 débords : \( 4 \times 2x = 8x \) ;
• les 2 côtés du pied : \( 2 \times 2x = 4x \).

Par conséquent, on a donc \[ P = 8x + 6 + 4x + 8x + 4x = 24x + 6 \]

Ensuite, on veut \( P = 126 \) :

Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} 24x + 6 &= 126 \\ 24x &= 120 \\ x &= \frac{120}{24} = 5 \end{aligned} \]

De même, vérification : les bords longs mesurent \( 4 \times 5 + 3 = 23 \), et \( 2 \times 23 + 4 \times 5 + 4 \times 10 + 2 \times 10 = 46 + 20 + 40 + 20 = 126 \).

Ensuite, choix de l’inconnue. Soit x le nombre de trèfles à 3 feuilles. De plus, il y a 84 trèfles, donc \( 84 – x \) trèfles à 4 feuilles.

Par ailleurs, le nombre total de feuilles est 258 :

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} 3x + 4(84 – x) &= 258 \\ 3x + 336 – 4x &= 258 \\ -x &= 258 – 336 \\ -x &= -78 \\ x &= 78 \end{aligned} \]

Par conséquent, il y a 78 trèfles à 3 feuilles et \( 84 – 78 = 6 \) trèfles à 4 feuilles.

De plus, vérification : \( 78 \times 3 + 6 \times 4 = 234 + 24 = 258 \) feuilles.

De même, L’énoncé comporte deux séries de deux équations. Ensuite, dans chaque cas, on regroupe les termes en x dans le membre de gauche et les nombres dans celui de droite.

Par conséquent, première série

a. Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} 3x + 2 &= x + 6 \\ 3x – x &= 6 – 2 \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

b. Par conséquent, on obtient \[ \begin{aligned} -8x + 3 &= 5x – 2 \\ -8x – 5x &= -2 – 3 \\ -13x &= -5 \\ x &= \frac{-5}{-13} = \frac{5}{13} \end{aligned} \]

Enfin, deuxième série

a. Par ailleurs, on a donc \[ \begin{aligned} -5x + 2 &= -9x – 6 \\ -5x + 9x &= -6 – 2 \\ 4x &= -8 \\ x &= -2 \end{aligned} \]

b. Ensuite, on a \[ \begin{aligned} 18x – 8 &= 40 – 25x \\ 18x + 25x &= 40 + 8 \\ 43x &= 48 \\ x &= \frac{48}{43} \end{aligned} \]

De même, vérification du premier a : \( 3 \times 2 + 2 = 8 \) et \( 2 + 6 = 8 \). Vérification du deuxième a : \( -5 \times (-2) + 2 = 12 \) et \( -9 \times (-2) – 6 = 12 \).

a. Ensuite, soit t la masse d’un petit tube, en grammes. Sur le plateau de gauche, il y a 3 tubes et 70 g ; sur celui de droite, 200 g, 50 g et 1 tube. Par ailleurs, la balance est en équilibre, donc :

Ainsi, on trouve \[ 3t + 70 = 200 + 50 + t \quad \text{soit} \quad 3t + 70 = 250 + t \]

b. Par conséquent, on obtient \[ \begin{aligned} 3t – t &= 250 – 70 \\ 2t &= 180 \\ t &= 90 \end{aligned} \]

Par conséquent, vérification : à gauche \( 3 \times 90 + 70 = 340 \) g, à droite \( 250 + 90 = 340 \) g.

Enfin, on commence par le quadrilatère en pointillés, qui ne contient qu’une seule inconnue. Ses sommets sont 2x, 5, −3 et 4 :

De même, on a donc \[ \begin{aligned} 2x + 5 + (-3) + 4 &= 13 \\ 2x + 6 &= 13 \\ 2x &= 7 \\ x &= 3{,}5 \end{aligned} \]

Par ailleurs, le quadrilatère en gras a pour sommets x, −4, 5 et 2y, avec \( x = 3{,}5 \) :

Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} 3{,}5 + (-4) + 5 + 2y &= 13 \\ 4{,}5 + 2y &= 13 \\ 2y &= 8{,}5 \\ y &= 4{,}25 \end{aligned} \]

Par conséquent, vérification : \( 7 + 5 – 3 + 4 = 13 \) et \( 3{,}5 – 4 + 5 + 8{,}5 = 13 \).

