Probabilités en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Affirmation de William. Si la roue était équilibrée, chaque numéro aurait la probabilité \( \frac{1}{3} \approx 0{,}333 \). Sur 1 000 expériences, les fréquences devraient donc être proches de 0,333. Or on observe 0,521 pour le 1 et seulement 0,171 pour le 2 : ces écarts sont beaucoup trop grands pour un aussi grand nombre d’essais. William a raison : la roue ne semble pas équilibrée (par exemple, le secteur 1 est peut-être plus lourd ou le mécanisme freine ailleurs).

Affirmation de Zoé. Quand on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence d’une issue est une bonne estimation de sa probabilité. La fréquence du 1 est 0,521, très proche de \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \). Zoé a raison : on peut estimer la probabilité d’obtenir 1 à environ \( \frac{1}{2} \). C’est une estimation, pas une valeur exacte.

L’urne contient 8 boules : 5 roses (numéros 3, 2, 1, 3, 2) et 3 bleues (numéros 5, 1, 4). Le tirage se fait au hasard : chaque boule a la même chance d’être tirée.

1. a. Les issues sont : rose et bleue.

1. b. \[ P(\text{rose}) = \frac{5}{8} \qquad P(\text{bleue}) = \frac{3}{8} \]

2. a. Les issues sont les nombres 1, 2, 3, 4 et 5.

2. b. Il y a deux boules 1 (une rose, une bleue), deux boules 2, deux boules 3, une boule 4 et une boule 5 :

\[ P(1) = P(2) = P(3) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \qquad P(4) = P(5) = \frac{1}{8} \]

3. Vérification :

\[ \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \qquad \frac{2}{8} + \frac{2}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]

a. Pedro a obtenu 13 « pile » sur ses 20 lancers. On ajoute ensuite les résultats de chaque ami, dans l’ordre du tableau :

• 40 lancers : \( 13 + 11 = 24 \) ;
• 60 lancers : \( 24 + 13 = 37 \) ;
• 80 lancers : \( 37 + 8 = 45 \) ;
• 100 lancers : \( 45 + 7 = 52 \).

La fréquence est \( \frac{\text{nombre de pile}}{\text{nombre de lancers}} \), arrondie au centième :

Par exemple \( \frac{37}{60} \approx 0{,}6167 \approx 0{,}62 \) et \( \frac{45}{80} = 0{,}5625 \approx 0{,}56 \).

b. On place les points (nombre de lancers ; fréquence) :

Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence de « pile » se rapproche de 0,5. On peut en déduire que la pièce de Pedro semble équilibrée : pile et face ont chacun une probabilité de \( \frac{1}{2} \).

Lecture du diagramme (100 lancers) : bleu 15, rouge 16, jaune 20, vert 19, noir 30 (total : 100).

Probabilités. Le dé a 6 faces équiprobables ; une seule face est bleue (de même pour rouge, jaune, vert) et deux faces sont noires :

\[ P(\text{bleu}) = P(\text{rouge}) = P(\text{jaune}) = P(\text{vert}) = \frac{1}{6} \qquad P(\text{noir}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Fréquences observées. Sur 100 lancers, l’effectif divisé par 100 donne la fréquence :

Les fréquences observées sont proches des probabilités sans leur être égales : c’est normal, 100 lancers est un nombre d’essais assez faible et le hasard crée des écarts. La couleur noire sort environ deux fois plus souvent que chacune des autres, ce qui correspond bien à ses deux faces.

a. Le dé 1 doit donner un nombre entier au hasard entre 1 et 4. Dans la cellule B2 :

=ALEA.ENTRE.BORNES(1;4) (ou, de façon équivalente, =ENT(ALEA()*4)+1).

b. Même formule pour le dé 2 dans C2 : =ALEA.ENTRE.BORNES(1;4).

c. La colonne D fait la somme des deux dés : dans D2, =B2+C2. On recopie ensuite les trois formules vers le bas jusqu’à la ligne 1001.

d. On liste toutes les sommes possibles dans un tableau à double entrée :

La somme la plus petite est \( 1 + 1 = 2 \), la plus grande \( 4 + 4 = 8 \). Remarque : ces sommes ne sont pas équiprobables, 5 apparaît dans 4 cases sur 16 alors que 2 n’apparaît qu’une fois.