Par ailleurs, lecture des codages. Sur la longueur, il y a trois segments codés comme x (doubles traits) et un segment codé d’un simple trait qui mesure 3,6 cm. Sur la largeur, on retrouve un segment x (doubles traits) et un segment de 3,6 cm (simple trait).

• Longueur : \( 3x + 3{,}6 \) ;
• Largeur : \( x + 3{,}6 \).

a. Par conséquent, on obtient \[ \begin{aligned} P &= 2 \times (3x + 3{,}6 + x + 3{,}6) \\ &= 2 \times (4x + 7{,}2) \\ &= 8x + 14{,}4 \end{aligned} \]

b. De plus, on obtient \[ \begin{aligned} 8x + 14{,}4 &= 27{,}2 \\ 8x &= 12{,}8 \\ x &= \frac{12{,}8}{8} = 1{,}6 \end{aligned} \]

De plus, vérification : longueur \( 3 \times 1{,}6 + 3{,}6 = 8{,}4 \) cm, largeur \( 1{,}6 + 3{,}6 = 5{,}2 \) cm, et \( 2 \times (8{,}4 + 5{,}2) = 27{,}2 \) cm.

De même, on résout chaque équation en isolant \( 3x \), puis on divise par 3 :

• \( 3x + 1 = -2 \) : \( 3x = -3 \), donc x = −1 ;
• \( 3x – 1 = -2 \) : \( 3x = -1 \), donc \( x = -\frac{1}{3} \) ;
• \( 3x = 2 \) : \( x = \frac{2}{3} \) ;
• \( 3x – 1 = 2 \) : \( 3x = 3 \), donc x = 1 ;
• \( 3x + 1 = 2 \) : \( 3x = 1 \), donc \( x = \frac{1}{3} \).

Ensuite, ces équations ont l’inconnue dans un seul membre : on isole le terme en x, puis on divise par son coefficient.

a. De plus, on obtient \( 2x + 9 = 5 \) donc \( 2x = -4 \) et x = −2.

b. Enfin, on a donc \( 5 – 4x = 1 \) donc \( -4x = -4 \) et x = 1.

c. Ensuite, on a \( 6x – 7 = 4 \) donc \( 6x = 11 \) et \( x = \frac{11}{6} \).

d. Ainsi, on trouve \( -8 – 3x = 2 \) donc \( -3x = 10 \) et \( x = -\frac{10}{3} \).

e. Par conséquent, on obtient \( 6x + 8 = 1 \) donc \( 6x = -7 \) et \( x = -\frac{7}{6} \).

f. De plus, on obtient \( -5 + 7x = -5 \) donc \( 7x = 0 \) et x = 0.

g. De même, on a donc \( 4 – 0{,}1x = -6 \) donc \( -0{,}1x = -10 \) et \( x = \frac{-10}{-0{,}1} = 100 \).

h. Ensuite, on a \( -5{,}5 – 3x = -7{,}5 \) donc \( -3x = -2 \) et \( x = \frac{2}{3} \).

De même, vérification du g : \( 4 – 0{,}1 \times 100 = 4 – 10 = -6 \).

Ensuite, L’inconnue est dans les deux membres : on regroupe les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre.

a. Ensuite, on a \[ \begin{aligned} 12 + 3x &= 7x + 10 \\ 3x – 7x &= 10 – 12 \\ -4x &= -2 \\ x &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]

b. Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} -3x – 4 &= 5 + x \\ -3x – x &= 5 + 4 \\ -4x &= 9 \\ x &= -\frac{9}{4} \end{aligned} \]

c. Par conséquent, on obtient \[ \begin{aligned} 4x – 9 &= -6 + 12x \\ 4x – 12x &= -6 + 9 \\ -8x &= 3 \\ x &= -\frac{3}{8} \end{aligned} \]

d. De plus, on obtient \[ \begin{aligned} 2 + 5x &= -2x – 3 \\ 5x + 2x &= -3 – 2 \\ 7x &= -5 \\ x &= -\frac{5}{7} \end{aligned} \]

e. De même, on a donc \[ \begin{aligned} 4x – 1 &= 14 + x \\ 4x – x &= 14 + 1 \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 \end{aligned} \]

f. Ensuite, on a \[ \begin{aligned} -0{,}1 + 6x &= -8x + 0{,}1 \\ 6x + 8x &= 0{,}1 + 0{,}1 \\ 14x &= 0{,}2 \\ x &= \frac{0{,}2}{14} = \frac{2}{140} = \frac{1}{70} \end{aligned} \]

De plus, vérification du e : \( 4 \times 5 – 1 = 19 \) et \( 14 + 5 = 19 \).

De même, première balance. Soit t la masse d’une tomate en grammes. À gauche : 5 tomates ; à droite : 300 g, 75 g et 2 tomates.

Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} 5t &= 375 + 2t \\ 5t – 2t &= 375 \\ 3t &= 375 \\ t &= 125 \end{aligned} \]

De plus, seconde balance. Soit c la masse d’un citron en grammes. À gauche : 3 citrons et 70 g ; à droite : 200 g, 50 g et 1 citron.

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} 3c + 70 &= 250 + c \\ 3c – c &= 250 – 70 \\ 2c &= 180 \\ c &= 90 \end{aligned} \]

Enfin, vérification : \( 5 \times 125 = 625 \) et \( 375 + 2 \times 125 = 625 \) ; \( 3 \times 90 + 70 = 340 \) et \( 250 + 90 = 340 \).

a. De plus, x désigne le nombre de billes noires.

• Il y a 18 billes rouges de plus que de noires : nombre de billes rouges \( = x + 18 \).
• Nombre total de billes : \( x + (x + 18) = 2x + 18 \).

b. Ainsi, le sac contient 250 billes :

Ensuite, on a \[ \begin{aligned} 2x + 18 &= 250 \\ 2x &= 232 \\ x &= 116 \end{aligned} \]

c. Ensuite, il y a 116 billes noires et \( 116 + 18 = 134 \) billes rouges. Vérification : \( 116 + 134 = 250 \).

Ainsi, choix de l’inconnue. Notons \( x \) le nombre de pièces de 0,20 €. Puis la tirelire contient 200 pièces, donc il y a \( 200 – x \) pièces de 0,50 €.

Enfin, mise en équation. Le total vaut 52,30 € :

Par conséquent, on obtient \[ \begin{aligned} 0{,}20x + 0{,}50(200 – x) &= 52{,}30 \\ 0{,}20x + 100 – 0{,}50x &= 52{,}30 \\ -0{,}30x &= 52{,}30 – 100 \\ -0{,}30x &= -47{,}70 \\ x &= \frac{-47{,}70}{-0{,}30} = 159 \end{aligned} \]

Par ailleurs, il y a donc 159 pièces de 0,20 € et \( 200 – 159 = 41 \) pièces de 0,50 €.

De même, vérification. \( 159 \times 0{,}20 = 31{,}80 \) € et \( 41 \times 0{,}50 = 20{,}50 \) € ; \( 31{,}80 + 20{,}50 = 52{,}30 \) €, et \( 159 + 41 = 200 \) pièces.

Ensuite, choix de l’inconnue. Notons \( x \) la longueur (en cm) du côté du triangle équilatéral. Ensuite, les deux bases mises bout à bout mesurent 14 cm, donc le côté du carré mesure \( 14 – x \).

• Périmètre du triangle équilatéral (3 côtés égaux) : \( 3x \).
• Périmètre du carré (4 côtés égaux) : \( 4(14 – x) = 56 – 4x \).

Par conséquent, mise en équation. On veut que les deux périmètres soient égaux :

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} 3x &= 4(14 – x) \\ 3x &= 56 – 4x \\ 3x + 4x &= 56 \\ 7x &= 56 \\ x &= 8 \end{aligned} \]

Ainsi, le côté du triangle mesure donc 8 cm et celui du carré \( 14 – 8 = \) 6 cm. Puis ces longueurs sont positives et plus petites que 14 cm : la situation est bien possible.

Enfin, vérification. Périmètre du triangle : \( 3 \times 8 = 24 \) cm ; périmètre du carré : \( 4 \times 6 = 24 \) cm.