La liste contient 8 chansons, et chacune a la même probabilité d’être choisie. Les chansons de Maen sont « La ficelle », « Fou fou fou » et « Nina » : 3 cas favorables.

\[ P(\text{chanson de Maen}) = \frac{\text{nombre de chansons de Maen}}{\text{nombre total de chansons}} = \frac{3}{8} \]

Il y a 100 jetons identiques au toucher : on est dans une situation d’équiprobabilité.

a. 8 jetons portent la lettre I :

\[ P(\text{I}) = \frac{8}{100} = \frac{2}{25} = 0{,}08 \]

b. Nombre de voyelles : \( 9 + 15 + 8 + 6 + 6 + 1 = 45 \).

\[ P(\text{voyelle}) = \frac{45}{100} = \frac{9}{20} = 0{,}45 \]

c. Obtenir une consonne est l’événement contraire d’obtenir une voyelle :

\[ P(\text{consonne}) = 1 – \frac{45}{100} = \frac{55}{100} = \frac{11}{20} = 0{,}55 \]

Les six faces portent N, O, T, O, U, S. Le dé est équilibré : chaque face a la probabilité \( \frac{1}{6} \).

a. Les issues sont les lettres que l’on peut lire : N, O, T, U et S (5 issues ; la lettre O est sur deux faces, elle n’est pas une issue de même probabilité que les autres).

b. \[ P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

c. \[ P(E_2) = 1 – P(E_1) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

d. Les consonnes sont N, T et S, sur 3 faces : \( P(E_3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

e. Aucune face ne porte K, I ou W : \( E_4 \) est un événement impossible, \( P(E_4) = 0 \).

f. Les lettres de CAGOUS présentes sur le dé sont O, U et S ; elles occupent 4 faces (O compte deux fois) :

\[ P(E_5) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

On compte les secteurs de la roue (ils ont tous la même taille, donc sont équiprobables) :

a. \( P(800\text{ €}) = \frac{7}{24} \)

b. \( P(1\,500\text{ €}) = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \)

c. \( P(3\,000\text{ €}) = \frac{1}{24} \)

d. « 1 000 € et plus » regroupe 1 000 €, 1 500 € et 3 000 € : \( 6 + 2 + 1 = 9 \) secteurs.

\[ P(\text{au moins } 1\,000\text{ €}) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \]

e. On ne perd que sur le secteur noir « 0 ». Par l’événement contraire :

\[ P(\text{ne pas perdre}) = 1 – \frac{1}{24} = \frac{23}{24} \]

Si la bouteille contenait 9 rouges, 4 bleues et 7 vertes sur 20 billes, les probabilités seraient :

\[ P(\text{rouge}) = \frac{9}{20} = 0{,}45 \qquad P(\text{bleue}) = \frac{4}{20} = 0{,}2 \qquad P(\text{verte}) = \frac{7}{20} = 0{,}35 \]

Les fréquences observées sur 40 retournements sont :

\[ \frac{18}{40} = 0{,}45 \qquad \frac{8}{40} = 0{,}2 \qquad \frac{14}{40} = 0{,}35 \]

Elles sont égales à ces probabilités, donc les résultats sont compatibles avec cette composition. Mais on ne peut pas l’affirmer : une fréquence n’est qu’une estimation de la probabilité, et 40 essais c’est peu. Une bouteille de 8 rouges, 5 bleues et 7 vertes, par exemple, aurait très bien pu donner ces mêmes résultats. Seule l’ouverture de la bouteille donnerait une certitude.