De plus, la balance est en équilibre : la masse du plateau de gauche est égale à celle du plateau de droite. Chaque balance se traduit donc par une équation.

a. Ensuite, on a \[ \begin{aligned} 4x + 3 &= 11 \\ 4x &= 8 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

b. Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} 5x + 12 &= 37 \\ 5x &= 25 \\ x &= 5 \end{aligned} \]

c. Par conséquent, on obtient \[ \begin{aligned} 6x + 2 &= 50 \\ 6x &= 48 \\ x &= 8 \end{aligned} \]

d. De plus, on obtient \[ \begin{aligned} 3x + 8 &= 50 \\ 3x &= 42 \\ x &= 14 \end{aligned} \]

De même, vérification du d : \( 3 \times 14 + 8 = 42 + 8 = 50 \).

Ensuite, cette fois, l’inconnue est sur les deux plateaux. De plus, on retire la même quantité de chaque côté (la balance reste en équilibre) pour regrouper les x dans un seul membre.

a. De plus, on obtient \[ \begin{aligned} 5x + 3 &= 2x + 7 \\ 5x – 2x &= 7 – 3 \\ 3x &= 4 \\ x &= \frac{4}{3} \end{aligned} \]

b. Enfin, on a donc \[ \begin{aligned} 7x + 2 &= 3x + 7 \\ 4x &= 5 \\ x &= \frac{5}{4} = 1{,}25 \end{aligned} \]

c. Ensuite, on a \[ \begin{aligned} 4x + 1 &= 2x + 4 \\ 2x &= 3 \\ x &= \frac{3}{2} = 1{,}5 \end{aligned} \]

d. Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} 12x + 3 &= 8x + 17 \\ 4x &= 14 \\ x &= \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3{,}5 \end{aligned} \]

Enfin, vérification du a : \( 5 \times \frac{4}{3} + 3 = \frac{29}{3} \) et \( 2 \times \frac{4}{3} + 7 = \frac{29}{3} \).

De plus, on développe chaque membre, on réduit, puis on regroupe les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre.

a. Par conséquent, on obtient \[ \begin{aligned} 3(2 – 3x) + 4(x + 2) &= 4x + 2(x – 2) \\ 6 – 9x + 4x + 8 &= 4x + 2x – 4 \\ 14 – 5x &= 6x – 4 \\ -5x – 6x &= -4 – 14 \\ -11x &= -18 \\ x &= \frac{18}{11} \end{aligned} \]

b. Ensuite, attention au signe « − » devant la parenthèse : \( -3(2 – 4x) = -6 + 12x \).

\[ \begin{aligned} 5x + 2 – 3(2 – 4x) &= 2(3x + 4) \\ 5x + 2 – 6 + 12x &= 6x + 8 \\ 17x – 4 &= 6x + 8 \\ 11x &= 12 \\ x &= \frac{12}{11} \end{aligned} \]

c. \[ \begin{aligned} -3(x + 2) + 4(5 – x) &= 2x + 5 \\ -3x – 6 + 20 – 4x &= 2x + 5 \\ 14 – 7x &= 2x + 5 \\ -9x &= -9 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

Vérification du c : \( -3 \times 3 + 4 \times 4 = -9 + 16 = 7 \) et \( 2 \times 1 + 5 = 7 \).

Quand il y a des crochets, on développe d’abord la parenthèse intérieure, puis le crochet. Ensuite, un signe « − » devant une parenthèse ou un crochet change tous les signes à l’intérieur.

1. \[ \begin{aligned} 8 – (3x + 2) &= 5x – 5 \\ 8 – 3x – 2 &= 5x – 5 \\ 6 – 3x &= 5x – 5 \\ -8x &= -11 \\ x &= \frac{11}{8} \end{aligned} \]

2. \[ \begin{aligned} 7 + 2(3 – x) &= 4x – 1 \\ 7 + 6 – 2x &= 4x – 1 \\ 13 – 2x &= 4x – 1 \\ -6x &= -14 \\ x &= \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \end{aligned} \]

3. \[ \begin{aligned} 4x – 5(3 – 2x) &= 4 – (2x – 7) \\ 4x – 15 + 10x &= 4 – 2x + 7 \\ 14x – 15 &= 11 – 2x \\ 16x &= 26 \\ x &= \frac{26}{16} = \frac{13}{8} \end{aligned} \]

4. \[ \begin{aligned} 9x – 3(4 – 3x) &= 2 – [35 – 3(4 – 2x)] \\ 9x – 12 + 9x &= 2 – [35 – 12 + 6x] \\ 18x – 12 &= 2 – [23 + 6x] \\ 18x – 12 &= 2 – 23 – 6x \\ 18x – 12 &= -21 – 6x \\ 24x &= -9 \\ x &= -\frac{9}{24} = -\frac{3}{8} \end{aligned} \]

5. \[ \begin{aligned} 7 – 3(4 – 2x) – 5[2 – 3(x – 5)] &= 4 – 3(x – 4) \\ 7 – 12 + 6x – 5[2 – 3x + 15] &= 4 – 3x + 12 \\ -5 + 6x – 5[17 – 3x] &= 16 – 3x \\ -5 + 6x – 85 + 15x &= 16 – 3x \\ 21x – 90 &= 16 – 3x \\ 24x &= 106 \\ x &= \frac{106}{24} = \frac{53}{12} \end{aligned} \]

6. \[ \begin{aligned} 4(x – 2) – 3[6 – 2(3 – 4x)] + 3(7 – 2x) &= 0 \\ 4x – 8 – 3[6 – 6 + 8x] + 21 – 6x &= 0 \\ 4x – 8 – 24x + 21 – 6x &= 0 \\ 13 – 26x &= 0 \\ -26x &= -13 \\ x &= \frac{13}{26} = \frac{1}{2} \end{aligned} \]

7. \[ \begin{aligned} 2(3 – 6x) – 5[3 – (4 – 2x)] &= 3(2x – 1) \\ 6 – 12x – 5[3 – 4 + 2x] &= 6x – 3 \\ 6 – 12x – 5[-1 + 2x] &= 6x – 3 \\ 6 – 12x + 5 – 10x &= 6x – 3 \\ 11 – 22x &= 6x – 3 \\ -28x &= -14 \\ x &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]

8. \[ \begin{aligned} 2x – [7 – 2(3 – 4x)] &= 5 – 2[6 – (7 – x)] \\ 2x – [7 – 6 + 8x] &= 5 – 2[6 – 7 + x] \\ 2x – [1 + 8x] &= 5 – 2[-1 + x] \\ 2x – 1 – 8x &= 5 + 2 – 2x \\ -6x – 1 &= 7 – 2x \\ -4x &= 8 \\ x &= -2 \end{aligned} \]

Vérification du 8 : à gauche \( -4 – [7 – 2 \times 11] = -4 – (-15) = 11 \) ; à droite \( 5 – 2[6 – 9] = 5 + 6 = 11 \).

On numérote les sept équations de haut en bas.

1. \[ \begin{aligned} 5 – (x – 3) &= 4x – (3x – 8) \\ 5 – x + 3 &= 4x – 3x + 8 \\ 8 – x &= x + 8 \\ -2x &= 0 \\ x &= 0 \end{aligned} \]

2. \[ \begin{aligned} 2 + x – (5 + 2x) – 7 &= 3x + 7 \\ 2 + x – 5 – 2x – 7 &= 3x + 7 \\ -x – 10 &= 3x + 7 \\ -4x &= 17 \\ x &= -\frac{17}{4} \end{aligned} \]

3. \[ \begin{aligned} 4x + 3 – (x + 1) + 5 &= 5x + 7 \\ 4x + 3 – x – 1 + 5 &= 5x + 7 \\ 3x + 7 &= 5x + 7 \\ -2x &= 0 \\ x &= 0 \end{aligned} \]

4. \[ \begin{aligned} 2x + 1 – (2 + x) – 7 &= 3x + 7 \\ 2x + 1 – 2 – x – 7 &= 3x + 7 \\ x – 8 &= 3x + 7 \\ -2x &= 15 \\ x &= -\frac{15}{2} = -7{,}5 \end{aligned} \]

5. \[ \begin{aligned} 5(x – 1) + 3(2 – x) &= 0 \\ 5x – 5 + 6 – 3x &= 0 \\ 2x + 1 &= 0 \\ x &= -\frac{1}{2} \end{aligned} \]

6. \[ \begin{aligned} 7(x + 4) – 3(x + 2) &= x + 7 \\ 7x + 28 – 3x – 6 &= x + 7 \\ 4x + 22 &= x + 7 \\ 3x &= -15 \\ x &= -5 \end{aligned} \]

7. \[ \begin{aligned} 2(x – 1) – 3(x + 1) &= 4(x – 2) \\ 2x – 2 – 3x – 3 &= 4x – 8 \\ -x – 5 &= 4x – 8 \\ -5x &= -3 \\ x &= \frac{3}{5} \end{aligned} \]

Vérification du 6 : \( 7 \times (-1) – 3 \times (-3) = -7 + 9 = 2 \) et \( -5 + 7 = 2 \).

Choix de l’inconnue. Notons \( x \) le nombre d’années à attendre.

• Dans \( x \) ans, la mère aura \( 37 + x \) ans.
• Chacun des trois enfants aura \( x \) ans de plus, donc la somme de leurs âges sera \( (8 + x) + (10 + x) + (13 + x) = 31 + 3x \). Attention : la somme augmente de 3x, pas de x.

Mise en équation.

\[ \begin{aligned} 37 + x &= 31 + 3x \\ 37 – 31 &= 3x – x \\ 6 &= 2x \\ x &= 3 \end{aligned} \]

Vérification. Dans 3 ans, la mère aura 40 ans et les enfants 11, 13 et 16 ans : \( 11 + 13 + 16 = 40 \).

1) Soit \( x \) le prix (en €) d’une BD de Tintin. Par ailleurs, une BD d’Astérix coûte 1,50 € de plus.

2) Titeuf a payé 127,50 € en tout, d’où l’équation :

\[ \begin{aligned} 18x + 10{,}50 &= 127{,}50 \\ 18x &= 127{,}50 – 10{,}50 \\ 18x &= 117 \\ x &= \frac{117}{18} = 6{,}5 \end{aligned} \]

Une BD de Tintin coûte donc 6,50 € et une BD d’Astérix \( 6{,}50 + 1{,}50 = \) 8 €.

Vérification. \( 7 \times 8 + 11 \times 6{,}50 = 56 + 71{,}50 = 127{,}50 \) €.

Choix de l’inconnue. Notons \( x \) le nombre de pages lues le premier jour.

• Deuxième jour : 20 pages de plus, soit \( x + 20 \).
• Troisième jour : deux fois plus que le deuxième jour, soit \( 2(x + 20) = 2x + 40 \).

Mise en équation. En tout, Garfield a lu 260 pages :

\[ \begin{aligned} x + (x + 20) + (2x + 40) &= 260 \\ 4x + 60 &= 260 \\ 4x &= 200 \\ x &= 50 \end{aligned} \]

Vérification. 50 pages, puis 70 pages, puis 140 pages : \( 50 + 70 + 140 = 260 \).

Choix de l’inconnue. Notons \( x \) le nombre de vaches blanches.

• Vaches noires : le double des blanches, soit \( 2x \).
• Vaches rousses : le triple des noires, soit \( 3 \times 2x = 6x \).

Mise en équation. Le troupeau compte 72 vaches :

\[ \begin{aligned} x + 2x + 6x &= 72 \\ 9x &= 72 \\ x &= 8 \end{aligned} \]

Il y a donc 8 vaches blanches, \( 2 \times 8 = 16 \) vaches noires et \( 3 \times 16 = 48 \) vaches rousses.

Vérification. \( 8 + 16 + 48 = 72 \).

Choix de l’inconnue. Comme le demande l’énoncé, notons \( p \) le nombre de petites lianes. Tarzan a utilisé 63 lianes en tout, donc il a utilisé \( 63 – p \) grandes lianes.

Mise en équation. Une petite liane fait parcourir 4,5 m, une grande 8 m, et la distance totale est 413 m :

\[ \begin{aligned} 4{,}5p + 8(63 – p) &= 413 \\ 4{,}5p + 504 – 8p &= 413 \\ -3{,}5p &= 413 – 504 \\ -3{,}5p &= -91 \\ p &= \frac{-91}{-3{,}5} = 26 \end{aligned} \]

Tarzan a donc utilisé 26 petites lianes et \( 63 – 26 = 37 \) grandes lianes.

Vérification. \( 26 \times 4{,}5 = 117 \) m et \( 37 \times 8 = 296 \) m ; \( 117 + 296 = 413 \) m.

Choix de l’inconnue. Notons \( x \) l’âge actuel de Marc. Sonia est deux fois plus âgée : elle a \( 2x \) ans.

• Dans 5 ans, Marc aura \( x + 5 \) ans.
• Il y a 10 ans, Sonia avait \( 2x – 10 \) ans.

Mise en équation. Ces deux âges sont égaux :

\[ \begin{aligned} x + 5 &= 2x – 10 \\ 5 + 10 &= 2x – x \\ x &= 15 \end{aligned} \]

Marc a donc 15 ans et Sonia \( 2 \times 15 = 30 \) ans.

Vérification. Dans 5 ans, Marc aura 20 ans ; il y a 10 ans, Sonia avait \( 30 – 10 = 20 \) ans.

Choix de l’inconnue. Notons \( x \) l’âge de Marie-Pierre. Jean-Sébastien est trois fois plus âgé : il a \( 3x \) ans.

Mise en équation. La somme de leurs âges est 32 ans :

\[ \begin{aligned} x + 3x &= 32 \\ 4x &= 32 \\ x &= 8 \end{aligned} \]

Marie-Pierre a 8 ans et Jean-Sébastien \( 3 \times 8 = 24 \) ans.

Vérification. \( 8 + 24 = 32 \) et \( 24 = 3 \times 8 \).

a. \[ \begin{aligned} x + 21 &= 13 \\ x &= 13 – 21 \\ x &= -8 \end{aligned} \]

b. \[ \begin{aligned} 7x &= 49 \\ x &= \frac{49}{7} = 7 \end{aligned} \]

c. \[ \begin{aligned} 2x – 24 &= x + 9 \\ 2x – x &= 9 + 24 \\ x &= 33 \end{aligned} \]

d. \[ \begin{aligned} 5x – 4 &= 8x – 11 \\ 5x – 8x &= -11 + 4 \\ -3x &= -7 \\ x &= \frac{7}{3} \end{aligned} \]

e. \[ \begin{aligned} 3x + 7 &= -6x + 23 \\ 3x + 6x &= 23 – 7 \\ 9x &= 16 \\ x &= \frac{16}{9} \end{aligned} \]

f. \[ \begin{aligned} 5(x – 3) &= -7(x + 1) \\ 5x – 15 &= -7x – 7 \\ 12x &= 8 \\ x &= \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \end{aligned} \]

g. On développe le produit : les termes \( x^2 \) s’éliminent, et l’équation redevient du premier degré.

\[ \begin{aligned} (x – 3)(x + 4) – x^2 &= 6 \\ x^2 + 4x – 3x – 12 – x^2 &= 6 \\ x – 12 &= 6 \\ x &= 18 \end{aligned} \]

Vérification du g : \( 15 \times 22 – 18^2 = 330 – 324 = 6 \).

Choix de l’inconnue. Notons \( x \) le nombre pensé.

• Premier programme : on ajoute 1, puis on multiplie par 6 : \( 6(x + 1) \).
• Second calcul : on ajoute 7 au double du nombre : \( 2x + 7 \).

Mise en équation. Les deux résultats sont égaux :

\[ \begin{aligned} 6(x + 1) &= 2x + 7 \\ 6x + 6 &= 2x + 7 \\ 4x &= 1 \\ x &= \frac{1}{4} = 0{,}25 \end{aligned} \]

Vérification. \( 6 \times (0{,}25 + 1) = 6 \times 1{,}25 = 7{,}5 \) et \( 2 \times 0{,}25 + 7 = 7{,}5 \).

Choix de l’inconnue. Notons \( x \) l’âge d’Ahmed. Nicolas est trois fois plus âgé : il a \( 3x \) ans.

Mise en équation. La somme de leurs âges est 32 ans :

\[ \begin{aligned} x + 3x &= 32 \\ 4x &= 32 \\ x &= 8 \end{aligned} \]

Ahmed a 8 ans et Nicolas \( 3 \times 8 = 24 \) ans.

Vérification. \( 8 + 24 = 32 \) et \( 24 = 3 \times 8 \).